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1、数学备考二轮复习从“新”入手今年，随着新课程在全国大部分省市的普及，随着山东、广东等四省市首次进行新课程下的高考，我省高考不可避免的受到影响和冲击，何况高考每年试题都在进行小的改革和尝试，与新课程接轨及各类新试题的出现将不可避免，下面本人就一些“新”问题的复习结合例题谈谈个人看法。新题不难，难题不新是新试题出现的总的方针。一、创新型试题概念型创新例 1（06 年广东卷）对于任意的两个实数对(,)a b和(,)c d，规定：(,)(,)a bc d，当且仅当,ac bd；运算“”为：(,)(,)(,)a bc dacbd bcad；运算“”为：(,)(,)(,)a bc dac bd，设,p q
2、R，若(1,2)(,)(5,0)p q，则(1,2)(,)p qA(4,0)B(2,0)C(0,2)D(0,4)思路分析：按定义求出p,q 的值解：由)0,5(),()2,1(qp得210252qpqpqp,所以)0,2()2,1()2,1(),()2,1(qp,故选 B例 2：(06 年上海)如图，平面中两条直线1l和2l相交于点O，对于平面上任意一点M，若p、q分别是M 到直线1l和2l的距离，则称有序非负实数对（p，q）是点 M 的“距离坐标”已知常数p0，q0，给出下列命题：若pq0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1 个；若pq0，且pq0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅
3、有2 个；若pq0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有4 个上述命题中，正确命题的个数是（）（A）0；（B）1；（C）2；（D）3思路分析：（p，q）的个数就是到直线l1的距离为p 的直线与到直线l2的距离为q 的直线的交点的个数，作出满足条件的直线即可解：选（D）正确，此点为点O；正确，注意到,p q为常数，由,p q中必有一个为零，另一个非零，从而可知有且仅有2 个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线的距1l2lO M（p，q）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 11 页 -离为q（或p）；正确，四个交点为与直线1l相距为p的两条平行线和与直线2l相距为q
4、的两条平行线的交点点评：概念型创新题特点是首先给出一个定义，然后根据定义提出一系列问题解决此类问题，先要认真理解题目给出的定义，把握定义的本质，在此基础上按定义处理问题3：（06 年四川）非空集合G关于运算满足：（1）对任意a、bG，都有abG；（2）存在Ge，使得对一切aG，都有aaeea，则称G关于运算为“融洽集”现给出下列集合和运算：G非负整数，为整数的加法G偶数 ，为整数的乘法G平面向量，为平面向量的加法G二次三项式，为多项式的加法G虚数，为复数的乘法其中G关于运算为“融洽集”的是（写出所有“融洽集”的序号）点拨与提示：按定义逐个验证注意e 是该集合中的“单位元”4已知集合DM是满足下
5、列性质函数)(xf的全体：若函数)(xf的定义域为D，对于任意的21,xxD（21xx），有|)()(|2121xxxfxf。（I）当 D=),0(时，xxfln)(是否属于DM，若属于DM，给予证明。否则说明理由；（II）当 D=)33,0(时，函数baxxxf3)(时，若)(xfDM，求实数 a 的取值范围。解：（1）因为xxf1)(，所以)1,0(x时，1|)(|1)(xfxf，即1|)()(|2121xxxfxf.当)1,0(,21xx时，DMxyln；（2）由axxfbaxxxf233)()(，当)33,0(x时，axfa1)(，因为DMxf)(，所以|)()(|2121xxxfxf
6、，即1|)()(|2121xxxfxf；所以01111aaa即为所求.评析：本题应用常规解法，解答较为繁琐；若用导数的几何意义，则十分简单。5（2006 年北京卷）在数列na中，若12,a a是正整数，且12|,3,4,5,nnnaaan，则称na为“绝对差数列”.（）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；（）若“绝对差数列”na中，20213,0aa，数列nb满足12nnnnbaaa，1,2,3,n，分别判断当n时，na与nb的极限是否存在，如果存在，求出名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 11 页 -其极限值；（）证明：任何“绝对差数列”中总含
7、有无穷多个为零的项.解：（）12345673,1,2,1,1,0,1aaaaaaa,89101,0,1.aaa（答案不惟一）（）因为在绝对差数列na中203a,210a.所以自第20 项开始，该数列是203a,210a,2222242526273,3,0,3,3,aaaaaao.即自第 20 项开始。每三个相邻的项周期地取值3，0，3.所以当n时，na的极限不存在.当20n时,126nnnnbaaa,所以 lim6nnb（）证明：根据定义，数列na必在有限项后出现零项.证明如下假设na中没有零项，由于12nnnaaa,所以对于任意的 n，都有1na,从而当12nnaa时,1211(3)nnnn
