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1、第一页，讲稿共二十九页哦方差分析方差分析(analysis of variance)对多个样本进行比较并评估其显著性时，可以克服对多个样本进行比较并评估其显著性时，可以克服 t 检验存检验存在的问题。它能够帮助我们回答一个问题：是否可用一个总在的问题。它能够帮助我们回答一个问题：是否可用一个总的指标说明实验处理导致各个不同组间的平均数有差异？的指标说明实验处理导致各个不同组间的平均数有差异？12.2 平方和的概念平方和的概念111)(2222 nSSnnXXnXXS从公式可以看出，若离差大，则方差也大，离差小，数从公式可以看出，若离差大，则方差也大，离差小，数据紧聚在平均数周围，则方差也小。据
2、紧聚在平均数周围，则方差也小。第二页，讲稿共二十九页哦回忆一下回忆一下 两样本两样本 t 检验计算公式：检验计算公式：21)()(2121XXSXXt 212121112nnnnSSSS 21XXS问：分子和分母分别表示意思问：分子和分母分别表示意思?答：分子表示平均数之间的差异，而分母表示各组内变异答：分子表示平均数之间的差异，而分母表示各组内变异相加的估计值，称为平均数差异的标准误。相加的估计值，称为平均数差异的标准误。平均数之间差异越大，则平均数之间差异越大，则 t 值越大，否者值越大，否者 t 值越小值越小第三页，讲稿共二十九页哦图图12-1 要想得到统计学显著性，平均数差异大小与变异
3、要想得到统计学显著性，平均数差异大小与变异大小之间的关系大小之间的关系51 X92 X5.71 X5.182 X如果变异较小，如果变异较小，则统计显著性所则统计显著性所需的平均数差异需的平均数差异也较小也较小如果变异较大如果变异较大，则统计显著，则统计显著性所需的平均性所需的平均数差异也较大数差异也较大第四页，讲稿共二十九页哦方差分析包括对两个方差的独立估计：方差分析包括对两个方差的独立估计：组间方差组间方差 (between-group variance)组内方差组内方差(with-group variance)组组内内方方差差组组间间方方差差 F方差分析一个基本概念就是平方和方差分析一个基
4、本概念就是平方和nXXSS22)(SS总总=SS组内组内 +SS组间组间第五页，讲稿共二十九页哦12.3 举例说明：两个组的情形举例说明：两个组的情形12.3.1 总平方和分解为组内平方和与组间平方和总平方和分解为组内平方和与组间平方和实验组实验组X1 36313620413432343233和和329X212969611296400168111561024115610241089和和11083控制组控制组X2 29342733102826313035和和283X2841115672910891007846769619001225和和8461实验组平均数实验组平均数 =32.9，控制组平均数，
5、控制组平均数 =28.3 1X2XSS总总=(11083+8461)(612)2/20=1954418727.2=816.8SS1=11083(329)2/10=1108310824.1=258.9SS2=8461(283)2/10=84618088.9=452.1SS组内组内=258.9+452.1=711第六页，讲稿共二十九页哦n)()(22 总总组间组间XnXSSii206121028310329222 =10824.1+8008.918727.2=1883318727.2=105.8K=2，df=21=1方差的估计值方差的估计值S2=SS组间组间/1=105.8组内自由度组内自由度df
6、=NK=202=18SS组内组内=711/18=39.5678.25.398.105 F查查F表，表，F 0.05（1，18）=4.41注意：当组间自由度注意：当组间自由度=1时，时，F=t2,2.678=1.6362 df2 单侧单侧Pdf11180.018.290.054.412.678 4.41，不拒绝，不拒绝H0。结论与前面的。结论与前面的 t 检验一致。检验一致。第七页，讲稿共二十九页哦12.4 方差分析的基本思想方差分析的基本思想1.总方差分为总方差分为 组间方差组间方差+组内方差组内方差a.组间方差：由于受到实验处理，包括自变量以及混组间方差：由于受到实验处理，包括自变量以及混杂
