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1、精品文档精品文档勾股定理课时练（1）1.在直角三角形ABC 中，斜边 AB=1，则 AB222ACBC的值是（）A.2 B.4 C.6 D.8 2.如图 1824 所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，ADBC，斜腰 DC 的长为 10 cm，D=120，则该零件另一腰AB 的长是 _ cm（结果不取近似值）.3.直角三角形两直角边长分别为5 和 12，则它斜边上的高为_4.一根旗杆于离地面12m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m，旗杆在断裂之前高多少m？5.如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3 米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断
2、之前的高度是米.6.飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000 米处,过了 20秒,飞机距离这个男孩头顶5000 米,求飞机每小时飞行多少千米?7.如图所示，无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点 C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的 F处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度.8.一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm，AB=4cm，BD=12cm。求 CD的长.9.如图，在四边形ABCD 中，A=60，B=D=90，BC=2，CD=3，求 AB的长.10.如图，一个牧童在小河的南4km 的 A 处牧
3、马，而他正位于他的小屋B 的西 8km 北 7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？11 如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长 13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18 元，请你帮助计算一下，铺完 这 个 楼道至少需要多少元钱?12.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机 的 有 效距离为 15 千米早晨8：00 甲先出发，他以6 千米/时的速 度 向 东行走，1 小时后乙出发，他以5 千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？“路”
4、4m3m第 2 题图第 5 题图第 7 题图第 9 题图第 8 题图5m13m第 11 题名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 10 页 -精品文档精品文档第一课时答案：1.A，提示：根据勾股定理得122ACBC，所以 AB222ACBC=1+1=2；2.4，提示：由勾股定理可得斜边的长为5m，而 3+4-5=2m，所以他们少走了4 步.3.1360，提示：设斜边的高为x，根据勾股定理求斜边为1316951222，再利用面积法得，1360,132112521xx；4.解：依题意，AB=16m，AC=12m，在直角三角形ABC 中,由勾股定理,222222201216AC
5、ABBC,所以 BC=20m,20+12=32(m),故旗杆在断裂之前有32m高.5.8 6.解:如图,由题意得,AC=4000 米,C=90,AB=5000 米,由勾股定理得BC=30004000500022(米),所以飞机飞行的速度为5403600203(千米/小时)7.解：将曲线沿AB展开，如图所示，过点C作 CE AB于 E.在 R90,CEFCEFt，EF=18-1-1=16（cm），CE=)(3060.21cm，由勾股定理，得CF=)(3416302222cmEFCE8.解：在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得254322222ABACBC在直角三角形CBD中，根据勾股定理，得C
6、D2=BC2+BD2=25+122=169，所以 CD=13.9.解：延长 BC、AD交于点 E.（如图所示）B=90，A=60，E=30又 CD=3，CE=6，BE=8，设 AB=x，则 AE=2x，由勾股定理。得338,8)2(222xxx10.如图，作出 A 点关于 MN 的对称点 A，连接 AB 交 MN 于点 P，则 AB 就是最短路线.在 RtADB 中，由勾股定理求得AB=17km11.解：根据勾股定理求得水平长为m1251322，地毯的总长为 12+5=17（m），地毯的面积为172=34（)2m，铺完这个楼道至少需要花为：3418=612（元）12.解：如图，甲从上午8：00
7、 到上午 10：00 一共走了 2 小时，走了 12 千米，即 OA=12乙从上午 9：00 到上午 10：00 一共走了 1 小时，走了 5 千米，即 OB=5在 RtOAB 中，AB2=122十 52169，AB=13，因此，上午10：00 时，甲、乙两人相距13 千米 1513，甲、乙两人还能保持联系A D PAM 第O A B 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 10 页 -精品文档勾股定理的逆定理（2）一、选择题1.下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（）A.9，12，15 B.43,1,45C.0.2，0.3，0.4 D.40，41，9 2.满足下
8、列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A.三个内角比为121 B.三边之比为125C.三边之比为325D.三个内角比为123 3.已知三角形两边长为2 和 6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（）A.2 B.102 C.10224或 D.以上都不对4.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)AB C D二、填空题5.ABC的三边分别是7、24、25，则三角形的最大内角的度数是 .6.三边为 9、12、15 的三角形，其面积为 .7.
