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1、导数的背景（5 月 4 日）教学目标理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义教学重点瞬时速度、切线的斜率、边际成本教学难点极限思想教学过程一、导入新课1.瞬时速度问题 1：一个小球自由下落，它在下落3 秒时的速度是多少？析：大家知道，自由落体的运动公式是221gts（其中 g 是重力加速度）.当时间增量t 很小时，从 3 秒到（3t）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大.因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3 秒时的速度.从 3 秒到（3t）秒这段时间内位移的增量：222)(9.44.2939.4)3(9.4)3()3(tttstss从而，ttsv9.44.29.从上式
2、可以看出，t 越小，ts越接近 29.4 米/秒；当t 无限趋近于 0 时，ts无限趋近于 29.4 米/秒.此时我们说，当t 趋向于 0时，ts的极限是 29.4.当t 趋向于 0 时，平均速度ts的极限就是小球下降3 秒时的速度，也叫做瞬时速度.一般地，设物体的运动规律是ss（t），则物体在 t 到（tt）这段时间内的平均速度为ttsttsts)()(.如果t 无限趋近于 0时，ts无限趋近于某个常数 a，就说当t 趋向于 0 时，ts的极限为 a，这时 a 就是物体在时刻t的瞬时速度.2.切线的斜率问题 2：P（1,1）是曲线2xy上的一点，Q 是曲线上点 P 附近的一个点，当点Q 沿曲
3、线逐渐向点 P 趋近时割线 PQ的斜率的变化情况.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 36 页 -析：设点 Q 的横坐标为 1x，则点 Q 的纵坐标为（1x）2，点 Q 对于点 P的纵坐标的增量（即函数的增量）22)(21)1(xxxy，所以，割线 PQ 的斜率xxxxxykPQ2)(22.由此可知，当点 Q 沿曲线逐渐向点 P 接近时，x 变得越来越小，PQk越来越接近 2；当点 Q 无限接近于点 P 时，即x 无限趋近于 0 时，PQk无限趋近于2.这表明，割线 PQ 无限趋近于过点 P 且斜率为 2 的直线.我们把这条直线叫做曲线在点 P 处的切线.由点斜式，这
4、条切线的方程为：12xy.一般地，已知函数)(xfy的图象是曲线 C，P（00,yx），Q（yyxx00,）是曲线 C 上的两点，当点 Q 沿曲线逐渐向点P 接近时，割线 PQ 绕着点 P 转动.当点 Q 沿着曲线无限接近点P，即x 趋向于 0 时，如果割线 PQ 无限趋近于一个极限位置 PT，那么直线 PT 叫做曲线在点 P 处的切线.此时，割线 PQ 的斜率xykPQ无限趋近于切线PT 的斜率 k，也就是说，当x 趋向于 0 时，割线PQ 的斜率xykPQ的极限为 k.3.边际成本问题 3：设成本为 C，产量为 q，成本与产量的函数关系式为103)(2qqC，我们来研究当 q50 时，产量
5、变化q对成本的影响.在本问题中，成本的增量为：222)(3300)10503(10)50(3)50()50(qqqCqCC.产量变化q对成本的影响可用：qqC3300来刻划，q越小，qC越接近300；当q无限趋近于 0 时，qC无限趋近于 300，我们就说当q趋向于 0 时，qC的极限是 300.我们把qC的极限 300 叫做当 q50 时103)(2qqC的边际成本.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 36 页 -一般地，设 C 是成本，q 是产量，成本与产量的函数关系式为CC（q），当产量为0q时，产量变化q对成本的影响可用增量比qqCqqCqC)()(00刻划.
