第09章随机过程引论.ppt

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1、第09章随机过程引论现在学习的是第1页，共32页第一节第一节随机过程的概念随机过程的概念现在学习的是第2页，共32页 随机过程研究的对象是随时间而变化的随机现象。随机过程研究的对象是随时间而变化的随机现象。例：热噪声电压例：热噪声电压 假如我们对某电子元件两端的热噪声电压作一次假如我们对某电子元件两端的热噪声电压作一次“长时间长时间”观察测量，得到如图中所示的一条电压时间函数观察测量，得到如图中所示的一条电压时间函数 。)(1tx 如在相同条件下，独立地再进行一次测量，得到的如在相同条件下，独立地再进行一次测量，得到的电压时间电压时间函数函数是不同的，可能是是不同的，可能是 或或 等等。这样，

2、不断地独等等。这样，不断地独立地再进行一次次的测量，就可以得到一簇不同的立地再进行一次次的测量，就可以得到一簇不同的电压时间函电压时间函数数，这簇函数从另一角度刻画了热噪声电压。，这簇函数从另一角度刻画了热噪声电压。)(3tx)(2tx)(1txt t)(2tx)(3tx一一、引引例例现在学习的是第3页，共32页族中的每一个函数称为这个随机过程的族中的每一个函数称为这个随机过程的样本函数样本函数。定义定义1 1：设是随机试验，样本空间为：设是随机试验，样本空间为 ，若对每个，若对每个 总有一个时间函数总有一个时间函数 与它相对应，这样对于所有与它相对应，这样对于所有的的 得到一族时间的函数，称

3、为得到一族时间的函数，称为随机过程随机过程。eS Se),(etXTt Se 简简记为记为TttX),(记为记为 TtetX),(二二、随随机机过过程程的的定定义义)(itX)(1txt t)(2tx)(3tx2e3e1eitS S现在学习的是第4页，共32页定义定义2 2：设设 ，如果对于每一个，如果对于每一个 ，都有一个随机，都有一个随机变量变量 与它相对应与它相对应 ，则称随机变量族，则称随机变量族 为随机过程。为随机过程。),(tXTt)(tX),(TTt 称称 为时间参数集，称为时间参数集，称 为时刻为时刻 时过程的时过程的状态，状态，而而 说成是说成是 时过程处于状态时过程处于状态

4、 。T)(tXt实数）实数）()(1xtX 1tt x 对于一切对于一切 所能取的一切值组成的集合，称为过所能取的一切值组成的集合，称为过程的状态空间。程的状态空间。)(,tXTt 现在学习的是第5页，共32页 ).2,0(,0,cos)(UattatX 常常数数为为其其中中例例题题：设设 是一个随机变量，是一个随机变量，因为对因为对 tatXRt cos)(,.,.)(aaItX 状状态态空空间间为为：是是一一个个随随机机过过程程所所以以，通常称通常称 为随机相位正弦波。为随机相位正弦波。RttatX cos三三、例例题题.,0()(110内内收收到到的的呼呼叫叫次次数数在在时时间间表表示示

5、进进行行记记录录，以以服服务务台台收收到到的的呼呼叫叫次次数数例例题题：对对ttN,)(0是是一一个个随随机机变变量量固固定定时时，显显然然，当当tNt .0)(是是一一个个随随机机过过程程，所所以以，ttN.,2,1,0 I状状态态空空间间为为：现在学习的是第6页，共32页tx cos tx )(txt2t1tRtTetHetteXtX .,cos),()().,(.)(ItX状态空间为：状态空间为：是一个随机过程是一个随机过程所以，所以，.,costt 本本函函数数族族为为另另一一方方面面，显显然然它它的的样样是是一一个个随随机机变变量量，因因为为对对)(,tXRt 验验，定定义义：例例题