7、因素影响而产生的系统差异，这些变量引起因变量杂因素影响而产生的系统差异，这些变量引起因变量的变化。的变化。b.组内方差：由个体差异和非控制因素引起的因变量的组内方差：由个体差异和非控制因素引起的因变量的变化。精良的设计需要使这个方差最小化。变化。精良的设计需要使这个方差最小化。2.H0:1=2=k 什么意思？什么意思？所有样本来自一个总体。所有样本来自一个总体。3.H1:1,2,k 不全相等不全相等什么意思？什么意思？所有样本不是来自一个总体。所有样本不是来自一个总体。第八页，讲稿共二十九页哦4.F 统计量统计量 =组间方差组间方差组内方差组内方差通过查通过查F 临界值以确定是否拒绝或接受临界
8、值以确定是否拒绝或接受H0。12.5 以三个实验组为例以三个实验组为例-单因素方差分析单因素方差分析例题：某项研究为了评价三种不同教学效果，从学生总体例题：某项研究为了评价三种不同教学效果，从学生总体中随机抽取中随机抽取21名被试，并随机分为三组，让他们接受三种不名被试，并随机分为三组，让他们接受三种不同的教学，完成教学后就进行测验，测验成绩越高，说明解决同的教学，完成教学后就进行测验，测验成绩越高，说明解决逻辑问题的能力越高。是否有证据表明哪种方法更有效？逻辑问题的能力越高。是否有证据表明哪种方法更有效？方法方法13272524方法方法23379475方法方法3945910811第九页，讲稿
9、共二十九页哦(a)从从 1=2=3 的总体中抽的总体中抽3个组，凭机遇个组，凭机遇很可能获得很可能获得(F比率小比率小)(b)有时偶然可能获得，有时偶然可能获得，F比值大，但是概率小于比值大，但是概率小于0.01.(c)凭机遇几乎无法获得凭机遇几乎无法获得，(F比率很大比率很大)，发生，发生概率小于万分之一概率小于万分之一第十页，讲稿共二十九页哦第第1步：计算总平方和步：计算总平方和方法方法13272524X1=25X29449425416X12=111方法方法23379475X2=38X2994981164925X22=238方法方法3945910811X3=56X281162581 100
10、64121 X32=48821)463825()488238111(2 总总SS67.16233.674837211198372 第十一页，讲稿共二十九页哦方法方法13272524X1=25X29449425416X12=111方法方法23379475X2=38X2994981164925X22=238方法方法3945910811X3=56X281162581 10064121 X32=488第第2步步.三组的组间平方和为；三组的组间平方和为；2111975638252222 组间组间SS25.69 24.692111975638252222 组组间间SS第十二页，讲稿共二十九页哦第第3步：步
11、：已知组间已知组间SS，总的，总的SS，计算组内，计算组内SS。SS组内组内=162.6769.24=93.43第第4步；计算组间方差估计值步；计算组间方差估计值 df组间组间=K 1=3 1=22.63424.2692 组间组间S第第5步：计算组内方差估计值步：计算组内方差估计值 df组内组内=N K=213=189.15182.4932 组内组内S第第6步：计算步：计算F 值值7.669.152.634F 在本例。总自由度在本例。总自由度=N1=20第第7步；列出分析分析表步；列出分析分析表第十三页，讲稿共二十九页哦表表 12-3 方差分析表方差分析表变异源变异源 平方和平方和自由度自由度
12、方差估计值方差估计值F比率比率组间组间69.24234.626.67组内组内93.43185.19总计总计162.672012.6 F 值的解释值的解释查查F 临界值表，临界值表，F0.05(2,18)=3.55请问：这个问题是否到此就结束了？请问：这个问题是否到此就结束了？df2 单侧单侧Pdf12180.018.290.054.416.673.55,所以按照所以按照0.05拒绝拒绝H0，三个总体平均数不同，三个总体平均数不同，不是来自一个总体。，不是来自一个总体。第十四页，讲稿共二十九页哦1.事前比较或者计划比较：如果想在研究前进行比较，可使事前比较或者计划比较：如果想在研究前进行比较，可
13、使用事前检验而不用做方差分析。用事前检验而不用做方差分析。2.事后比较：事前心中无数或者计划不好，可先进行事后比较：事前心中无数或者计划不好，可先进行方差分析再事后做比较方差分析再事后做比较(也称为两两比较也称为两两比较)。1953年，普林斯顿大学年，普林斯顿大学Tukey提出提出HSD检验检验(honestly significant difference,即真正的显著性差异即真正的显著性差异)，使用条件：，使用条件：F检验要有显著性，并且各组样本量相等。检验要有显著性，并且各组样本量相等。inSqHSD/2组组内内 其中：其中：q=根据给定的根据给定的水平以及组内自由度和水平以及组内自由度
