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1、第2章-随机过程第1页，本讲稿共54页 2.1 随机过程的基本概念和统计特性随机过程的基本概念和统计特性 2.1.1 随机过程随机过程u自然界中事物的变化过程可以大致分成为两类自然界中事物的变化过程可以大致分成为两类u确定性过程：确定性过程：n其变化过程具有确定的形式，或者说具有必然的变化规律。n用数学语言来说，其变化过程可以用一个或几个时间的确定函数来描述。例如，电容器通过电阻放电时，电容两端的电位差随时间的变化就是一个确定性函数。u随机过程：随机过程：n没有确定的变化形式，也就是说，每次对它的测量结果没有一个确定的变化规律。n用数学语言来说，这类事物变化的过程不可能用一个或几个时间的确定函
2、数来描述。n随机信号和噪声统称为随即过程。第2页，本讲稿共54页 设有n台性能完全相同的接收机。在相同的工作环境和测试条件下记录各台接收机的输出噪声波形（也可以理解为对一台接收机在一段时间内持续地进行n次观测）。测试结果表明，尽管设备和测试条件相同，记录的n条曲线中找不到两个完全相同的波形。这就是说，接收机输出的噪声电压随时间的变化是不可预知的，因而它是一个随机过程。随机过程的定义：设Sk(k=1,2,)是随机试验。每一次试验都有一条时间波形（称为样本函数或实现），记作xi(t)，所有可能出现的结果的总体x1(t)，x2(t)，xn(t)，就构成一随机过程，记作(t)。简言之，无穷多个样本函数
3、的总体叫做随机过程，如图2-1所示。第3页，本讲稿共54页图图 2-1 样本函数的总体样本函数的总体 第4页，本讲稿共54页 显然，上例中接收机的输出噪声波形也可用图2-1表示。我们把对接收机输出噪声波形的观测可看作是进行一次随机试验，每次试验之后，(t)取图2-1所示的样本空间中的某一样本函数，至于是空间中哪一个样本，在进行观测前是无法预知的，这正是随机过程随机性的具体表现。其基本特征体现在两个方面：其一，它是一个时间函数；其二，在固定的某一观察时刻t1，全体样本在t1时刻的取值(t1)是一个不含t变化的随机变量。因此，我们又可以把随机过程看成依赖时间参数的一组随机变量。可见，随机过程具有随
4、机变量和时间函数的特点。第5页，本讲稿共54页 2.1.2 随机过程的统计特性随机过程的统计特性 随机过程的两重性使我们可以用与描述随机变量相似的方法，来描述它的统计特性。设(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1T，其取值(t1)是一个一维随机变量。而随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。我们把随机变量(t1)小于或等于某一数值 x1的 概 率 P(t1)x1，简 记 为 F1(x1,t1)，即F1(x1,t1)=P(t1)x1 上式称为随机过程(t)的一维分布函数。如果F1(x1,t1)对x1的偏导数存在，即有第6页，本讲稿共54页 则称f1(x1,t1)为(t)的一维
5、概率密度函数。显然，随机过程的一维分布函数或一维概率密度函数仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性，而没有说明随机过程在不同时刻取值之间的内在联系，为此需要进一步引入二维分布函数。任给两个时刻t1，t2T，则随机变量(t1)和(t2)构成一个二元随机变量(t1),(t2)，称F2(x1,x2;t1,t2)=P(t1)x1,(t2)x2为随机过程(t)的二维分布函数。第7页，本讲稿共54页 则称f2(x1,x2;t1,t2)为(t)的二维概率密度函数。同理，任给t1,t2,tnT，则(t)的n维分布函数定义为Fn(x1,x2,xn；t1,t2,tn)=P(t1)x1,(t2)x2,(tn)x
6、n 则称fn(x1,x2,xn;t1,t2,tn)为(t)的n维概率密度函数。显然，n越大，对随机过程统计特性的描述就越充分，但问题的复杂性也随之增加。在一般实际问题中，掌握二维分布函数就已经足够了。如果存在第8页，本讲稿共54页 2.1.3 随机过程的数字特征随机过程的数字特征 分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机过程的统计特性，但在实际工作中，有时不易或不需求出分布函数和概率密度函数，而用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。1.数学期望数学期望 设随机过程(t)在任意给定时刻t1的取值(t1)是一个随机变量，其概率密度函数为f1(x1,t1)，则(t1)的数学