9、已知三角形 ABC的三边长为cba,满足18,10 abba，8c，则此三角形为三角形.8.在三角形 ABC中，AB=12cm，AC=5cm，BC=13cm，则 BC边上的高为 AD=cm.三、解答题9.如图，已知四边形ABCD 中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积.10.如图，E、F 分别是正方形ABCD 中 BC 和 CD 边上的点，且AB=4，CE=41BC，F 为 CD 的中点，连接 AF、AE，问 AEF 是什么三角形？请说明理由.11.如图，AB 为一棵大树，在树上距地面10m 的 D 处有两只猴子，它们同时发现地面上的C 处有一筐水果
10、，一只猴子从D 处上爬到树顶A 处，利用拉在A 处的滑绳 AC，滑到 C 处，另一只猴子从 D 处滑到地面B，再由 B 跑到 C，已知两猴子所经路程都是15m，求树高 AB.12.如图，为修通铁路凿通隧道AC，量出 A=40 B50，AB 5 公里，BC 4 公里，若每天凿隧道 0.3 公里，问几天才能把隧道AB凿通？18.2 勾股定理的逆定理答案：一、1.C；2.C；3.C，提示：当已经给出的两边分别为直角边时，第三边为斜边=;1026222当 6 为斜边时，第三边为直角边=242622；4.C；二、5.90 提示：根据勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，所以最大的内角为90.6.54，提示
11、：先根基勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，面积为.54129217.直角，提示：2222222864182100,1002,100)(cbaabbaba得；8.1360，提 示：先 根 据 勾 股 定 理 逆 定 理 判 断 三 角 形 是 直 角 三 角 形，再 利 用 面 积 法 求 得AD132151221；三、9.解：连接 AC，在 RtABC 中，AC2=AB2BC2=3242=25，AC=5.在 ACD 中，AC2CD2=25122=169，而 AB2=132=169，AC2CD2=AB2，ACD=90第 9 题图FEACBD第 10 题B A C D.第 11 题名师资料总结-
12、精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 10 页 -精品文档精品文档故 S四边形ABCD=SABCSACD=21ABBC21ACCD=213421512=630=36.10.解：由勾股定理得AE2=25，EF2=5，AF2=20，AE2=EF2+AF2，AEF 是直角三角形11.设 AD=x 米，则 AB 为（10+x）米，AC 为（15-x）米，BC 为 5 米，(x+10)2+52=(15-x)2，解得 x=2，10+x=12（米）12.解：第七组，.1131112,112)17(72,15172cba第n组，1)1(2),1(2,12nncnnbna名师资料总结-精品资料欢迎下载
13、-名师精心整理-第 4 页，共 10 页 -精品文档精品文档勾股定理的逆定理（3）一、基础 巩固1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A.三内角之比为123 B.三边长的平方之比为123 C.三边长之比为345 D.三内角之比为345 2.如图 1824 所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，ADBC，斜腰 DC 的长为 10 cm，D=120，则该零件另一腰AB 的长是 _ cm（结果不取近似值）.图 18图 18 25 图 1826 3.如图 18 25，以 RtABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且 S1=4，S2=8，则 AB 的长为 _.4.
