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1、导数的背景（5月4日）教学目标理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义教学重点瞬时速度、切线的斜率、边际成本教学难点极限思想教学过程一、导入新课1.瞬时速度问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？析：大家知道，自由落体的运动公式是（其中g是重力加速度）.当时间增量很小时，从3秒到（3）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大.因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度.从3秒到（3）秒这段时间内位移的增量：从而，.从上式可以看出，越小，越接近29.4米/秒；当无限趋近于0时，无限趋近于29.4米/秒.此时我们说，当趋向于0时，的极限是29.4.当趋向于0
2、时，平均速度的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做瞬时速度.一般地，设物体的运动规律是ss（t），则物体在t到（t）这段时间内的平均速度为.如果无限趋近于0时，无限趋近于某个常数a，就说当趋向于0时，的极限为a，这时a就是物体在时刻t的瞬时速度.2.切线的斜率问题2：P（1,1）是曲线上的一点，Q是曲线上点P附近的一个点，当点Q沿曲线逐渐向点P趋近时割线PQ的斜率的变化情况.析：设点Q的横坐标为1，则点Q的纵坐标为（1）2，点Q对于点P的纵坐标的增量（即函数的增量），所以，割线PQ的斜率.由此可知，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，变得越来越小，越来越接近2；当点Q无限接近于点P时，即无限趋近于0
3、时，无限趋近于2.这表明，割线PQ无限趋近于过点P且斜率为2的直线.我们把这条直线叫做曲线在点P处的切线.由点斜式，这条切线的方程为：.一般地，已知函数的图象是曲线C，P（），Q（）是曲线C上的两点，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，割线PQ绕着点P转动.当点Q沿着曲线无限接近点P，即趋向于0时，如果割线PQ无限趋近于一个极限位置PT，那么直线PT叫做曲线在点P处的切线.此时，割线PQ的斜率无限趋近于切线PT的斜率k，也就是说，当趋向于0时，割线PQ的斜率的极限为k.3.边际成本问题3：设成本为C，产量为q，成本与产量的函数关系式为，我们来研究当q50时，产量变化对成本的影响.在本问题中，成本的增
4、量为：.产量变化对成本的影响可用：来刻划，越小，越接近300；当无限趋近于0时，无限趋近于300，我们就说当趋向于0时，的极限是300.我们把的极限300叫做当q50时的边际成本.一般地，设C是成本，q是产量，成本与产量的函数关系式为CC（q），当产量为时，产量变化对成本的影响可用增量比刻划.如果无限趋近于0时，无限趋近于常数A，经济学上称A为边际成本.它表明当产量为时，增加单位产量需付出成本A（这是实际付出成本的一个近似值）.二、小结瞬时速度是平均速度当趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率当趋近于0时的极限；边际成本是平均成本当趋近于0时的极限.三、练习与作业：1.某
5、物体的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s）求它在t2s时的速度.2.判断曲线在点P（1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.3.已知成本C与产量q的函数关系式为，求当产量q80时的边际成本.4.一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为，求t4s时此球在垂直方向的瞬时速度.5.判断曲线在（1，）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.6.已知成本C与产量q的函数关系为，求当产量q30时的边际成本.导数的概念（5月4日）教学目标与要求：理解导数的概念并会运用概念求导数。教学重点：导数的概念以及求导数教学难点：导数的概念教学过程：一、导入新
6、课：上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。由此我们引出下面导数的概念。二、新授课：1.设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，则函数相应地有增量，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即注：1.函数应在点的附近有定义，否则导数不存在。2.在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可能为0。3.是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点（）及点）的割线斜率。4.导数是函数在点的处瞬时变化率
7、，它反映的函数在点处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线上点（）处的切线的斜率。因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为。5.导数是一个局部概念，它只与函数在及其附近的函数值有关，与无关。6.在定义式中，设，则，当趋近于0时，趋近于，因此，导数的定义式可写成。7.若极限不存在，则称函数在点处不可导。8.若在可导，则曲线在点（）有切线存在。反之不然，若曲线在点（）有切线，函数在不一定可导，并且，若函数在不可导，曲线在点（）也可能有切线。一般地，其中为常数。特别地，。如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数。称这个函数为函数在开区间内
8、的导函数，简称导数，也可记作，即函数在处的导数就是函数在开区间上导数在处的函数值，即。所以函数在处的导数也记作。注：1.如果函数在开区间内每一点都有导数，则称函数在开区间内可导。2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数在点处的导数就是导函数在点的函数值。3.求导函数时，只需将求导数式中的换成就可，即4.由导数的定义可知，求函数的导数的一般方法是：（1）.求函数的改变量。（2）.求平均变化率。（3）.取极限，得导数。例1.求在3处的导数。例2.已知函数（1）求。（2）求函数在2处的导数。小结：理解导数
9、的概念并会运用概念求导数。练习与作业：1.求下列函数的导数：（1）；（2） (3) (3)2.求函数在1,0，1处导数。3.求下列函数在指定点处的导数：（1）；（2）；（3）（4）.4.求下列函数的导数：（1）（2）；（3）（4）。5.求函数在2,0，2处的导数。导数的概念习题课（5月6日）教学目标理解导数的有关概念，掌握导数的运算法则教学重点导数的概念及求导法则教学难点导数的概念一、课前预习1.在点处的导数是函数值的改变量与相应自变量的改变量的商当2.若在开区间（a，b）内每一点都有导数，称为函数的导函数；求一个函数的导数，就是求；求一个函数在给定点的导数，就是求.函数在点处的导数就是.3.