7、期望为第9页，本讲稿共54页 注意，这里t1是任取的，所以可以把t1直接写为t，x1改为x，这时上式就变为随机过程在任意时刻的数学期望，记作a(t)，即a(t)是时间t的函数，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心。2.方差方差第10页，本讲稿共54页 D(t)常记为2(t)。可见方差等于均方值与数学期望平方之差。它表示随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏离程度。均值和方差都只与随机过程的一维概率密度函数有关，因而它们描述了随机过程在各个孤立时刻的特征。为了描述随机过程在两个不同时刻状态之间的联系，还需利用二维概率密度引入新的数字特征。3.相关函数相关函数 衡量随机过程在任意两个时刻获得的
8、随机变量之间的关联程度时，常用协方差函数B(t1,t2)和相关函数R(t1,t2)来表示。协方差函数定义为第11页，本讲稿共54页 B(t1,t2)=式中，t1与t2是任取的两个时刻；a(t1)与a(t2)为在t1及t2时刻得到的数学期望；f2(x1,x2；t1,t2)为二维概率密度函数。相关函数定义为 R(t1,t2)二者关系为 B(t1,t2)=R(t1,t2)-a(t1)a(t2)第12页，本讲稿共54页 若a(t1)=0或a(t2)=0，则B(t1,t2)=R(t1,t2)。若t2t1，并令t2=t1+，则R(t1,t2)可表示为R(t1,t1+)。这说明，相关函数依赖于起始时刻t1及
9、t2与t1之间的时间间隔，即相关函数是t1和的函数。由于B(t1,t2)和R(t1,t2)是衡量同一过程的相关程度的，因此，它们又常分别称为自协方差函数和自相关函数。对于两个或更多个随机过程，可引入互协方差及互相关函数。设(t)和(t)分别表示两个随机过程，则互协方差函数定义为 B(t1,t2)=E(t1)-a(t1)(t2)-a(t2)而互相关函数定义为 R(t1,t2)=E(t1)(t2)第13页，本讲稿共54页2.2 平稳随机过程平稳随机过程 2.2.1 定义定义 所谓平稳随机过程，是指它的统计特性不随时间的推移而变化。设随机过程(t)，tT，若对于任意n和任意选定t1t2tn,tkT，
10、k=1,2,n，以及h为任意值，且x1,x2,xn R，有则称(t)是平稳随机过程。该定义说明，当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有有限维分布函数是不变的，具体到它的一维分布，与时间t无关，而二维分布只与时间间隔有关，即有第14页，本讲稿共54页 f1(x1,t1)=f1(x1)和 f2(x1,x2;t1,t2)=f2(x1,x2;)于是，平稳随机过程(t)的均值 为一常数，这表示平稳随机过程的各样本函数围绕着一水平线起伏。同样，可以证明平稳随机过程的方差2(t)=2=常数，表示它的起伏偏离数学期望的程度也是常数。而平稳随机过程(t)的自相关函数第15页，本讲稿共54页 仅是时间间隔
11、=t2-t1的函数，而不再是t1和t2的二维函数。以上表明，平稳随机过程(t)具有“平稳”的数字特征：它的均值与时间无关；自相关函数只与时间间隔有关，即 R(t1,t1+)=R()注意到定义的平稳随机过程对于一切n都成立，这在实际应用上很复杂。但仅仅由一个随机过程的均值是常数，自相关函数是的函数还不能充分说明它符合平稳条件，为此引入另一种平稳随机过程的定义：第16页，本讲稿共54页 设有一个二阶矩随机过程(t)，它的均值为常数，自相关函数仅是的函数，则称它为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。相应地，称按公式定义的过程为严平稳随机过程或狭义平稳随机过程。因为广义平稳随机过程的定义只涉及与一维、二
12、维概率密度有关的数字特征，所以一个严平稳随机过程只要它的均方值E2(t)有界，则它必定是广义平稳随机过程，但反过来一般不成立。通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。以后讨论的随机过程除特殊说明外，均假定是平稳的，且均指广义平稳随机过程，简称平稳过程。第17页，本讲稿共54页 2.2.2 各态历经性各态历经性 平稳随机过程在满足一定条件下有一个有趣而又非常有用的特性，称为“各态历经性”。这种平稳随机过程，它的数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的数字特征（均为时间平均）来替代。也就是说，假设x(t)是平稳随机过程(t)的任意一个实现，它的时间均值和时间相关函数