6、如果q无限趋近于 0 时，qC无限趋近于常数 A，经济学上称 A 为边际成本.它表明当产量为0q时，增加单位产量需付出成本A（这是实际付出成本的一个近似值）.二、小结瞬时速度是平均速度ts当t 趋近于 0 时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率xy当x 趋近于 0 时的极限；边际成本是平均成本qC当q趋近于 0 时的极限.三、练习与作业：1.某物体的运动方程为25)(tts（位移单位：m，时间单位：s）求它在t2s时的速度.2.判断曲线22xy在点 P（1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.3.已知成本 C 与产量 q 的函数关系式为522qC，求当产量 q80 时的边际
7、成本.4.一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h（单位：m）与时间 t（单位：s）之间的函数关系为2th，求 t4s时此球在垂直方向的瞬时速度.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 36 页 -5.判断曲线221xy在（1，21）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.6.已知成本 C 与产量 q 的函数关系为742qC，求当产量 q30 时的边际成本.导数的概念（5 月 4 日）教学目标与要求：理解导数的概念并会运用概念求导数。教学重点：导数的概念以及求导数教学难点：导数的概念教学过程：一、导入新课：上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。虽然它们的实际意义
8、不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。由此我们引出下面导数的概念。二、新授课：1.设函数)(xfy在0 xx处附近有定义，当自变量在0 xx处有增量x时，则函数)(xfY相应地有增量)()(00 xfxxfy，如果0 x时，y与x的比xy（也叫函数的平均变化率）有极限即xy无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(xfy在0 xx处的导数，记作0/xxy，即xxfxxfxfx)()(lim)(0000/注：1.函数应在点0 x的附近有定义，否则导数不存在。2.在定义导数的极限式中，x趋近于 0 可正、可负、但不为0，而y可能为 0。3.xy是函数
9、)(xfy对自变量x在x范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(xfy上点（)(,00 xfx）及点)(,(00 xxfxx）的割线斜率。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 36 页 -4.导数xxfxxfxfx)()(lim)(0000/是函数)(xfy在点0 x的处瞬时变化率，它反映的函数)(xfy在点0 x处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线)(xfy上点（)(,00 xfx）处的切线的斜率。因此，如果)(xfy在点0 x可导，则曲线)(xfy在点（)(,00 xfx）处的切线方程为)()(00/0 xxxfxfy。5.导数是一个局部概念，它只与函数)(xf
10、y在0 x及其附近的函数值有关，与x无关。6.在定义式中，设xxx0，则0 xxx，当x趋近于0 时，x趋近于0 x，因此，导数的定义式可写成00000/)()(lim)()(lim)(0 xxxfxfxxfxxfxfxxox。7.若极限xxfxxfx)()(lim000不存在，则称函数)(xfy在点0 x处不可导。8.若)(xf在0 x可导，则曲线)(xfy在点（)(,00 xfx）有切线存在。反之不然，若曲线)(xfy在点（)(,00 xfx）有切线，函数)(xfy在0 x不一定可导，并且，若函数)(xfy在0 x不可导，曲线在点（)(,00 xfx）也可能有切线。一般地，axbax)(l
11、im0，其中ba,为常数。特别地，aax0lim。如果函数)(xfy在开区间),(ba内的每点处都有导数，此时对于每一个),(bax，都对应着一个确定的导数)(/xf，从而构成了一个新的函数)(/xf。称这个函数)(/xf为函数)(xfy在开区间内的导函数，简称 导数，也可记作/y，即)(/xf/yxxfxxfxyxx)()(limlim00函数)(xfy在0 x处的导数0/xxy就是函数)(xfy在开区间),(ba),(bax上导数)(/xf在0 x处的函数值，即0/xxy)(0/xf。所以函数)(xfy在0 x处的导数也记作)(0/xf。注：1.如果函数)(xfy在开区间),(ba内每一点