14、如图 18 26，已知正方形ABCD 的边长为 4，E 为 AB 中点，F 为 AD 上的一点，且 AF=41AD，试判断 EFC 的形状.5.一个零件的形状如图1827，按规定这个零件中A 与 BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12,BC=13，这个零件符合要求吗？图 1827 6.已知 ABC 的三边分别为k21，2k，k2+1（k1），求证：ABC 是直角三角形.二、综合 应用7.已知 a、b、c 是 RtABC 的三 边长，A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c，那么 A1B1C1是直角三角形吗？为什么？8.已知：如图1828，在 A
15、BC 中，CD 是 AB 边上的高，且CD2=AD BD.求证：ABC 是直角三角形.图 1828 9.如图 18 29 所示，在平面直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为A（3，1），B（2，4），OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论.图 1829 10.已知：在 ABC 中，A、B、C 的对边分别是a、b、c，满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断 ABC 的形状.12.已知：如图 18210，四边形 ABCD，AD BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求：四边形ABCD 的面积.图 18210 参考答案一、基础 巩固1.满足下列条件的三角形中，
16、不是直角三角形的是（）A.三内角之比为123 B.三边长的平方之比为123 C.三边长之比为345 D.三内角之比为345 思路分析：判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法：有一个角是直角或两锐角互余；两边的平方和等于第三边的平方；一边的中线等于这条边的一半.由 A 得有一个角是直角；B、C 满足勾股定理的逆定理，所以应选 D.答案：D 2.如图 1824 所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD BC，斜腰 DC 的长为 10 cm，D=120，则该零件另一腰AB 的长是 _ cm（结果不取近似值）.图 1824 解：过 D 点作 DEAB 交 BC 于 E,名师资料总结-精品资料欢
17、迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 10 页 -精品文档精品文档则 DEC 是直角三角形.四边形 ABED 是矩形，AB=DE.D=120，CDE=30.又在直角三角形中，30 所对的直角边等于斜边的一半，CE=5 cm.根据勾股定理的逆定理得，DE=3551022cm.AB=3551022cm.3.如图 18 25，以 RtABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且 S1=4，S2=8，则 AB 的长为 _.图 1825 图 1826 思路分析：因为 ABC 是 Rt，所以 BC2+AC2=AB2,即 S1+S2=S3，所以 S3=12，因为 S3=AB2,所以 AB
18、=32123S.答案：324.如图 18 26，已知正方形ABCD 的边长为 4，E为 AB 中点，F 为 AD 上的一点，且 AF=41AD，试判断 EFC 的形状.思路分析：分别计算 EF、CE、CF 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断即可.解：E 为 AB 中点，BE=2.CE2=BE2+BC2=22+42=20.同理可求得,EF2=AE2+AF2=22+12=5,CF2=DF2+CD2=32+42=25.CE2+EF2=CF2,EFC 是以 CEF 为直角的直角三角形.5.一个零件的形状如图1827，按规定这个零件中A 与 BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=
19、3,BD=5，DC=12,BC=13，这个零件符合要求吗？图 1827 思路分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断 ADB 和 DBC 是否为直角三角形即可，这样勾股定理的逆定理就可派上用场了.解：在 ABD 中，AB2+AD2=32+42=9+16=25=BD2，所以 ABD 为直角三角形，A=90.在 BDC 中,BD2+DC2=52+122=25+144=169=132=BC2.所以 BDC 是直角三角形，CDB=90.因此这个零件符合要求.6.已知 ABC 的三边分别为k21，2k，k2+1（k1），求证：ABC 是直角三角形.思路分析：根据题意，只要判断三边之间的关系符合勾股定理
20、的逆定理即可.证明：k2+1k21,k2+12k=(k 1)20,即 k2+12k，k2+1 是最长边.(k21)2+(2k)2=k42k2+1+4k2=k4+2k2+1=(k2+1)2,ABC 是直角三角形.二、综合 应用7.已知 a、b、c 是 RtABC 的三 边长，A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c，那么 A1B1C1是直角三角形吗？为什么？思路分析：如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形（例2 已证）.解：略8.已知：如图1828，在 ABC 中，CD 是 AB 边上的高，且CD2=AD BD.求证：ABC 是直角三角形.图 1828 思