13、分别为第18页，本讲稿共54页如果平稳随机过程依概率1使下式成立：则称该平稳随机过程具有各态历经性。“各态历经”的含义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，我们无需获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征，从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。注注意意：具具有有各各态态历历经经性性的的随随机机过过程程必必定定是是平平稳稳随随机机过过程程，但但平平稳稳随随机机过过程程不不一一定定是是各各态态历历经经的的。在在通通信信系系统统中中所所遇遇到到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。的随
14、机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。第19页，本讲稿共54页 2.2.3 平稳随机过程自相关函数的性质平稳随机过程自相关函数的性质 对于平稳随机过程而言，它的自相关函数是特别重要的一个函数。其一，平稳随机过程的统计特性，如数字特征等，可通过自相关函数来描述；其二，自相关函数与平稳随机过程的谱特性有着内在的联系。因此，我们有必要了解平稳随机过程自相关函数的性质。设(t)为实平稳随机过程，则它的自相关函数 R()=E(t)(t+)具有下列主要性质：（1）R(0)=E2(t)=S (t)的平均功率第20页，本讲稿共54页 （2）R()=E2(t)(t)的直流功率 这里利用了当时，(t)与(t+)
15、没有依赖关系，即统计独立，且认为(t)中不含周期分量。（3）R()=R(-)的偶函数 （4）|R()|R(0)R()的上界 考虑一个非负式即可得证。（5）R(0)-R()=2方差，(t)的交流功率当均值为0时，有R(0)=2。第21页，本讲稿共54页 2.2.4 平稳随机过程的功率谱密度平稳随机过程的功率谱密度 随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。随机过程中的任一实现是一个确定的功率型信号。而对于任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度为 式中，FT()是f(t)的截短函数fT(t)(图2-2)所对应的频谱。若把f(t)看成是平稳随机过程(t)中的任一实现，则每一实现的功率谱密度可
16、用上式表示。由于(t)是无穷多个实现的集合，哪一个实现出现是不能预知的，因此，某一实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。过程的功率谱密度应看做是任一实现的功率谱的统计平均，即 第22页，本讲稿共54页图 2-2 功率信号f(t)及其截短函数第23页，本讲稿共54页(t)的平均功率S则可表示成 上式给出了平稳随机过程(t)的功率谱密度P()，但很难直接用它来计算。在信号与系统课程学到，确知的非周期功率信号的自相关函数与其谱密度是一对傅氏变换关系。对于平稳随机过程，也有类似的关系，即第24页，本讲稿共54页 例2-1 某随机相位余弦波(t)=Acos(ct+)，其中A和c均为常数，是在(0，2
17、)内均匀分布的随机变量。（1）求(t)的自相关函数与功率谱密度；（2）讨论(t)是否具有各态历经性。解：(1)先考察(t)是否广义平稳。(t)的数学期望为：第25页，本讲稿共54页由于(t)的数学期望为常数，且自相关函数只与时间间隔有关，所以(t)为广义平稳随机过程。根据平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换，即 ，则功率谱密度为(t)的自相关函数为：平均功率为：第26页，本讲稿共54页(2)求(t)的数字特征 比较统计平均与时间平均，得a=，R()=，因此，随机相位余弦波是各态历经的。第27页，本讲稿共54页2.3 高斯随机过程高斯随机过程 2.3.1 定义定义 若随机过程(t)
18、的任意n维（n=1,2,）分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。其n维正态概率密度函数表示如下：式中，ak=E(tk)，k2=E(tk)-ak2，|B|为归一化协方差矩阵的行列式。第28页，本讲稿共54页 2.3.2 重要性质重要性质 （1）高斯过程的n维分布完全由n个随机变量的数学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。数字特征决定着高斯分布。（2）如果高斯过程是广义平稳的，则它的均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，则它的n维分布与时间起点无关。所以，广义平稳的高斯过程也是狭义平稳的。（3）如果各随机变量两两之间互不相关，则 即：若高斯过程中的随机