6、题：利利用用抛抛硬硬币币的的试试现在学习的是第7页，共32页(1)(1)如果一个随机过程如果一个随机过程 对于任意的对于任意的 都是连续型都是连续型随机变量，则称此随机过程为随机变量，则称此随机过程为连续型随机过程连续型随机过程；若对任意的；若对任意的 是离散型随机变量，称此随机过程为是离散型随机变量，称此随机过程为离散型随机过离散型随机过程程。tX)(,tXTt)(,tXTt 随机过程可以根据其随机过程可以根据其状态空间状态空间和和参数集参数集的的连续连续或或离散离散进行分类进行分类(2)(2)当参数集当参数集 为有限区间或无限区间时，则称为有限区间或无限区间时，则称 是是连续参数连续参数随

7、机过程随机过程。以后若没特别指出，随机过程一词总是指。以后若没特别指出，随机过程一词总是指连续参数随连续参数随机过程机过程。若参数集。若参数集 为离散集合，则称为为离散集合，则称为随机序列随机序列；若随机序列；若随机序列的状态空间还是离散的，则称为的状态空间还是离散的，则称为离散参数链离散参数链。tXTT四四、随随机机过过程程的的分分类类现在学习的是第8页，共32页第二节第二节随机过程的统计描述随机过程的统计描述现在学习的是第9页，共32页.统统计计特特性性机机过过程程的的字字特特征征两两方方面面来来描描述述随随下下面面从从分分布布函函数数族族和和数数族族、随随机机过过程程的的分分布布函函数数

8、一一)(.),(为为一一个个随随机机过过程程设设TttX.)();()(过过程程的的一一维维分分布布函函数数为为随随机机的的分分布布函函数数，称称对对xtXPtxFtXTtX .),;(函函数数族族为为随随机机过过程程的的一一维维分分布布称称TttxFX.)(,)(),;,()(),(,221121212121分分布布函函数数为为随随机机过过程程的的二二维维的的分分布布函函数数，称称对对xtXxtXPttxxFtXtXTttX .,),;,(212121函函数数族族为为随随机机过过程程的的二二维维分分布布称称TttttxxFX 现在学习的是第10页，共32页.)(,)(),;,()(,),(,

9、111111维维分分布布函函数数程程的的为为随随机机过过的的分分布布函函数数，称称，类类似似，对对nxtXxtXPttxxFtXtXTttnnnnXnn .,),;,(111函函数数族族维维分分布布为为随随机机过过程程的的称称nTttttxxFnnnX.1,),;,(111限限维维分分布布函函数数族族为为随随机机过过程程的的有有称称 nTttttxxFnnnX科尔莫戈罗夫定理：科尔莫戈罗夫定理：有限维分布函数族完全决定了随机过程的统计特有限维分布函数族完全决定了随机过程的统计特性。性。现在学习的是第11页，共32页、随随机机过过程程的的数数字字特特征征二二)(),(TttX 设设随随机机过过程

10、程均均值值函函数数.1.)()()(均均值值函函数数的的为为称称tXtXEtX 、均均方方差差函函数数均均方方值值函函数数、方方差差函函数数.2.)()()(22均均方方值值函函数数的的为为称称tXtXEtX .)()()()()(22方方差差函函数数的的为为称称tXttXEtXDtXX .)()()()(2均均方方差差函函数数的的为为称称tXtXDttXX )(tX)()(ttXX )()(ttXX )(tX现在学习的是第12页，共32页相相关关函函数数、协协方方差差函函数数.3自相关函数，自相关函数，的的为为称称)()()(),(2121tXtXtXEttRX 简简称称相相关关函函数数自协

11、方差函数，自协方差函数，的的为为称称)()()()()(),(221121tXttXttXEttCXXX .简简称称协协方方差差函函数数现在学习的是第13页，共32页),()().1(2ttRtXX )(),(),()().3(22tttRttCtXXXX )()(),(),().2(212121ttttRttCXXXX )()()()(),()1(22ttXEtXtXEttRXX )()()()()()()()()()()()(),()2(21122121221121tttXttXttXtXEttXttXEttCXXXXXXX )()(),(2121ttttRXXX )()()()(),()