12、都有导数，则称函数)(xfy在开区间名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 36 页 -),(ba内可导。2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数)(xfy在点0 x处的导数就是导函数)(/xf在点0 x的函数值。3.求导函数时，只需将求导数式中的0 x换成x就可，即)(/xfxxfxxfx)()(lim04.由导数的定义可知，求函数)(xfy的导数的一般方法是：（1）.求函数的改变量)()(xfxxfy。（2）.求平均变化率xxfxxfxy)()(。（3）.取极限，得导数/y
13、xyx0lim。例 1.求122xy在x 3处的导数。例 2.已知函数xxy2（1）求/y。（2）求函数xxy2在x2 处的导数。小结：理解导数的概念并会运用概念求导数。练习与作业：1.求下列函数的导数：（1）43xy；（2）xy21名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 36 页 -(3)xxy1232(3)35xy2.求函数12xy在 1,0，1 处导数。3.求下列函数在指定点处的导数：（1）2,02xxy；（2）0,3102xxy；（3）1,)2(02xxy（4）1,02xxxy.4.求下列函数的导数：（1）;14xy（2）210 xy；（3）;323xxy（4）7
14、22xy。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 36 页 -5.求函数xxy22在 2,0，2 处的导数。导数的概念习题课（5 月 6 日）教学目标理解导数的有关概念，掌握导数的运算法则教学重点导数的概念及求导法则教学难点导数的概念一、课前预习1.)(xf在点0 x处的导数是函数值的改变量与相应自变量的改变量的商当2.若)(xf在开区间（a，b）内每一点都有导数)(/xf，称)(/xf为函数)(xf的导函数；求一个函数的导数，就是求；求一个函数在给定点的导数，就是求.函数)(xf在点0 x处的导数就是.3.常数函数和幂函数的求导公式：)_()(_)(*/Nnxcn4.导
15、数运算法则：若，则：)()()()()()(/xcfxfcxgxfxgxf二、举例例 1.设函数1)(2xxf，求：（1）当自变量x 由 1 变到 1.1 时，自变量的增量x；（2）当自变量x 由 1 变到 1.1 时，函数的增量y；（3）当自变量x 由 1 变到 1.1 时，函数的平均变化率；（4）函数在x 1 处的变化率.例 2.生产某种产品q 个单位时成本函数为205.0200)(qqC，求（1）生产 90 个单位该产品时的平均成本；（2）生产 90 个到 100 个单位该产品时，成本的平均变化率；（3）生产 90 个与 100 个单位该产品时的边际成本各是多少.例 3.已知函数2)(x
16、xf，由定义求)(/xf，并求)4(/f.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 36 页 -例 4.已知函数2)()(baxxf(a,b 为常数)，求)(/xf.例 5.曲线223xy上哪一点的切线与直线13xy平行？三、巩固练习1.若函数3)(xxf，则/)2(f2.如果函数)(xfy在点0 x处的导数分别为：（1）0)(0/xf（2）1)(0/xf（3）1)(0/xf（4）2)(0/xf，试求函数的图象在对应点处的切线的倾斜角.3.已知函数22)(xxxf，求)0(/f，)41(/f，.4.求下列函数的导数（1）23212xxy（2）15314123xxxy（3）)
17、4(23xxy（4）)23()12(2xxy四、作业1.若)(lim0 xfx存在，则/0)(limxfx2.若2)(xxf，则1)1()(lim1xfxfx3.求下列函数的导数：（1）14020224xxxy（2）432615423xxxxy名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 36 页 -（3）)3)(12(23xxxy（4）32)1()2(xxy4.某工厂每日产品的总成本C 是日产量 x 的函数，即2571000)(xxxC，试求：（1）当日产量为100 时的平均成本；（2）当日产量由100 增加到 125 时，增加部分的平均成本；（3）当日产量为100 时的边际
18、成本.5.设电量与时间的函数关系为1322ttQ，求 t3s 时的电流强度.6.设质点的运动方程是1232tts，计算从 t2 到 t2t之间的平均速度，并计算当t0.1 时的平均速度，再计算t2 时的瞬时速度.7.若曲线1232xy的切线垂直于直线0362yx，试求这条切线的方程.8.在抛物线22xxy上，哪一点的切线处于下述位置？（1）与 x 轴平行（2）平行于第一象限角的平分线.（3）与 x 轴相交成 45角9.已知曲线22xxy上有两点 A（2,0），B（1,1），求：（1）割线 AB 的斜率ABk；（2）过点 A 的切线的斜率ATk；（3）点 A 处的切线的方程.名师资料总结-精品资
