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1、关于抽象函数单调性第一页，讲稿共二十二页哦 课课 题题 导导 入入 当我们拿到一个具体的函数时，我们可当我们拿到一个具体的函数时，我们可以利用函数单调性的定义、函数特点、求导以利用函数单调性的定义、函数特点、求导等方法判断函数的单调性，若我们拿到的是等方法判断函数的单调性，若我们拿到的是一个抽象函数，我们又如何求其单调性呢？一个抽象函数，我们又如何求其单调性呢？第二页，讲稿共二十二页哦 目目 标标 引引 领领1 1、恒成立等式中特殊值的应用；、恒成立等式中特殊值的应用；2 2、学会对抽象函数中单调性中两种构建、学会对抽象函数中单调性中两种构建 证明方法；证明方法；第三页，讲稿共二十二页哦 独独
2、 立立 自自 学学0)(0)()()(xfxbfafbafba时，且都有、已知函数满足对任意的0)(1)()()(xfxbfafbafba时，且都有、已知函数满足对任意的x1x2x1x2x1x2x1x2第四页，讲稿共二十二页哦已知函数 f(x)对于任意 x，yR，总有 f(x)f(y)f(xy)，且当 x0 时，f(x)0，y0 都有 fxy f(x)f(y)，当 x1 时，有 f(x)0.(1)求 f(1)的值；(2)判断 f(x)的单调性并加以证明(3)若 f(4)2，求 f(x)在1,16上的值域 引引 导导 探探 究究第八页，讲稿共二十二页哦第九页，讲稿共二十二页哦 目目 标标 升升
3、华华第十页，讲稿共二十二页哦函数 f(x)对任意的 m、nR，都有 f(mn)f(m)f(n)1，并且 x0 时，恒有 f(x)1.(1)求证：f(x)在 R 上是增函数；(2)若 f(3)4，解不等式 f(a2a5)0时，时，f(x)1,且对任意的且对任意的a,bR,f(a+b)=f(a)f(b).(1)求求f(0)的值；的值；(2)判断判断f(x)的单调性的单调性.解解:(1)令令 a=b=0,则则2(0)(0),ff(0)0,(0)1.ff 强强 化化 补补 清清第十五页，讲稿共二十二页哦任取任取x1,x2R，且，且x10 恒成立恒成立.(0)()(),ff xfx ()()1f xfx
4、 即即.由于当由于当 x 0 时，时，f(x)1,则则 f(x2)=f(x2-x1)+x1 f(x1).即即 f(x2)f(x1).f(x)是是 R 上上 的增函数的增函数.=f(x2-x1)f(x1)f(x2-x1)1.第十六页，讲稿共二十二页哦证明证明:任取任取 x1,x2R，且，且 x10,f(x2-x1)1.=f(x2-x1)-1.f(x2)-f(x1)0，即即 f(x2)f(x1).f(x)是是 R 上上 的增函数的增函数.【2】若函数若函数 f(x)对任意对任意 a,b R 都有都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当并且当x0 时时,有有 f(x)1.求证求证:f(x)
5、是是 R 上上 的增函数的增函数.f(x2-x1)-10.=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)第十七页，讲稿共二十二页哦例例3.设设 为奇函数为奇函数,且定义域为且定义域为R.(1)求求b的值；的值；(2)判断函数判断函数f(x)的单调性；的单调性；(3)若对于任意若对于任意t R,不等式不等式 恒恒成立，求实数成立，求实数k的取值范围的取值范围12()22xxbf x 22(2)(2)0f ttftk 解解:(1)由由 f(x)是奇函数是奇函数,则则 f(-x)=-f(x),整理整理,得得1.b 1122,2222xxxxbb 111220,2 222xxxxbb (1)(21)0
6、,2(21)xxb 第十八页，讲稿共二十二页哦证明证明:(2)任取任取 x1,x2,且且x1 x2,12()()f xf x 则则1212()()0,()().f xf xf xf x 即即所以函数所以函数 f(x)在在R内是减函数内是减函数.(21)211(),22(21)21xxxf x 121111()222121xx 121111()222121xx 2112220.(21)(21)xxxx 第十九页，讲稿共二十二页哦所以实数所以实数k的取值范围是的取值范围是解解:(3)因为因为 f(x)定义域为定义域为R的奇函数的奇函数,且是减函数且是减函数,从而判别式从而判别式4120,k 1.3
7、k 22(2)(2)0,f ttftk22(2)(2),f ttftk 2222,tttk 所以对任意所以对任意t R,不等式不等式 恒成立恒成立.2320ttk 从而不等式从而不等式等价于等价于1.3k 第二十页，讲稿共二十二页哦所以实数所以实数k的取值范围是的取值范围是设设22(2)(2)0,f ttftk22(2)(2),f ttftk 2222,tttk 所以对任意所以对任意t R,恒成立恒成立.232ktt 从而不等式从而不等式等价于等价于1.3k min().kg t 从而从而只须只须2()32,g ttt 211()3(),33g tt min1().3g t 解解:(3)因为因为 f(x)定义域为定义域为R的奇函数的奇函数,且是减函数且是减函数,第二十一页，讲稿共二十二页哦2022-9-7感谢大家观看感谢大家观看第二十二页，讲稿共二十二页哦