12、3(22ttDttXEttCXXXX 间间的的关关系系：随随机机过过程程的的数数字字特特征征之之证证明明：)(),(),(2tttRttCXXX 现在学习的是第14页，共32页.)(),1,0(,)(协协方方差差函函数数、方方差差函函数数均均值值函函数数、相相关关函函数数、的的求求其其中中例例题题：设设随随机机过过程程tXUARtAttX )1,0(UA解解：因因为为121)(,21)(ADAE2)()()(tAEtAtEtXEtX 均均值值函函数数)(),(2212121AEttAtAtEttRX 相相关关函函数数协协方方差差函函数数.方方差差函函数数21 21 21 211()().124

13、3t tt t D AE At t )()(),(),(212121ttttRttCXXXX .1243212121tttttt .12),()(22tttCtXX 现在学习的是第15页，共32页.)(),2,0(),1,0(,)(函函数数的的均均值值函函数数、相相关关相相互互独独立立，求求和和且且其其中中例例题题：设设随随机机过过程程tXBAUBNARtBAttX 解解：显显然然有有31124)(,1)(,1)(,0)(BDBEADAE.1)()()(BEAEtBAtEtX 均均值值函函数数)()(),(2121BAtBAtEttRX 相相关关函函数数)()(212221ABEttBEAEt

14、t ）;1)()(22 AEADAE）.0)()()(;34131)()(22 BEAEABEBEBDBE）.34),(2121 ttttRX现在学习的是第16页，共32页 ).2,0(,0,cos)(UattatX 常常数数为为其其中中例例题题：设设.)(、协协方方差差函函数数的的均均值值函函数数、相相关关函函数数求求tX的的密密度度函函数数为为解解：其其它它,020,21 f dtatXEtX 2021)cos()()(均均值值函函数数.0 )()(,2121tXtXEttRX)cos()cos(212 ttaE 2021221)cos()cos(dtta)(cos2212tta相相关关函

15、函数数 12tt 其中其中.cos22 a)()(),(),(212121ttttRttCXXXX cos22a 协协方方差差函函数数现在学习的是第17页，共32页第三节第三节几类重要过程几类重要过程现在学习的是第18页，共32页(0)0(),0()()(0)XX ttX sX tts 定定理理：设设，独独立立增增量量过过程程的的有有限限分分布布函函数数族族可可由由增增量量的的分分布布来来确确定定。()(),(0)X sX ttsstts 若若增增量量的的分分布布只只与与有有齐齐次次的的关关，而而与与、无无关关，则则称称为为或或独独立立增增时时齐齐的的量量过过程程。一一、独独立立增增量量过过程

16、程为为相相互互独独立立，则则称称个个增增量量，任任意意的的和和，若若对对任任意意正正整整数数、定定义义：对对二二阶阶矩矩过过程程0),()()(,),()(),()(:00),(111201210 ttXtXtXtXtXtXtXnttttnttXnnn.独独立立增增量量过过程程独独立立增增量量过过程程的的特特点点：.增增量量是是相相互互独独立立的的在在互互不不重重叠叠的的区区间间上上，现在学习的是第19页，共32页)()(),(min(),(0)0(2tXDtDtsDtsCXXXX 注注：记记时时，有有、当当0)(,0)0()()()()()(tYEYtYtXttXtYX且且为为也也是是独独立

17、立增增量量过过程程为为独独立立增增量量过过程程，所所以以因因为为记记事事实实上上，)()()()()(22tDttXEtYEtDXXY )()()()0()()()()()0()(2sYEsYtYEYsYEsYsYtYYsYE ).()(0sDsDXX )()()()()()(),(0tYsYEttXssXEtsCtsXXX 时时，就就有有：所所以以当当)(),(0tDtsCstXX 时时，就就有有：类类似似当当),(min(),(tsDtsCXX 所所以以现在学习的是第20页，共32页二二、泊泊松松过过程程、计计数数过过程程1()(0,(110;),()0.N ttN tt 定定义义：以以表

18、表示示在在时时间间间间隔隔内内出出现现的的质质点点数数 如如收收到到的的呼呼叫叫次次数数 到到达达车车站站的的人人数数等等等等称称，为为计计数数过过程程000(,(,)()()ttN ttN tN t 在在内内出出现现的的质质点点数数记记为为：0(,ttk在在内内出出现现个个质质点点”可可表表示示为为：,2,1,0,),(),(00 kkttNPttPk其其概概率率记记为为：.)()(),(00ktNtNttN 例子：随时间推移迟早会重复出现的事件例子：随时间推移迟早会重复出现的事件自电子管阴极发射的电子到达阳极自电子管阴极发射的电子到达阳极意外事故或意外差错的发生意外事故或意外差错的发生1.