19、料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 36 页 -10.在抛物线2xy上依次取M（1,1），N（3,9）两点，作过这两点的割线，问：抛物线上哪一点处的切线平行于这条割线？并求这条切线的方程.11.已知一气球的半径以10cm/s 的速度增长，求半径为10cm 时，该气球的体积与表面积的增长速度.12.一长方形两边长分别用x 与 y 表示，如果x 以 0.01m/s 的速度减小，y 边以 0.02m/s 的速度增加，求在x20m，y15m 时，长方形面积的变化率.13.（选做）证明：过曲线2axy上的任何一点（00,yx）（00 x）的切线与两坐标轴围成的三角形面积是一个常数.（提示：2/1
20、)1(xx）导数的应用习题课（5 月 8 日）教学目标掌握导数的几何意义，会求多项式函数的单调区间、极值、最值教学重点多项式函数的单调区间、极值、最值的求法教学难点多项式函数极值点的求法、多项式函数最值的应用一、课前预习1.设函数)(xfy在某个区间内有导数，如果在这个区间内，则)(xfy是这个区间内的；如果在这个区间内，则)(xfy是这个区间内的.2.设函数)(xfy在0 xx及其附近有定义，如果)(0 xf的值比0 x附近所有各点的值都大（小），则称)(0 xf是函数)(xfy的一个.3.如果)(xfy在某个区间内有导数，则可以这样求它的极值：（1）求导数；（2）求方程的根（可能极值点）；
21、（3）如果在根的左侧附近为，右侧附近为，则函数)(xfy在这个根处取得极值；如果在根的左侧附近为，右侧附近为，则函数)(xfy在这个根处取得极值.4.设)(xfy是定义在 a，b上的函数，)(xfy在(a，b)内有导数，可以这样求最值：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 36 页 -（1）求出函数在(a，b)内的可能极值点（即方程0)(/xf在(a，b)内的根nxxx,21）；（2）比较函数值)(af，)(bf与)(,),(),(21nxfxfxf，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.二、举例例 1.确定函数31292)(23xxxxf的单调区间.例 2.设
22、一质点的运动速度是315743)(234ttttv，问：从 t0 到 t10 这段时间内，运动速度的改变情况怎样？例 3.求函数4931)(3xxxf的极值.例 4.设函数xbxaxxf232131)(在1x1 与2x2 处取得极值，试确定a 和 b 的值，并问此时函数在1x与2x处是取极大值还是极小值？例 5.求函数593)(3xxxf在2,2上的最大值和最小值.例 6.矩形横梁的强度与它断面的高的平方与宽的积成正比例，要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽和高应为多少？名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 36 页 -例 7.求内接于抛物线21xy与 x
23、 轴所围图形内的最大矩形的面积.例8.某 种 产 品 的 总 成 本C（单 位：万 元）是 产 量x（单 位：万 件）的 函 数：3202.004.06100)(xxxxC，试问：当生产水平为x10 万件时，从降低单位成本角度看，继续提高产量是否得当？三、巩固练习1.若函数)(xf在区间 a，b内恒有0)(/xf，则此函数在 a，b上的最小值是2.曲线1213141234xxxxy的极值点是3.设函数aaxaxaxxf23)()(在 x1 处取得极大值2，则 a.4.求下列函数的单调区间：（1）1123223xxxy（2）)2()1(2xxy5.求下列函数的极值：（1）642xxy，（2）59
24、323xxxy，4,4 6.求下列函数的最值：（1）642xxy，3,10（2）233xxy，1,4 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 36 页 -7.设某企业每季度生产某个产品q 个单位时，总成本函数为cqbqaqqC23)(，（其中a 0，b0，c0），求：（1）使平均成本最小的产量（2）最小平均成本及相应的边际成本.8.一个企业生产某种产品，每批生产q 单位时的总成本为qqC3)(（单位：百元），可得的总收入为26)(qqqR（单位：百元），问：每批生产该产品多少单位时，能使利润最大？最大利润是多少？9.在曲线)0,0(12yxxy上找一点（00,yx），过