14、和k(平平均值的个数均值的个数)，从附表查得。，从附表查得。第十五页，讲稿共二十九页哦表表12-4 样本平均数以及各组之间平均数差异的矩阵样本平均数以及各组之间平均数差异的矩阵 =3.57 =5.43 =8.00 =3.571.864.43 =5.432.57 =8.00查附表查附表6 q界值表界值表当当df=18,r=3,=0.05时，查得时，查得q=3.61.10.37/19.561.3 HSD因为只有第因为只有第1和和3组平均数之间的差异组平均数之间的差异4.433.10，结论：第，结论：第3种教学方法能够显著提高学生解决逻辑问题的能力。种教学方法能够显著提高学生解决逻辑问题的能力。1X
15、2X3X1X2X3X df 1-r 等级差等级差数数3180.953.610.994.70第十六页，讲稿共二十九页哦12.7 单变量实验设计单变量实验设计-相关样本相关样本 行为或医学研究中诸多因素都能导致分数的变异。诸行为或医学研究中诸多因素都能导致分数的变异。诸如个体差异，在独立样本中无法识别和量化，其结果会如个体差异，在独立样本中无法识别和量化，其结果会增大误差。剔除这些误差的方法，可考虑相关样本设计增大误差。剔除这些误差的方法，可考虑相关样本设计。这好比选择天线一样，长天线噪音最低，电台信号就。这好比选择天线一样，长天线噪音最低，电台信号就清晰了。清晰了。12.8 三个配对组设计三个配
16、对组设计挑选挑选21名业余篮球队员，按照投篮水平分为七个区组名业余篮球队员，按照投篮水平分为七个区组，每组，每组3人投篮水平比较一致。每组站在罚球线位置，人投篮水平比较一致。每组站在罚球线位置，随机使用三种不同的投篮方法，每个人投随机使用三种不同的投篮方法，每个人投20次。试问这次。试问这21人在不同的区组和不同的投篮方法上是否存在差异？人在不同的区组和不同的投篮方法上是否存在差异？第十七页，讲稿共二十九页哦表表12-5 接受不同训练后接受不同训练后3个配对组的投篮分数个配对组的投篮分数(每投每投20次次投中的次数投中的次数)训练方法训练方法分组分组X1X2X3合计合计115131139213
17、9103231210931411131236595721686418775214合计合计756155191第十八页，讲稿共二十九页哦12.9 计算平方和与方差估计值计算平方和与方差估计值SS总总=SS处理处理+SS区组区组+SS误差误差 12-81.计算总平方和计算总平方和knXSSii 22i)(X总总 12-9矫正项矫正项CT表表12-6 实验处理情况实验处理情况区组区组X1X12X2X22X3X32区组和区组和115225131691112139213169981101003231214410100981314111211316912144365981525749216864636416
18、1877495252414和和T1=75853T2=61605T3=55515191第十九页，讲稿共二十九页哦X2=225+4=853+605+515=1973矫正项矫正项CT=(X)2/nik=1912/21=1737.19SS总总=X2CT=1973 1737.19=235.81 df总总=nk 1=73 1=20 12-10SS处理处理=(752+612+552)/7 1739.19=30.10 12-11 df处理处理=k 1=3 1=2 12-12区组区组X1X12X2X22X3X32区组和区组和11522513169111213977495252414和和T1=75853T2=61
19、605T3=555151912.计算计算SS处理及估计方差处理及估计方差S2第二十页，讲稿共二十九页哦SS处理处理=(752+612+552)/7 1739.19=30.10 12-11 df处理处理=k 1=3 1=2 12-12所以所以 S2处理处理=30.102=15.05 12-13区组区组blbl2139152123210243319614361296521441618324714196和和19157633.计算计算SS区组及估计方差区组及估计方差S214122 CTkblSS区区组组=(1521+.+196)/31737.19=183.81 df区组理区组理=bl 1=7 6所以所