19、变量之间互不相关，则它们也是统计独立的。第29页，本讲稿共54页 式中，a为高斯随机变量的数学期望，2为方差。由上式和图2-3可知f(x)具有如下特性：(1)f(x)对称于x=a这条直线。(2)且 (3)a表示分布中心，表示集中程度，f(x)图形将随着a值的不同而左右平移，随着的减小而变高和变窄。当a=0，=1时，称f(x)为标准正态分布的密度函数。高斯过程的一维概率密度函数可表示为第30页，本讲稿共54页图图2-3 正态分布的概率密度函数正态分布的概率密度函数第31页，本讲稿共54页 是自变量增函数，erf(0)=0，erf()=1，且erf(-x)=-erf(x)。我们称1-erf(x)为
20、互补误差函数，记为erfc(x)。即 是自变量减函数，erfc(0)=1，erfc()=0。X足够大时，近似有 常见的几种特殊函数：（1）误差函数和互补误差函数。误差函数的定义式为第32页，本讲稿共54页 （2）概率积分函数和Q函数。概率积分函数定义为 Q函数是一种经常用于表示高斯尾部曲线下的面积的函数，其定义为第33页，本讲稿共54页 2.3.3 高斯白噪声高斯白噪声 信号在信道中传输时，常会遇到这样一类噪声，它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即这种噪声被称为理想的宽带随机过程-白噪声。式中n0为一常数，单位是瓦/赫。白噪声的自相关函数为 显见，白噪声只有在=0时才相关，而在任意两个时
21、刻上的随机变量都是互不相关，且统计独立的。如果白噪声又是高斯分布的，我们就称之为高斯白噪声。第34页，本讲稿共54页2.4 窄带随机过程窄带随机过程 窄带系统，是指其带通宽度f0的系统。大多数通信系统都是窄带型的，通过窄带系统的信号或噪声必是窄带的，如果此时的信号或噪声又是随机的，则称它们为窄带随机过程。如用示波器观察一个样本的波形，如图2-6(b)，它是一个频率近似为fc，包络和相位随机缓慢变化的正弦波。窄带随机过程(t)可用下式表示：第35页，本讲稿共54页图图2-4 窄带过程的频谱和波形示意窄带过程的频谱和波形示意第36页，本讲稿共54页 上式中，a(t)及(t)分别是(t)的随机包络和
22、随机相位，c(t)及s(t)分别称为(t)的同相分量和正交分量，它们也是随机过程，相对于载波cosct的变化要缓慢得多。由公式得，(t)的统计特性可由a(t)，(t)或c(t)，s(t)的统计特性确定。反之，如果已知(t)的统计特性则如何确定a(t),(t)以及c(t),s(t)的统计特性？第一步：确定同相分量和正交分量的统计特性第一步：确定同相分量和正交分量的统计特性 假设(t)是平稳高斯窄带过程，且均值为零，方差为2。可得第37页，本讲稿共54页自相关函数经过验证：结论：如果(t)是平稳的，则c(t)与s(t)必将是宽平稳的。更进一步分析得出：可见，同相分量c(t)和正交分量s(t)具有相
23、同的自相关函数，且(t)、c(t)和s(t)具有相同的平均功率或方差。第38页，本讲稿共54页 因为(t)是平稳的，所以(t)在任意时刻的取值都是服从高斯分布的随机变量，故在窄带过程的表示式中 当 t=t1=0 时，(t1)=c(t1)当 t=t2=/2c时，(t2)=s(t2)所以c(t1)，s(t2)也是高斯随机变量，从而c(t)、s(t)也是高斯随机过程。重重要要结结论论：一个均值为零的窄带平稳高斯过程(t)，它的同相分量c(t)和正交分量s(t)也是平稳高斯过程，且均值都为零，方差也相同。此外，在同一时刻上得到的c和s是互不相关的或统计独立的。第39页，本讲稿共54页 第二步：包络和相
24、位的统计特性第二步：包络和相位的统计特性 由上面的分析可知，c和s的联合概率密度函数为 设a,的联合概率密度函数为f(a,)，则利用概率论知识，有 利用雅可比行列式和以下关系式第40页，本讲稿共54页得到 于是利用概率论中边际分布知识求得包络a的一维概率密度函数a0，且(0，2)可见，a服从瑞利分布。第41页，本讲稿共54页同理，求得相位的一维概率密度函数为 可见，服从均匀分布。重重要要结结论论：一个均值为零，方差为2的窄带平稳高斯过程(t)，其包络a(t)的一维分布是瑞利分布，相位(t)的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言，a(t)与(t)是统计独立的。即第42页，本讲稿共54页2.5