21、路分析：根据题意，只要判断三边符合勾股定理的逆定理即可.证明：AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2，AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 10 页 -精品文档精品文档=AD2+2AD BD+BD2=（AD+BD）2=AB2.ABC 是直角三角形.9.如图 18 29 所示，在平面直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为A（3，1），B（2，4），OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论.图 182 9 思路分析：借助于网格，利用勾股定理分别计算OA、AB、OB 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断 OAB 是否是直角三
22、角形即可.解：OA2=OA12+A1A2=32+12=10,OB2=OB12+B1B2=22+42=20,AB2=AC2+BC2=12+32=10,OA2+AB2=O B2.OAB 是以 OB 为斜边的等腰直角三角形.10.阅读下列解题过程：已知a、b、c 为ABC 的三边，且满足a2c2b2c2=a4b4，试判断 ABC的形状.解：a2c2b2c2=a4b4，(A)c2(a2b2)=(a2+b2)(a2b2)，(B)c2=a2+b2，（C)ABC 是直角三角形.问：上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_；错误的原因是_；本题的正确结论是_.思路分析：做这种类型的题目，首先要
23、认真审题，特别是题目中隐含的条件，本题错在忽视了 a有可能等于b 这一条件，从而得出的结论不全面.答案：(B)没有考虑a=b 这种可能，当a=b 时 ABC 是等腰三角形；ABC 是等腰三角形或直角三角形.11.已知：在 ABC 中，A、B、C 的对边分别是a、b、c，满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断 ABC 的形状.思路分析：（1）移项，配成三个完全平方；(2)三个非负数的和为0，则都为 0；(3)已知 a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形.解：由已知可得a210a+25+b224b+144+c226c+169=0,配方并化简得,(a5)
24、2+(b12)2+(c13)2=0.(a5)20,(b 12)20,(c 13)20.a5=0,b12=0,c13=0.解得 a=5,b=12,c=13.又 a2+b2=169=c2,ABC 是直角三角形.12.已知：如图18210，四边形 ABCD，AD BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求：四边形ABCD 的面积.图 18210 思路分析：（1）作 DEAB，连结 BD，则可以证明 ABD EDB（ASA）；(2)DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；(3)在DEC 中，3、4、5 为勾股数，DEC 为直角三角形，DEBC；(4)利用梯形面积公式，或利用三角形的面积可
25、解.解：作 DEAB，连结 BD，则可以证明 ABD EDB（ASA）,DE=AB=4，BE=AD=3.BC=6,EC=EB=3.DE2+CE2=32+42=25=CD2,DEC 为直角三角形.又 EC=EB=3,DBC 为等腰三角形，DB=DC=5.在BDA 中 AD2+AB2=32+42=25=BD2,BDA 是直角三角形.它们的面积分别为SBDA=21 3 4=6;SDBC=21 6 4=12.S四边形ABCD=SBDA+SDBC=6+12=18.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 10 页 -精品文档精品文档CBAD勾股定理的应用（4）1.三个半圆的面积分别为
26、S1=4.5，S2=8，S3=12.5，把三个半圆拼成如图所示的图形，则ABC一定是直角三角形吗？说明理由。2.求知中学有一块四边形的空地ABCD，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量 A=90，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200 天，问学校需要投入多少资金买草皮？3.（12 分）如图所示，折叠矩形的一边AD，使点 D落在 BC边上的点 F 处，已知 AB=8cm，BC=10cm，求 EC的长。4.如图，一个牧童在小河的南4km 的 A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西 8km 北 7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成
27、这件事情所走的最短路程是多少？5.（8 分）观察下列各式，你有什么发现？32=4+5，52=12+13，72=24+25 92=40+41这到底是巧合，还是有什么规律蕴涵其中呢？（1）填空：132=+（2）请写出你发现的规律。（3）结合勾股定理有关知识，说明你的结论的正确性。6.如图，在RtABC中，ACB=90，CDAB，BC=6，AC=8，求 AB、CD 的长DCBA7.在数轴上画出表示17的点（不写作法，但要保留画图痕迹）8.已知如图，四边形ABCD 中，B=90，AB=4，BC=3，CD=12，AD=13，求这个四边形的面积9.如图，每个小方格的边长都为1求图中格点四边形ABCD 的面