25、此点作一切线，与x 轴、y 轴构成一个三角形，问：0 x为何值时，此三角形面积最小？10.已知生产某种彩色电视机的总成本函数为73108102.2)(qqC，通过市场调查，可以预计这种彩电的年需求量为pq50101.35，其中p（单位：元）是彩电售价，q（单位：台）是需求量.试求使利润最大的销售量和销售价格.多项式函数的导数（5 月 6 日）教学目的：会用导数的运算法则求简单多项式函数的导数教学重点：导数运算法则的应用教学难点：多项式函数的求导一、复习引入1、已知函数2)(xxf，由定义求)4()(/fxf，并求名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 36 页 -2、根
26、据导数的定义求下列函数的导数：（1）常数函数Cy（2）函数)(*Nnxyn二、新课讲授1、两个常用函数的导数：2、导数的运算法则：如果函数)()(xgxf、有导数，那么也就是说，两个函数的和或差的导数，等于这两个函数的导数的和或差；常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数.例 1：求下列函数的导数：（1）37xy（2）43xy（3）3534xxy（4）)2)(1(2xxy（5）babaxxf、()()(2为常数)例 2：已知曲线331xy上一点)382(，P，求：（1）过点 P 的切线的斜率；（2）过点 P 的切线方程.三、课堂小结：多项式函数求导法则的应用四、课堂练习：1、求下列函数的导数
27、：（1）28xy（2）12xy（3）xxy22（4）xxy433（5）)23)(12(xxy（6）)4(32xxy2、已知曲线24xxy上有两点 A（4，0），B（2，4），求：（1）割线 AB 的斜率ABk；（2）过点 A 处的切线的斜率ATk；（3）点 A 处的切线的方程.)()(*1/Nnnxxnn0)(/C)()()()()()(/xCfxfCxgxfxgxf；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 36 页 -3、求曲线2432xxy在点 M（2，6）处的切线方程.五、课堂作业1、求下列函数的导数：（1）1452xxy（2）7352xxy（3）101372xx
28、y（4）333xxy（5）453223xxxy（6）)3)(2()(xxxf（7）1040233)(34xxxxf（8）xxxf2)2()(（9）)3)(12()(23xxxxf（10）xxy4)12(322、求曲线32xxy在1x处的切线的斜率。3、求抛物线241xy在2x处及2x处的切线的方程。4、求曲线1323xxy在点 P（2，3）处的切线的方程。函数的单调性与极值（5 月 10 日）教学目标：正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；掌握利用导数判断函数单调性的方法；教学重点：利用导数判断函数单调性；教学难点：利用导数判断函数单调性教学过程：一 引入：以前，我们用定义来判断函数的单调性
29、.在假设 x1x2的前提下，比较 f(x1)0 时，函数 y=f(x)在区间（2，）内为增函数；在区间（，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x 的增大而减小，即/y0 时，函数y=f(x)在区间（，2）内为减函数.定义：一般地，设函数 y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y0，那么函数y=f(x)在为这个区间内的增函数；，如果在这个区间内/y)(1xf。x 0 2 y 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 17 页，共 36 页 -o a X0 b x y)(0 xf0)(xf0)(xfo a X0 b x y)(0 xf0)(xf0)(xfx o y（
30、）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。由上图可以看出，在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有0)(xf。但反过来不一定。如函数3xy，在0 x处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。假设0 x使0)(0 xf，那么0 x在什么情况下是的极值点呢？如上左图所示，若0 x是)(xf的极大值点，则0 x两侧附近点的函数值必须小于)(0 xf。因此，0 x的左侧附近)(xf只能是增函数，即0)(xf。0 x的右侧附近)(xf只能是减函数
31、，即0)(xf，同理，如上右图所示，若0 x是极小值点，则在0 x的左侧附近)(xf只能是减函数，即0)(xf，在0 x的右侧附近)(xf只能是增函数，即0)(xf，从而我们得出结论：若0 x满足0)(0 xf，且在0 x的两侧)(xf的导数异号，则0 x是)(xf的极值点，)(0 xf是极值，并且如果)(xf在0 x两侧满足“左正右负”，则0 x是)(xf的极大值点，)(0 xf是极大值；如果)(xf在0 x两侧满足“左负右正”，则0 x是)(xf的极小值点，)(0 xf是极小值。例 3 求函数44313xxy的极值。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 18 页，共 36 页