25、正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声 信号经过信道传输后总会受到噪声的干扰，为了减少噪声的影响，通常在接收机前端设置一个带通滤波器，以滤除信号频带以外的噪声。因此，带通滤波器的输出是信号与窄带噪声的混合波形。最常见的是正弦波加窄带高斯噪声的合成波。设合成信号为 r(t)=A cos(ct+)+n(t)式中，n(t)为窄带高斯噪声，其均值为零，方差为2n；正弦信号的A，c均为常数，在(0,2)上均匀分布。第43页，本讲稿共54页正弦波加窄带高斯过程的包络概率密度函数为 这个函数称为广义瑞利分布，也称莱斯密度函数。信号加噪声的合成波包络分布与信噪比有关。小信噪比时，它接近于瑞利分布；大信噪比时
26、，它接近于高斯分布；在一般情况下它是广义瑞利分布。信号加噪声的合成波相位分布f()也与信噪比有关。小信噪比时，f()接近于均匀分布，反映这时窄带高斯噪声为主的情况；大信噪比时，f()主要集中在有用信号相位附近。第44页，本讲稿共54页图图25 正弦波加窄带高斯过程的包络与相位分布正弦波加窄带高斯过程的包络与相位分布 第45页，本讲稿共54页2.6 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统 通信的目的在于传输信号，通信系统中的信号或噪声一般都是随机的，因此需要研究和讨论随机过程通过系统（或网络）后的情况如何。我们只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知
27、信号通过线性系统的分析原理的基础之上的。线性系统的响应vo(t)等于输入信号vi(t)与单位冲激响应h(t)的卷积，即第46页，本讲稿共54页若线性系统是物理可实现的，则 如果把vi(t)看作是输入随机过程的一个样本，则vo(t)可看作是输出随机过程的一个样本。显然，输入过程i(t)的每个样本与输出过程o(t)的相应样本之间都满足上式关系。这样，就整个过程而言，便有第47页，本讲稿共54页假定输入i(t)是平稳随机过程，分析系统的输出过程o(t)的统计特性。1.输出过程o(t)的数学期望 输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与直流传递函数H(0)的乘积，且Eo(t)与t无关。所以第48页，
28、本讲稿共54页 由平稳性得 可见，o(t)的自相关函数只依赖时间间隔而与时间起点t1无关。由输出过程的数学期望和自相关函数证明，若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳的。2.输出过程o(t)的自相关函数 第49页，本讲稿共54页 3.输出过程o(t)的功率谱密度即 可见，系统输出功率谱密度是输入功率谱密度Pi()与系统功率传输函数|H()|2的乘积。第50页，本讲稿共54页 带带限限白白噪噪声声 试求功率谱密度为n0/2的白噪声通过理想矩形的低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声平均功率。理想低通的传输特性为解：解：由上式得|H()|2=K02，|H。输出功率谱密度：Po()=
29、|H()|2Pi()=K02n0/2，|H 可见，输出噪声的功率谱密度在|H内是均匀的，在此范围外则为零，如图2-6(a)所示，通常把这样的噪声称为带限白噪声。其自相关函数为第51页，本讲稿共54页 带限白噪声只有在=k/2fH(k=1,2,3,)上得到的随机变量才不相关。所以，如果对带限白噪声按抽样定理抽样的话，则各抽样值是互不相关的随机变量。如图2-6(b)所示，带限白噪声的自相关函数Ro()在=0 处有最大值，即带限白噪声的平均功率：第52页，本讲稿共54页图图2-6 带限白噪声的功率谱和自相关函数带限白噪声的功率谱和自相关函数第53页，本讲稿共54页 假 设 i(t)是 高 斯 型 的，那 么，在 任 一 时 刻 的 每 项 i(t-k)h(k)k都是一个高斯随机变量。输出过程在任一时刻得到的每一随机变量，都是无限多个高斯随机变量之和。由概率论得知，这个“和”的随机变量也是高斯随机变量。高高斯斯过过程程经经过过线线性性系系统统后后其其输输出出过过程程仍仍为为高高斯斯过过程程。但与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变了。4.输出过程输出过程0(t)的分布的分布 从积分原理上看，根据输出过程的公式，得出第54页，本讲稿共54页