28、积。勾股定理复习题（5）一、填空、选择题题：3.有一个边长为5 米的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少为（）米。4、一旗杆离地面6 米处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8 米处，则旗杆折断之前的高度是（）米。6、在 ABC中，C=90,AB=10。(1)若A=30,则 BC=，AC=。(2)若 A=45,则 BC=，AC=。8、在 ABC中，C=90，AC=0.9cm,BC=1.2cm.则斜边上的高CD=m 11、三角形的三边a b c，满足22()2abcab，则此三角形是三角形。12、小明向东走80 米后，沿另一方向又走了60 米，再沿第三个方向走100 米回到原地。小明向东
29、走 80 米后又向方向走的。13、ABC中，AB=13cm,BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm则 AC 的长为 cm 14、两人从同一地点同时出发，一人以3 米/秒的速度向北直行，一人以4 米/秒的速度向东直行，5 秒钟后他们相距米.15、写出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？两直线平行，内错角相等。（）如果两个实数相等，那么它们的平方相等。（）若22ab，则 a=b （）全等三角形的对应角相等。（）角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。（）16、下列各组线段组成的三角形不是直角三角形的是（）(A)a=15 b=8 c=17 (B)a:b:c=1:3:2(C)a=2
30、b=65 c=85 (D)a=13 b=14 c=15 17、若一个三角形的三边长为6,8,x,则使此三角形是直角三角形的x 的值是().A.8 B.10 C.28 D.10或2818、下列各命题的逆命题不成立的是()DCBAA B 小东北牧小_ A_ B_ C_ D名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 10 页 -精品文档精品文档 A.两直线平行,同旁内角互补 B.若两个数的绝对值相等,则这两个数相等C.对顶角相等 D.如果 a=b 或 a+b=0,那么22ab二、解答题：19、有一个水池，水面是一个边长为10 尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1 尺。如
31、果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面。水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？20、一根竹子高1 丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3 尺处.折断处离地面的高度是多少?(其中丈、尺是长度单位,1 丈=10 尺)21、某港口位于东西方向的海岸线上。“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 海里，“海天”号每小时航行12 海里。它们离开港口一个半小时后相距30 海里。如果知道“远航号”沿东北方向航行，能知道“海天号”沿哪个方向航行吗？23、一根 70cm的木棒,要放在长、宽、高分别是 50cm,40cm,30cm 的长方体木箱中,能放进
32、去吗?(提示:长方体的高垂直于底面的任何一条直线.)22、请在数轴上标出表示5的点名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 10 页 -精品文档精品文档C A B D CBADEFEFDCBA勾股定理复习题（6）1、如图所示,有一条小路穿过长方形的草地ABCD,若 AB=60m,BC=84m,AE=100m,?则这条小路的面积是多少?2、如图，已知在ABC中，CD AB于 D，AC 20，BC 15，DB 9。(1)求 DC的长。(2)求 AB的长。3、如图 9，在海上观察所A,我边防海警发现正北6km的 B处有一可疑船只正在向东方向8km的 C处行驶.我边防海警即刻派船前
33、往C 处拦截.若可疑船只的行驶速度为40km/h，则我边防海警船的速度为多少时，才能恰好在C处将可疑船只截住？4、如图，小明在广场上先向东走10 米，又向南走40 米，再向西走20 米，又向南走40 米，再向东走 70 米.求小明到达的终止点与原出发点的距离.5、如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为 8cm，?长 BC?为 10cm 当小红折叠时，顶点D 落在 BC 边上的点F 处（折痕为AE）想一想，此时EC 有多长？?6.如图，从电线杆离地6 米处向地面拉一条长10 米的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远？7、如图，一架长2.5 m 的梯子，斜靠
34、在一竖直的墙上，这时，梯底距墙底端0.7 m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4 m，则梯子的底端将滑出多少米？（8 分）8、已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且A=90，求四边形ABCD的面积.（8 分）9.如图，在 ABC 中，AB=AC（12 分）（1）P 为 BC 上的中点，求证：AB2AP2=PBPC；（2）若 P 为 BC 上的任意一点，（1）中的结论是否成立，并证明；（3）若 P 为 BC 延长线上一点，说明AB、AP、PB、PC 之间的数量关系.8km C A B 6km 10 40 20 40 出发点70 终止点ABCDOA C D 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 10 页 -