10、常数函数和幂函数的求导公式：4.导数运算法则：若，则：二、举例例1.设函数，求：（1）当自变量x由1变到1.1时，自变量的增量；（2）当自变量x由1变到1.1时，函数的增量；（3）当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率；（4）函数在x1处的变化率.例2.生产某种产品q个单位时成本函数为，求（1）生产90个单位该产品时的平均成本；（2）生产90个到100个单位该产品时，成本的平均变化率；（3）生产90个与100个单位该产品时的边际成本各是多少.例3.已知函数，由定义求，并求.例4.已知函数(a,b为常数)，求.例5.曲线上哪一点的切线与直线平行？三、巩固练习1.若函数，则2.如果函数在点处
11、的导数分别为：（1）（2）（3）（4），试求函数的图象在对应点处的切线的倾斜角.3.已知函数，求，.4.求下列函数的导数（1）（2）（3）（4）四、作业1.若存在，则2.若，则3.求下列函数的导数：（1）（2）（3）（4）4.某工厂每日产品的总成本C是日产量x的函数，即，试求：（1）当日产量为100时的平均成本；（2）当日产量由100增加到125时，增加部分的平均成本；（3）当日产量为100时的边际成本.5.设电量与时间的函数关系为，求t3s时的电流强度.6.设质点的运动方程是，计算从t2到t2之间的平均速度，并计算当0.1时的平均速度，再计算t2时的瞬时速度.7.若曲线的切线垂直于直线，试求
12、这条切线的方程.8.在抛物线上，哪一点的切线处于下述位置？（1）与x轴平行（2）平行于第一象限角的平分线.（3）与x轴相交成45角9.已知曲线上有两点A（2,0），B（1,1），求：（1）割线AB的斜率；（2）过点A的切线的斜率；（3）点A处的切线的方程.10.在抛物线上依次取M（1,1），N（3,9）两点，作过这两点的割线，问：抛物线上哪一点处的切线平行于这条割线？并求这条切线的方程.11.已知一气球的半径以10cm/s的速度增长，求半径为10cm时，该气球的体积与表面积的增长速度.12.一长方形两边长分别用x与y表示，如果x以0.01m/s的速度减小，y边以0.02m/s的速度增加，求在x
13、20m，y15m时，长方形面积的变化率.13.（选做）证明：过曲线上的任何一点（）（）的切线与两坐标轴围成的三角形面积是一个常数.（提示：）导数的应用习题课（5月8日）教学目标掌握导数的几何意义，会求多项式函数的单调区间、极值、最值教学重点多项式函数的单调区间、极值、最值的求法教学难点多项式函数极值点的求法、多项式函数最值的应用一、课前预习1.设函数在某个区间内有导数，如果在这个区间内，则是这个区间内的；如果在这个区间内，则是这个区间内的.2.设函数在及其附近有定义，如果的值比附近所有各点的值都大（小），则称是函数的一个.3.如果在某个区间内有导数，则可以这样求它的极值：（1）求导数；（2）求
14、方程的根（可能极值点）；（3）如果在根的左侧附近为，右侧附近为，则函数在这个根处取得极值；如果在根的左侧附近为，右侧附近为，则函数在这个根处取得极值.4.设是定义在a，b上的函数，在(a，b)内有导数，可以这样求最值：（1）求出函数在(a，b)内的可能极值点（即方程在(a，b)内的根）；（2）比较函数值，与，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.二、举例例1.确定函数的单调区间.例2.设一质点的运动速度是，问：从t0到t10这段时间内，运动速度的改变情况怎样？例3.求函数的极值.例4.设函数在1与2处取得极值，试确定a和b的值，并问此时函数在与处是取极大值还是极小值？例5.求函数在2,2
15、上的最大值和最小值.例6.矩形横梁的强度与它断面的高的平方与宽的积成正比例，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽和高应为多少？例7.求内接于抛物线与x轴所围图形内的最大矩形的面积.例8.某种产品的总成本C（单位：万元）是产量x（单位：万件）的函数：，试问：当生产水平为x10万件时，从降低单位成本角度看，继续提高产量是否得当？三、巩固练习1.若函数在区间a，b内恒有，则此函数在a，b上的最小值是2.曲线的极值点是3.设函数在x1处取得极大值2，则a.4.求下列函数的单调区间：（1）（2）5.求下列函数的极值：（1），（2），4,46.求下列函数的最值：（1），3,10（2），1,47.
