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1、2014-2015高等数学下册期中考试试卷(考试时间：90分钟)姓名： 班级： 成绩单号： 一、 解答下列各题（）1、5分 设函数由方程确定,其中为可微函数,且,求解：视,方程两边对求导,得,从而方程两边对求导,得,从而,故2、5分设是由方程确定的函数,其中为可导函数,且,求解 方程两边取微分,得,从而3、5分求函数在点的梯度解 4、5分 设为椭球面上的一动点,若在点处的切平面与面垂直,求点的轨迹解 面的法向量可为,上点处的切平面的法向量为由两平面垂直,则它们的法向量必垂直,从而故点的轨迹为,也即为椭圆二、 解答下列各题（）5.求二元函数的极值解 令,得驻点,在驻点处由于,从而函数的极小值为6
2、.设具有二阶连续的偏导数，且满足等式，确定值,使等式在变换下简化为解：视为中间变量,则从而即为令得或合要求.7.已知曲线,求上距离最远的点和最近的点解：设点在曲线上，则其到平面的距离为即求在下的最值点：令则由，解得即为上距离最近的点和最远的点三、 解答下列各题（）8.设函数连续,交换二次积分的积分次序解 转化为二重积分时的积分区域为,作图(略),改写表达方式为,从而9.设函数连续,若,其中区域为第一象限与的部分,求解： 用极坐标表示区域为第一象限与的部分,即为,从而从而10.计算二重积分,其中由曲线与直线及围成解 联立曲线方程求得三条线两两交于,作图(略)由图可知,区域关于轴称性,从而, 把积分区域表示为11.计算二重积分,其中解 该积分用极坐标作并不方便,使用转化公式,先改用直角坐标表达,其中 (令换元)四、 解答下列各题（）12.求位于两球面和之间的均匀物体的质心坐标解 有对称性,显然,为质心坐标.用球坐标,位于两球面和之间的区域可以表示为:从而,从而13.计算由所确定的立体的体积解： 在柱坐标下为从而有