19、要求服务的顾客到达服务站要求服务的顾客到达服务站现在学习的是第21页，共32页有有对对充充分分小小的的t)322(,)(,)();jjjP t ttP N t ttjt .0)0()4 N(),0.N tt 则则称称计计数数过过程程是是强强度度为为的的泊泊松松过过程程0002(),00,()()()(0)0,(),0.N ttttN tN tttNN tt 定定义义：设设是是一一个个独独立立增增量量的的计计数数过过程程，如如果果对对任任意意的的增增量量且且则则称称是是一一强强度度为为的的泊泊松松过过程程、泊泊松松过过程程的的定定义义21(),0N t t 定定义义：设设是是计计数数过过程程，且

20、且满满足足以以下下条条件件：是是独独立立增增量量过过程程；)()1tN有有对对充充分分小小的的t)21(,)(,)1)()P t ttP N t tttt ，0.为为常常数数现在学习的是第22页，共32页定理定理 定义定义1 1与定义与定义2 2是等价的是等价的证：证：由定义由定义1 1推出定义推出定义2 2成立，只要由成立，只要由条件条件和式导出和式导出增量增量的分布的分布即可。即可。这可用数学归纳法通过确定概率这可用数学归纳法通过确定概率 ,2,1,00),(00 kttttPk来来证明。证明。首先我们来确定首先我们来确定),(00ttP0 t 为此对充分小的为此对充分小的tt t0t考虑

21、考虑 0),(),(00 tttXPtttP 现在学习的是第23页，共32页故故0),(,0),(0 tttXttXP),(00tttP 0),(),(0 ttXtttXP 由条件可写成由条件可写成),(00tttP )(1),(00ttttP ),(),(000tttPttP 0),(0),(0 tttXPttXP),(0tttX ),(),(0ttXtttX ),(),(0000ttPtttP )(),(00ttttP 上式两边除以上式两边除以 ，并令，并令t 0t 得微分方程得微分方程:),(),(0000ttPdtttdP 由由 把它作为初始条件把它作为初始条件1),(000 ttP现

22、在学习的是第24页，共32页),(),(00tttXPtttPk kjjtttXPjkttXP20),(),(1),(1),(0 tttXPkttXP 0),(),(0 tttXPkttXP kjjtttXPjkttXP00),(),(),(),(0ktttXttXP 即得方程的解为：即得方程的解为：0)(00,),(0ttettPtt 因此因此当当k=0k=0时时,增量的分布服从泊松分布式增量的分布服从泊松分布式用同样的方法我们可以确定用同样的方法我们可以确定),(0ttPk根据全概率公式和条件考虑根据全概率公式和条件考虑tt t0t),(),(00tttPttPk ),(),(101ttt

23、PttPk kjjjktttPttP20),(),()()(1),(0totttPk )()(),(01ttttPk kjjktottP20)(),(tttPtttPkk ),(),(00 ttttPttPkk )(),(),(010 现在学习的是第25页，共32页1),(000 ttP得得初始条件初始条件1,0),(00 kttPk设设)(10010)!1()(),(ttkkekttttP 即假设取即假设取k-1k-1时时增量的分布服从泊松分布式增量的分布服从泊松分布式代入上述方程并利用初始条件即可解得：代入上述方程并利用初始条件即可解得：)(000!)(),(ttkkekttttP 令令

24、即即得得 0t),(0ttPk所满足的微分方程所满足的微分方程),(),(),(0100ttPttPdtttdPkkk 由数学归纳法可由数学归纳法可得得 定义定义2 2。现在学习的是第26页，共32页、泊泊松松过过程程的的统统计计特特性性3(),0.N tt 是是一一强强度度为为的的泊泊松松过过程程均均值值函函数数)()(tNEtX ;)0()(tNtNE ttX )(即即().E N tt 注注：即即表表示示单单位位时时间间内内出出现现质质点点数数的的期期望望方方差差函函数数tNtNDtNDtDN )0()()()(协协方方差差函函数数),min(),(min(),(tstsDtsCNN 相