16、设某企业每季度生产某个产品q个单位时，总成本函数为，（其中a0，b0，c0），求：（1）使平均成本最小的产量（2）最小平均成本及相应的边际成本.8.一个企业生产某种产品，每批生产q单位时的总成本为（单位：百元），可得的总收入为（单位：百元），问：每批生产该产品多少单位时，能使利润最大？最大利润是多少？9.在曲线上找一点（），过此点作一切线，与x轴、y轴构成一个三角形，问：为何值时，此三角形面积最小？10.已知生产某种彩色电视机的总成本函数为，通过市场调查，可以预计这种彩电的年需求量为，其中p（单位：元）是彩电售价，q（单位：台）是需求量.试求使利润最大的销售量和销售价格.多项式函数的导数（5月
17、6日）教学目的：会用导数的运算法则求简单多项式函数的导数教学重点：导数运算法则的应用教学难点：多项式函数的求导一、复习引入1、已知函数，由定义求2、根据导数的定义求下列函数的导数： （1）常数函数 （2）函数二、新课讲授1、两个常用函数的导数：2、导数的运算法则： 如果函数有导数，那么也就是说，两个函数的和或差的导数，等于这两个函数的导数的和或差；常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数.例1：求下列函数的导数： （1） （2） （3） （4） （5）为常数)例2：已知曲线上一点，求： （1）过点P的切线的斜率； （2）过点P的切线方程.三、课堂小结：多项式函数求导法则的应用四、课堂练习：1
18、、求下列函数的导数：（1） （2） （3） （4）（5） （6）2、已知曲线上有两点A（4，0），B（2，4），求：（1）割线AB的斜率；（2）过点A处的切线的斜率；（3）点A处的切线的方程.3、求曲线在点M（2，6）处的切线方程.五、课堂作业1、求下列函数的导数： （1） （2） （3）（4） （5） （6）（7） （8）（9） （10）2、求曲线在处的切线的斜率。3、求抛物线在处及处的切线的方程。4、求曲线在点P（2，3）处的切线的方程。函数的单调性与极值（5月10日）教学目标：正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；掌握利用导数判断函数单调性的方法；教学重点：利用导数判断函数单调性；教学
19、难点：利用导数判断函数单调性教学过程：一 引入：以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1x2的前提下，比较f(x1)0时，函数y=f(x) 在区间（2，）内为增函数；在区间（，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即0时，函数y=f(x) 在区间（，2）内为减函数.定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；，如果在这个区间内。（）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。由上图可以看出，在函数取得极值
20、处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有。但反过来不一定。如函数，在处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。假设使，那么在什么情况下是的极值点呢？oaX0baxyoaX0baxy 如上左图所示，若是的极大值点，则两侧附近点的函数值必须小于。因此，的左侧附近只能是增函数，即。的右侧附近只能是减函数，即，同理，如上右图所示，若是极小值点，则在的左侧附近只能是减函数，即，在的右侧附近只能是增函数，即，从而我们得出结论：若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值。xoy例3 求函数的极值。三 小结1求极值常按如下步骤： 确定函数的定义域； 求导数； 求方程=0的根，这些根也称为可能极值点； 检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点。(最好通过列表法)四 巩固练习 1 确定下列函数的单调区间：（1） （2）2 求下列函数的极值（1） （2）（3） （4）五 课堂作业 1 确定下列函数的单调区间：（1） （2）（3） （4）2 求下列函数的极值（1） （2）（3） （4）（5） （6）14 / 14