32、-三 小结1 求极值常按如下步骤：确定函数的定义域；求导数；求方程/y=0 的根，这些根也称为可能极值点；检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点。(最好通过列表法)四 巩固练习1 确定下列函数的单调区间：（1）7522xxy（2）33xxy2 求下列函数的极值（1）672xxy（2）xxy522（3）xxy273（4）323xxy五 课堂作业1 确定下列函数的单调区间：（1）24xy（2）2)1(xy（3）522xxy（4）xxxy232 求下列函数的极值（1）1042xxy（2）7422xxy（3）1323xxy（4）3126xxy（5）xxxy63423（6）422xxy函数的极限（4
33、 月 29 日）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 19 页，共 36 页 -1 2 O X Y1。教学目标：1、使学生掌握当0 xx时函数的极限；2、了解：Axfxx)(lim0的充分必要条件是Axfxfxxxx)(lim)(lim00教学重点：掌握当0 xx时函数的极限教学难点：对“0 xx时，当0 xx时函数的极限的概念”的理解。教学过程：一、复习：（1）nnqlim1q;（2）).(_1limNkxkx（3）?lim22xx二、新课就问题（3）展开讨论：函数2xy当x无限趋近于2 时的变化趋势当x从左侧趋近于2 时（2x）当x从右侧趋近于2 时（2x）发现_lim22xx
34、我们再继续看112xxy当x无限趋近于1（1x）时的变化趋势；函数的极限有概念：当自变量x无限趋近于0 x（0 xx）时，如果函数)(xfy无限趋近于一个常数A，就说当x趋向0 x时，函数)(xfy的极限是A，记作Axfxx)(lim0。特别地，CCxx0lim；00limxxxx三、例题求下列函数在X 0 处的极限（1）121lim220 xxxx（2）xxx0lim（3）)(xf0,10,00,22xxxxxx1.1 1.3 1.5 1.7 1.9 1.99 1.999 1.9999 2 y=x21.21 x2.9 2.7 2.5 2.3 2.1 2.01 2.001 2.0001 2 y
35、=x28.41.7.29 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 20 页，共 36 页 -x X2o a X3 b x1 y 四、小结：函数极限存在的条件；如何求函数的极限。五、练习及作业：1、对于函数12xy填写下表，并画出函数的图象，观察当x无限趋近于 1时的变化趋势，说出当1x时函数12xy的极限2、对于函数12xy填写下表，并画出函数的图象，观察当x无限趋近于 3时的变化趋势，说出当3x时函数12xy的极限3121lim221xxxx32302)31()1(limxxxxx)cos(sin2lim22xxxx2321lim4xxxxaxax20lim（0a）xx1lim0函
36、数的最大与最小值（5 月 8 日）教学目标：1、使学生掌握可导函数)(xf在闭区间ba,上所有点（包括端点ba,）处的函数中的最大（或最小）值；2、使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法教学重点：掌握用导数求函数的极值及最值的方法教学难点：提高“用导数求函数的极值及最值”的应用能力一、复习：1、_/nx；2、_)()(/xgxfC3、求y=x327x 的极值。二、新课在某些问题中，往往关心的是函数在一个定义区间上，哪个值最大，哪个值最小观察下面一个定义在区间ba,上的函数)(xfy的图象x0.1 0.9 0.99 0.999 0.9999 0.99999 1 y=2X 1x1.5 1.1 1
37、.01 1.001 1.0001 1.00001 1 y=2X 1x2.9 2.99 2.999 2.9999 2.99999 2.999999 3 y=X21x3.1 3.01 3.001 3.0001 3.00001 3.000001 3 y=X21名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 21 页，共 36 页 -发 现 图 中 _是 极 小 值，_ 是 极 大 值，在 区 间ba,上 的 函 数)(xfy的最大值是_，最小值是_ 在区间ba,上求函数)(xfy的最大值与最小值 的步骤：1、函数)(xfy在),(ba内有导数；2、求函数)(xfy在),(ba内的极值3、将函数)(