20、以 S2区组区组=183.816=30.64 12-16第二十一页，讲稿共二十九页哦SS总总=235.81SS处理处理=30.10SS区组区组=183.81SS误差误差=235.8130.10183.81=21.90 df误差误差=df总总df处理处理df区组区组=20 2 6=123.计算计算SS误差及估计方差误差及估计方差S2所以所以 S2误差误差=21.9012=1.82 12-17 表表 12-7 随机区组设计单因素方差分析表随机区组设计单因素方差分析表变异源变异源平方和平方和自由度自由度方差估计值方差估计值F比率比率实验处理实验处理30.10215.058.27区组区组183.816
21、30.6416.84误差误差21.90121.82总计总计235.8120第二十二页，讲稿共二十九页哦变异源变异源平方和平方和自由度自由度方差估计值方差估计值F比率比率实验处理实验处理30.10215.058.28区组区组183.81630.6416.84查查F临界值表，临界值表，F0.01(2,12)=6.93,8.286.93，所以拒绝，所以拒绝H0，认为这些训练项目在三种情境中有差异，认为这些训练项目在三种情境中有差异查查F临界值表，临界值表，F0.01(6,12)=4.82.12.10 平均数之间平均数之间Tukeys HSD显著性检验显著性检验进行三种实验情境平均数差异的两两比较进行
22、三种实验情境平均数差异的两两比较 df2 单侧单侧Pdf12120.053.890.016.9316.844.82，所以拒绝，所以拒绝H0，配对变量有效解释了变异的，配对变量有效解释了变异的总方差的大部分，可以解释总平方和中的总方差的大部分，可以解释总平方和中的183.81/235.81=0.7795，或者，或者78%。df2单侧单侧Pdf16120.014.82第二十三页，讲稿共二十九页哦区组区组X1X2X311513117752和和T1=75T2=61T3=55平均数平均数10.718.717.86表表12-8 平均数之间的差异的矩阵平均数之间的差异的矩阵 =10.71 =8.71 =7.
23、86 =10.712.00*2.85*=8.710.85 =7.861X2X3X1X2X3X查查q表表(N-K检验用检验用)当当df=12,k=3,=0.05时，时，查得查得q=3.77.7/82.177.3 HSD=3.770.5099=1.92 df2 单侧单侧Pr3120.053.770.015.05第二十四页，讲稿共二十九页哦12.11 小结小结咋一看，方差分析计算复杂，不易理解，其实这些计咋一看，方差分析计算复杂，不易理解，其实这些计算都是遵循一定程序，并且可预测。复杂计算也是由算都是遵循一定程序，并且可预测。复杂计算也是由简单模型演变而来。例如：简单模型演变而来。例如：独立样本设计
24、的方差分析先计算：独立样本设计的方差分析先计算：SS总，总，SS组间，组间，SS组组内及各自的自由度，再计算各自的方差。内及各自的自由度，再计算各自的方差。相关样本的单因素方差分析先计算：相关样本的单因素方差分析先计算：SS总，总，SS处理，处理，SS区区组，组，SS误差。再计算自由度以及各自的方差。而误差。再计算自由度以及各自的方差。而SS区组的区组的计算与计算与SS处理计算类似的。处理计算类似的。12.11.1 单因素独立样本方差分析单因素独立样本方差分析第第1步步 计算总平方和计算总平方和第二十五页，讲稿共二十九页哦CTXkSS 2i22n)X(-X总总CTnXnXnXSSiN 2222
25、121)(.)()(组组间间组组间间总总组组内内SSSS SS df 总总=N-1 df组间组间=k-1 df误差误差=N-K第第2步步 计算组间或实验处理的平方和计算组间或实验处理的平方和第第3步步 计算组内平方和计算组内平方和第第4步步 计算自由度计算自由度第第5步步 计算组间和组内方差计算组间和组内方差第二十六页，讲稿共二十九页哦12.11.2 单因素相关样本方差分析单因素相关样本方差分析CTXkSS 2i22n)X(-X总总第第1步步 计算总平方和计算总平方和CTnXnXnXSSiN 2222121)(.)()(组组间间第第2步步 计算组间或实验处理的平方和计算组间或实验处理的平方和第第3步步 计算区组平方和计算区组平方和CTkXXXSSblkblblbl 22221.下标下标bl表示区组数表示区组数第二十七页，讲稿共二十九页哦第第4步步 计算残差计算残差(误差误差)平方和平方和SS误差误差=SS总总SS处理处理SS区组区组第第5步步 计算自由度计算自由度 df总总=N1 df处理处理=N k df区组区组=bl 1 df误差误差=df总总 df处理处理 df区组区组=k bl第二十八页，讲稿共二十九页哦感谢大家观看感谢大家观看第二十九页，讲稿共二十九页哦