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1、第三节协方差与相关第三节协方差与相关系数系数第1页，此课件共17页哦(,)Cov X Y注：一.协方差1.定义1.()()EXE XYE Y量称为随机变量X 与 Y 的协方差，记为：(,)()()Cov X YEXE XYE Y即：协方差中当 X=Y 时即为方差的定义，即：(,)(),Cov X YD X 故方差是协方差的特例。2.协方差的简单性质(1).(,)(,)Cov X YCov Y X(2).(,)(,)Cov aX bYab Cov X Y,a b是常数1212(3).(,)(,)(,)Cov XX YCov X YCov X Y第2页，此课件共17页哦显然，若 X 与 Y 相互独
2、立则：Cov(X,Y)=0 3.计算协方差的一个简单公式由协方差的定义及期望的性质，可得：(,)()()()Cov X YE XYE X E Y证明：(,)()()Cov X YEXE XYE Y()()()()()()()E XYE X E YE Y E XE X E Y ()()()E XYE X E Y 注：4.随机变量和的方差与协方差的关系(1).()()()2(,)D XYD XD YCov X Y 第3页，此课件共17页哦 若 X1,X2,Xn 两两独立，上式化为：11(2).()()2(,)nniiijijiiDXD XCov XX 11()()nniiiiDXD X 协方差的大
3、小在一定程度上反映了X 和 Y 相互间的关系，但它还受 X与Y 本身度量单位的影响.为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了相关系数的概念。.问题：例如：2(,)(,)Cov kX kYk Cov X Y 第4页，此课件共17页哦称为随机变量(1).1XY (2).1XY 二.相关系数1.定义2.(,)()()Cov X YD XD Y 量(无量纲)X,Y 的相关系数，记为：XY(,)()()XYCov X YD XD Y 即：2.相关系数的简单性质()1P YaXb存在常数,a b，使得：X 和 Y 以概率 1 线性相关第5页，此课件共17页哦|1XY 由方差的性质和协方差的定义知，
4、对任意实数(,)()Cov X YbD X 令，则上式为：2(,)()()()Cov X YD YbXD YD X2(,)()1()()Cov X YD YD X D Y2()1XYD Y 证明：有：,b20()()()2(,)D YbXb D XD Yb Cov X Y 由于方差D(Y)是正的，故必有：210XY 所以证得：(1).|1XY 第6页，此课件共17页哦由方差与协方差协关系有：因此有：证明：(2).1XY 存在常数,a b，使得：()1P YaXb|1XY ()()()()()()()()()()()()()2(,)()()XE XYE YXE XYE YDDDD XD YD X
5、D YXE XYE YCovD XD Y 1122(1)XYXY ()()XE XD X()()YE YD Y 与是标准化随机变量，故其均值为 0，方差为 1),(2)()()(YXCovYDXDYXD 第7页，此课件共17页哦由方差的性质，可知:()()()1()()XE XYE YPcD XD Y 整理得：()1P YaXb ()(),()()()()()D YE XE YD YcD XDabX ()()()0()()XE XYE YDD XD Y1XY 当时有:c为常数其中：第8页，此课件共17页哦()1,()P YaXbP YaXb 即即()0D YaX 2()()2()()D aXb
6、a D XE YE YaXaE X22()()2()()a D Xa D XaE XE XYE Y 1XY 同理，当 时也可推出此结论。因此得证。2()()()2(,)D YaXD Ya D XCov Y aX又22()2(,)a D XaCov X Y 0 所以：第9页，此课件共17页哦()()YbaD XDa ()()aD XD Ya 于是得：(,)()()Cov X YD XD Y(,)()Cov X Ya D X 所以：2()()D YaD Xa 1XY 即：注：X 和 Y 独立时，但其逆不真.0XY 由于当 X 和Y 独立时，Cov(X,Y)=0，故0;XY 但0XY 并不一定能推出
7、X 和 Y 独立。第10页，此课件共17页哦例1.222211(,)01xyf x yxy 设 在 上服从均匀分布，即：,X Y221xyXY验证：与 是不相关的，但不是相互独立的。证明：由已知，X,Y 的边缘概率密度为:221,10,()1Yyyyfy 221,10,()1Xxxxfx 与第11页，此课件共17页哦0 xy 1212()10E Xxxd x 2211()xyE XYxydxdy 2211111xxdxxy dy 0 又因为：显然，(,)()()XYf x yfx fy 所以：XY与是不独立的1212()10E Yyyd y 所以：(,)()()()0Cov X YE XYE
8、X E Y 从而有：于是得：故得：,X Y是不相关的。奇函数在对称区间上的积分为 0第12页，此课件共17页哦当 时，称 X与 Y不相关。0XY 一般：故有：若 X 与 Y 相互独立，则 X与 Y不相关；但反之不真。但对下述情形，独立与不相关等价若(X,Y)服从二维正态分布，则X 与 Y 相互独立X 与 Y 不相关1.2.注:相关系数刻划了X 和 Y 间“线性相关”的程度.若考虑以 X 的线性函数 a+bX 来近似表示 Y，以均方误差2()eE YabX 来衡量以 a+bX 近似表示 Y 的好坏程度。第13页，此课件共17页哦则：e 值越小表示 a+bX 与 Y 的近似程度越好.现用微积分中求
9、极值的方法，求出使 e 达到最小时的 a，b：e=E Y-(a+bX)2 =E(Y 2)+b 2 E(X 2)+a 2-2b E(XY)+2ab E(X)-2a E(Y)222()2()02()2()2()0eabE XE YaebE XE XYa E Xb 令：第14页，此课件共17页哦)(),(0XDYXCovb 解得：)()(00XEbYEa这样求出的最佳逼近为：L(X)=a0+b0X这一逼近的剩余是：22()()(1)XYE YL XD Y 则 Y 与 X 有严格线性关系;可见：则 Y 与 X 无线性关系;的值越接近于1，Y 与 X 的线性相关程度越高;XY 0,XY 若若1,XY 0
10、1,XY 若则当：的值越接近于0，Y 与 X 的线性相关程度越弱.XY 第15页，此课件共17页哦例2.2211222221212()()()()122(1)2121(,)21xxyyf x ye 设(X,Y)服从二维正态分布，它的概率密度为：求：X 与 Y 的相关系数 解:由已知，X,Y 的边缘概率密度为:2121()211(),2xXfxex 2222()221(),2yYfyey 其数学期望与方差分别为：第16页，此课件共17页哦221212(),(),(),()E XE YD XD Y 而：12(,)()()(,)Cov X Yxyf x y dxdy 于是：(,)()()XYCov X YD XD Y 结论：其积分过程见教材P132P133二维正态分布的概率密度函数中的五个参数的意义分别为：X 的数学期望与方差；Y 的数学期望与方差；X 与Y 的相关系数。二维正态分布完全由这五个参数所确定。21 第17页，此课件共17页哦