25、相关关函函数数)()(),(),(tstsCtsRNNNN tsts2),min(现在学习的是第27页，共32页例例:某种产品有某种产品有3个存货，个存货，求这些存货维持不了一天的概率求这些存货维持不了一天的概率。如果货如果货物的销售构成如下物的销售构成如下:（1）销售量是日平均为）销售量是日平均为 4 个的泊松过程；个的泊松过程；（2）销售量是一个泊松过程，它的日平均量是一个随机变量）销售量是一个泊松过程，它的日平均量是一个随机变量,以概率以概率0.25、0.50和和0.25 分别取值分别取值3、4、5。则存货维持不了一天的概率为：则存货维持不了一天的概率为：3)1(13)1(NPNP567

26、.0!41430 ekkk解（解（1）销售量销售量 为泊松过程，这里为泊松过程，这里 取取0),(ttN4 1 t（2 2）由于它的日平均量是一个随机变量由于它的日平均量是一个随机变量,所以在（所以在（1）中分别取）中分别取 5,4,3321 735.0,567.0,353.0321 PPP计计算算得得：555.025.0735.050.0567.025.0353.0)(PE现在学习的是第28页，共32页)()(12ktNtNP )(exp!)(12211221ttkttk 证证:)()(12ktNtNP )()()()(12112221ktNtNtNtNP )()()()(12221121k

27、tNtNtNtNP 2,1,0 k例例:设设 和和 为两个相互独立的泊松过为两个相互独立的泊松过程程,强度分别为强度分别为 和和 0),(1 ttN0),(2 ttN1 2 求证求证:为强度是为强度是 的泊松过程的泊松过程.)()()(21tNtNtN 21 分析分析:只要证明对任意的只要证明对任意的 及整数及整数 有有012 tt0 k kiitNtNP01121,)()()()(1222iktNtN kiitNtNP01121)()()()(1222iktNtNP 现在学习的是第29页，共32页 kiikiiki021)!(!)(exp)(122112ttttk kiikiikikk021

28、)!(!1 )(exp)(122112ttttk )(exp!)(12211221ttkttk 2,1,0 k所以所以 为强度是为强度是 的泊松过程的泊松过程.21 )(tN kiittitt0121121)(exp!)()(exp)!()(122122ttikttik 现在学习的是第30页，共32页三、三、正态过程正态过程定义：定义：如果随机过程如果随机过程 的任何有限维分布都是正态分布，则的任何有限维分布都是正态分布，则称称 为为正态过程，正态过程，或称或称高斯（高斯（Gauss)Gauss)过程。过程。)(tX)(tX由第四章第三，第四节知：由第四章第三，第四节知：正态过程的均值函数和自

29、协方差函数（正态过程的均值函数和自协方差函数（或自相关函数）完全地确定了过程的概率分布。或自相关函数）完全地确定了过程的概率分布。例例:设设 其中其中A,B 是相互独立，且都服从正态分布是相互独立，且都服从正态分布 的随机变量，的随机变量，是常是常数。试证明数。试证明 是是正态过程，并且求它的均值函数和自相关函正态过程，并且求它的均值函数和自相关函数数),(,sincos)(TttBtAtX ),0(2 N)(tX解：解：A,B 是相互独立的正态变量，是相互独立的正态变量，（,）是二）是二维维正态正态变量。对变量。对,21TtttNnn nitBtAtXiii,2,1,sincos)(都是都是,的线性组合，于是的线性组合，于是 是是正态变量正态变量)(,),(),(21ntXtXtXP119性质性质3现在学习的是第31页，共32页所以，所以，是是正态过程。正态过程。)(tX因为因为 222)()(,0)()()(BEAEABEBEAE所以所以,0sincos)(tBtAEtX )sincos)(sincos()(),(22112,121tBtAtBtAEttRttCXX )sinsincos(cos21212tttt )(cos122tt 现在学习的是第32页，共32页