38、xfy在),(ba内的极值与)(),(bfaf比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值三、例1、求函数5224xxy在区间2,2上的最大值与最小值。解：先求导数，得xxy443/令/y 0 即0443xx解得1,0,1321xxx导数/y的正负以及)2(f，)2(f如下表X 2（2，1）1（1，0）0（0，1）1（1，2）2 y/0 0 0 y 13 4 5 4 13 从上表知，当2x时，函数有最大值13，当1x时，函数有最小值4 在日 常 生 活 中，常 常 会 遇 到 什 么 条 件 下 可以 使 材 料 最 省，时 间 最 少，效 率 最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值或
39、最小值问题。例 2用边长为60CM 的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成，问水箱底边的长取多少时，水箱容积最大，最大容积是多少？例 3、已知某商品生产成本C 与产量P 的函数关系为C 100 4P，价格R 与产量P 的函数关系为R 25 0.125P，求产量P 为何值时，利润L 最大。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 22 页，共 36 页 -四、小结：1、闭区间ba,上的连续函数一定有最值；开区间),(ba内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值。2、函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一
40、个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个。3、在解决实际应用问题中，关键在于建立数学模型和目标函数；如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值进行比较。五、练习及作业：1、函数452xxy在区间1,1上的最大值与最小值2、求函数33xxy在区间3,3上的最大值与最小值。3、求函数5224xxy在区间2,2上的最大值与最小值。4、求函数155345xxxy在区间4,1上的最大值与最小值。5、给出下面四个命题名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 23 页，共 36 页 -（1）函数452xxy在区间1,1上的最大值为10，最小值
41、为49（2）函数1422xxy（2X 4）上的最大值为17，最小值为1（3）函数xxy123（3 X 3）上的最大值为16，最小值为16（4）函数xxy123（2 X 2）上无最大值 也无最小值。其中正确的命题有6、把长度为L CM 的线段分成四段，围成一个矩形，问怎样分法，所围成矩形的面积最大。7、把长度为L CM 的线段分成二段，围成一个正方形，问怎样分法，所围成正方形的面积最小。8、某商品一件的成本为30 元，在某段时间内，若以每件X 元出售，可以卖出(200-X)件，应该如何定价才能使利润L 最大？9、在曲线 Y=1X2(X0，Y0)上找一点了(00,yx)，过此点作一切线，与X、Y
42、轴构成一个三角形，问X0为何值时，此三角形面积最小？10、要设计一个容积为V 的圆柱形水池，已知底的单位面积造价是侧面的单位面积造价的一半，问：如何设计水池的底半径和高，才能使总造价最少？(提示：2/11xx)函数极限的运算法则（4 月 30 日）教学目标：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限教学重点：运用函数极限的运算法则求极限教学难点：函数极限法则的运用教学过程：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 24 页，共 36 页 -一、引入：一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如oxxxxxxolim,01lim.若求极限的函数比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数
43、经过怎样的运算结合而成的，已知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算.二、新课讲授对于函数极限有如下的运算法则：如果BxgAxfooxxxx)(lim,)(lim，那么BAxgxfoxx)()(limBAxgxfoxx)()(lim)0()()(limBBAxgxfoxx也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）.说明：当 C 是常数，n 是正整数时，)(lim)(limxfCxCfooxxxxnxxnxxxfxfoo)(lim)