8、aaaan;当12nnaa时,2121(3)nnnnaaaan即na的值要么比1na至少小 1，要么比2na至少小 1.令212122212(),(),nnnnnnnaaaCaaa1,2,3,n则101(2,3,4,).AnCCn由 于1C是 确 定 的 正 整 数，这 样 减 少 下 去，必 然 存 在 某 项10C，这 与0nC(1,2,3,n)矛盾.从而na必有零项.若第一次出现的零项为第n项，记1(0)naA A，则自第n项开始，每三个相邻的项周期地取值0，A,A,即331320,0,1,2,3,nknknkaaA kaA所以绝对差数列na中有无穷多个为零的项.6 已知数列na有aa1
9、，pa2（常数0p），对任意的正整数n，nnaaaS21，并有nS满足2)(1aanSnn。（1）求a的值；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 11 页 -（2）试确定数列na是否是等差数列，若是，求出其通项公式，若不是，说明理由；（3）对于数列nb，假如存在一个常数b使得对任意的正整数n都有bbn，且bbnnlim，则称b为数列nb的“上渐近值”，令2112nnnnnSSSSp，求数列npppn221的“上渐近值”。解：（1）021111aaaS，即0a（2）2111nnnnnannaSSa121nnannapnannnn112233432212na是一个以0为首项
10、，p为公差的等差数列。（3）2121pnnaanSnn，2112nnnnnSSSSp2112222nnnnnn21111116141513141213112221nnnnnpppn321112321112112nnnn又32lim21npppnn，数列npppn221的“上渐近值”为3。情境创新题这一类问题，往往出现在一个较新的背景之下，题型新颖，形式多样，融综合性、应用性、开放性、创新性于一体 可以较好的考查学生的学习能力，阅读理解能力，数学思维能力等由于突出体现了“考思维能力与创新意识”这一特色，所以，在近几年的高考中，备受命题者的青睐1：(06 陕西卷)为确保信息安全,信息需加密传输,发
11、送方由明文密文(加密),接收方由密文明文(解密),已知加密规则为:明文 a,b,c,d 对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文 1,2,3,4 对应密文 5,7,18,16当接收方收到密文14,9,23,28 时,则解密得到的明文为()名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 11 页 -A4,6,1,7 B7,6,1,4 C6,4,1,7 D1,6,4,7 思路分析：本题的本质是一种对应，根据对应法则求出a,b,c,d的值解：当接收方收到密文14，9，23，28 时，则214292323428abbccdd，解得6417abcd，解密得到的明文为C2：某
12、娱乐中心有如下摸奖活动：拿8 个白球和 8 个黑球放在一盒中，规定：凡摸奖者，每人每次交费1 元，每次从盒中摸出5 个球，中奖情况为：摸出5 个白球中20 元，摸出 4 个白球1 个黑球中2 元，摸出 3个白球 2 个黑球中价值为05 元的纪念品件，其他无任何奖励（1）分别计算中奖20 元、2 元的概率；（2）若有 1560 人次摸奖，不计其他支出，用概率估计该中心收入多少钱？思路分析：本题是等可能事件的概率问题，用等可能事件的概率公式求解解：（1）由已知中奖20 元的概率 P1=58516178CC；中奖 2 元的概率P2=4188516539CCC；中奖 05 元的概率 P3=328851
13、61439CCC（2）由（1）知体彩中心收费为1560 元,付出156017820+15605392+15601439 05=1080，收入=15601080=480 元故知中奖 20 元、元的概率分别为:178、539;估计该中心收入480 元点评：概率问题是高考命题的主干知识，涉及到的问题情景是常考常新的，多数是与生活实际和生产实际相关联的3（05 年北京卷）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,A B C的机动车辆数如图所示，图中123,x xx分别表示该时段单位时间通过路段、的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），
14、则（）（A）123xxx（B）132xxx（C）231xxx（D）321xxx点拨与提示：根据图示找出123,xxx之间的关系，再比较大小4：这是一个计算机程序的操作说明：（1）初始值为1,1,0,0 xyzn；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 11 页 -（2）1nn（将当前1n的值赋予新的n）；（3）2xx（将当前2x的值赋予新的x）；（4）2yy（将当前2y的值赋予新的y）；（5）zzxy（将当前zxy的值赋予新的z）；（6）如果7000z，则执行语句（7），否则回语句（2）继续进行；（7）打印,n z；（8）程序终止由语句（7）打印出的数值为_，_ 请写出计