44、(lim这些法则对于x的情况仍然适用.三 典例剖析例 1 求)3(lim22xxx例 2 求112lim231xxxx例 3 求416lim24xxx分析：当4x时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数4162xxy在定义域4x内，可以将分子、分母约去公因式4x后变成4x，由此即名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 25 页，共 36 页 -可求出函数的极限.例 4 求133lim22xxxx分析：当x时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以2x，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。总结：),(li
45、m,lim*NkxxCCkokxxxxoo)(01lim,lim*NkxCCkxx例 5 求1342lim232xxxxx分析：同例4 一样，不能直接用法则求极限.如果分子、分母都除以3x，就可以运用法则计算了。四 课堂练习（利用函数的极限法则求下列函数极限）（1）)32(lim21xx；（2）)132(lim22xxx（3）)3)(12(lim4xxx；（4）14312lim221xxxx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 26 页，共 36 页 -（5）11lim21xxx（6）965lim223xxxx（7）13322lim232xxxxx（8）52lim32yyyy五 小
46、结1 有限个函数的和（或积）的极限等于这些函数的和（或积）；2 函数的运算法则成立的前提条件是函数)(),(xgxf的极限存在，在进行极限运算时，要特别注意这一点.3 两个（或几个）函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极限不一定不存在.4 在求几个函数的和（或积）的极限时，一般要化简，再求极限.六 作业（求下列极限）（1）)432(lim31xxx（2）35lim222xxx（3）12lim21xxxx（4）)1413(lim20 xxxx（5）13lim2423xxxx（6）245230233limxxxxxx（7）42lim22xxx（8）11lim21xxx（9）623l
47、im2232xxxxxx（10）xmmxx220)(lim（11）)112(lim2xxx（12）1221lim22xxxx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 27 页，共 36 页 -（13）13lim243xxxxx（14）2332)2312(limxxx（15）3526113lim221xxxxx（16）3526113lim22xxxxx（17）323203526limxxxxxxx（18）32323526limxxxxxxx极限 的 概 念（4 月 27 日）教学目的：理解数列和函数极限的概念；教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限；教学难点：数列和函数极限的理解教学过
48、程：一、实例引入：例：战国时代哲学家庄周所著的庄子天下篇引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去。（1）求第n天剩余的木棒长度na(尺)，并分析变化趋势；（2）求前n天截下的木棒的总长度nb(尺)，并分析变化趋势。观察以上两个数列都具有这样的特点：当项数n无限增大时，数列的项na无限趋近于某个常数A（即Aan无限趋近于0）。na无限趋近于常数A，意指“na可以任意地靠近A，希望它有多近就有多近，只要n充分大，就能达到我们所希望的那么近。”即“动点na到A 的距离Aan可以任意小。二、新课讲授1、数列极限的定义：一般
49、地，如果当项数n无限增大时，无穷数列na的项na无限趋近于某个常数A（即Aan无限趋近于0），那么就说数列na的极限是A，记作Aannlim注：上式读作“当n趋向于无穷大时，na的极限等于A”。“n”表示“n趋向于无穷大”，即n无限增大的意思。Aannlim有时也记作当n时，naA 引例中的两个数列的极限可分别表示为_，_ 思考：是否所有的无穷数列都有极限？例 1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 28 页，共 36 页 -O y x（1）1，21，31，n1，；（2）21，32，43，1nn，；（3）2，2，2，2，；（
50、4）0.1，0.01，0.001，n)1.0(，；（5）1,1，1，n)1(，；注：几个重要极限：（1）01limnn（2）CCnlim（C 是常数）（3）无穷等比数列nq（1q）的极限是0，即：)1(0limqqnn2、当x时函数的极限（1）画出函数xy1的图像，观察当自变量x取正值且无限增大时，函数值的变化情况：函数值无限趋近于0，这时就说，当x趋向于正无穷大时，函数xy1的极限是0，记作：01limxx一般地，当自变量x取正值且无限增大时，如果函数)(xfy的值无限趋近于一个常数A，就说当x趋向于正无穷大时，函数)(xfy的极限是A，记作：Axfx)(lim也可以记作，当x时，Axf)(