15、算过程：点拨与提示：我们不难看出，该问题是一个循环、迭代的过程为了更好的理解题意，我们不妨按照这个程序操作几次：n X y z 判断初始值0 1 1 0 z7000,返回（2）一轮操作1 3 2 5 z7000,返回（2）二轮操作2 5 4 25 z7000,返回（2）三轮操作3 7 8 81 zV锥故所制作的正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大。2集合 A 是由适合以下性质的函数f(x)构成的：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 11 页 -对于任意的).32(3)(2)(,0,0yxfyfxfyxyx都有且（）试判断中是否在集合及Axxfxxf2221)1()(log
16、)(？说明理由；（）设,23)1(),2,1(),0(,)(fAxf值域是且定义域是写出一个满足以上条件的f(x)的解析式；并证明你写出的函数.)(Axf解：（I）解：取 x=1,y=4 则0)(32)132(3)1(2)1()32(3)(2)(,0,0)(3)32(3)(2)(16log27log39log3)3421(3,16log4log21log)4(2)1(22222221112222122211yxyxyxyxfyfxfyxyxAxfyxfyfxffff研究且任取分Axfyxfyfxf)().32(3)(2)(2222 6 分（II）设函数),0(,1)32()(xxfx满足其值域
17、为（1，2）且2335132)1(f9 分又任意取 x0,y0 且 xy 则)32(3 1)32(33)32(33)32()32()32(3)32(2)32(2)32(21)32()(2)(3232yxfyfxfyxyxyyxyxyxAxf)(13 分3设 F1,F2分别为椭圆01:2222babyaxC的左右两个交点.(1)若椭圆 C 上的点23,1A到 F1,F2两点的距离之和等于4,写出椭圆C 的方程和焦点坐标;(2)设点 K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段KF1的中点的轨迹方程;(3)已知椭圆具有性质:M,N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点,点 P是椭圆上任意一点,当直线PM,
18、PN 的斜率都存在,并记为pmk,pnk时,那么pmk与pnk之积是与点P 位置无关的定值.试对双曲线0,012222babyax写出类似的性质,并给以证明.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 11 页 -(1)椭圆 C 的方程为1342222yx,焦点坐标0,1,0,121FF.(2)所求轨迹方程为1342122yx.(3)类似的性质为:若 M,N 是双曲线0,012222babyax上关于原点对称的两个点,点 P是椭圆上任意一点,当直线 PM,PN的斜率都存在,并记为pmk,pnk时,那么pmk与pnk之积是与点P 位置无关的定值.证明:设点 M 的坐标为nm,则
19、点 N 的坐标为nm,其中12222bnam.又设点 P 的坐标为yx,由,mxnykmxnykpnpm得2222mxnykkpnpm,将2222222222,bmabnbxaby代入得22abkkpnpn.4对任意函数(),f xxD可构造一个数列发生器：输入数据0 xD，输出10()xf x，若1xD，则结束工作；若1xD，则输入1x，输出21()xf x。并依次规律继续下去，现定义1()11f xx（0 x）.（1）若要产生一个无穷常数列，试求0 x的值；（2）若1x是2的一个近似值，21()xf x，试判断1x和2x中那一个更接近于2？（3）请依据以上事实，设计一种求2的近似值的方案，
20、并说明理由.讲解：(1)由题意，要产生一个无穷常数列，只要令1()11f xxx，解得2x，又0 x，故2x，易见仅当02x时，可构造一个常数列*2()nxnN；（2）2x更接近于2，下面证明之：因为121111(12)(2)21|2|2211xxxxxx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 11 页 -所以2x比1x更接近于2.（3）取1(0)xa a，依次令11()1()1nnnxf xnNx，则211211121212122221222122nnnnnnxxxxxx这表明123,nx xxx依次更接近于2，而且lim2nnx.点评：本题的命题背景似有着高等数学的味道，是高考命题创新的方向.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 11 页 -