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1、19 一元二次方程的根与系数的关系 (韦达定理和它的逆定理)教学目标(一)通过观察、归纳，猜想根与系数的关系，并证明此关系成立，使学生理解其理论根据：(二)使学生会运用根与系数关系解题.教学重点和难点重点：根与系数关系的推导.难点：根与系数关系的运用.教学过程设计(一)引言我们知道，方程的根的值是由一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的各项系数a,b,c决定的.我们还知道根的性质(有、无实数根及实数根的个数)由 b2-4ac 决定.今天我们来研究方程的两根之和及两根之积与a,b,c有什么关系?先填表，归纳出规律，然后给予严密的证明.（二）新课从表格中找出两根之和x1+x2 与两根之积 x1
2、x2 和 a,b,c 的关系：1.先从前面三个方程(二次项系数是 1)观察 x1+x2,x1x2的值与一次项系数及常数项的关系.(两根和等于一次项系数的相反数，两根积等于常数项)2.再看后面三个方程(二次项系数不是1)，观察 x1+x2,x1x2的值与系数的关系.(在把方程的二次项系数化为1 后，仍符合上述规律)3.猜想ax2+bx+c=0 (a 0)的 x1+x2,x1x2与 a,b,c的关系(引导学生化为x2+0acxab后，猜想)为 x1+x2=-ab，x1x2=ac.4.怎样证明上面的结论.启发学生：求根公式是具有一般性的，我们用求根公名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第
3、1 页，共 14 页 -20 式来证明就可以了.证明：设 ax2+bx+c=0(a 0)的两根为 x1,x2,5.读课文以强化印象.6.为了使这个定理易于记忆，我们把二次项系数是1 的方程叫做“简化的一元二次方程”.如果方程 x2+px+q=0的两根是 x1,x2,那么 x1+x2=-p,x1x2=q.教师必须要求学生能用语言表达上述定理.“对于简化的二次方程，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项”.(这个定理又叫做韦达定理)7.“对于简化的二次方程，一次项的系数等于两根之和的相反数，常数项等于两根之积”.(这是韦达定理的逆定理)例题讲解例 1 已知方程 5x2+kx-6=0 的
4、一个根是 2，求它的另一个根及k 的值.解：把方程两边都除以5，化为最简二次方程例1 已知方程 5x2+kx-6=0 的一个根是 2，求它的另一个根及k 的值.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 14 页 -21 例 2 利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2+3x-1=0 两根的(1)平方和；(2)倒数和.分析：根与系数关系告诉我们，不必解出方程，可以直接用方程的系数来表示两根之和与两根之积.如查我们所求的式子可以转化成用两根之和及两根之积表示，也就可以直接把方程的系数代入，算出结果了.例 3 求一个一元二次方程，使它的两根分别是分析：“对于简化的一元二次方程，一
5、次项的系数等于两根之和的相反数，常数项等于两根之积”.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 14 页 -22 例 4 已知两数的和等于8，积等于 9，求：这两个数.分析：我们可以用多种方法来解决这个问题.解法 1：设两个数中的一个为x,因为两数之和为 8，所以另一个数为8-x.再根据“两数之积为9”，可列出方程 x(8-x)=9.解法 2：设两个数是 x,y,可列出方程组这类方程组的解法，我们将在以后学到.解法 3：因为两根和与两根积都已知，我们可以直接造出一个是简化二次方程.x2-8x+9=0.这就是方法 1 得到的方程.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-
6、第 4 页，共 14 页 -23(三)课堂练习1.已知方程 x2-12x+m=0的一个根是另一个根的2 倍，则 m=.2.已知关于 x 的一元二次方程(k2-1)x2-(k+1)=0的两根互为倒数，则k 的取值是().3.已知方程 x2+3x+k=0的两根之差为 5，k=.答案或提示名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 14 页 -24 (四)小结1.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式.2.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，当且仅当b2-4ac 0时，才能应用根与系关系.3.已知方程的两根，求作一
7、元二次方程时，要注意根与系数的正、负号.(五)作业1.设方程 3x2-5x+q=0 的两根为 x1 和 x2，且 6x1+x2=0,那么 q 的值等于().2.若关于 x 的方程 3(x-1)(x-2m)=x(m-12)的两根之积等于两根之积，则此方程的两根为().3.已知关于 x 的二次方程 x2+2px+2q=0有实数根，其中p,q 都是奇数，那么它的根().(A)一定都是奇数 (B)一定都是偶数 (C)有可能是真分数 (D)有可能是无理数4.(1)如果-5 是方程 5x2+bx-10=0 的一个根，求方程的另一个根及b 的值.(2)如果是方程 x2+4x+c=0的一个根，求方程的另一个根
8、及c 的值.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 14 页 -25 5.设 x1,x2是方程 2x2+4x-3=0 的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值：6.求一个元二次方程，使它的两个根分别为7.已知两个数的和等于-6，积等于 2，求这两个数.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 14 页 -26 作业的答案或提示.一元二次方程的根与系数的关系练习与测试1已知关于 x 的方程)0(02acbxax有一个正根和一个负根，则这个方程的判别式acb420，常数项 c 0。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 14 页 -
9、27 2如果关于 x的方程02mxx有两个不相等的实数根且两根之差的平方和不小于 1，那么实数 m 的取值范围是。3一个直角三角莆的两条直角边的长的和为6cm，面积为227cm，则这个三角形的斜边长为cm。4矩形的一边为 3，对角线长为 5，则以矩形相邻两边为根的一元二次方程为。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 14 页 -28 5若关于 x 的方程)0(02mmxmx的两根为 x1、x2，（1）用 m的代数式来表示2111xx；（2）设2144xxS，把 S 用 m的代数式表示；（3）当 S=16时，求 m的值并求此时方程两根的和与积。名师资料总结-精品资料欢迎下
10、载-名师精心整理-第 10 页，共 14 页 -29 6已知：关于 x 的方程)0(0122mmxmx（1）求证；这个方程必有两个不等的实数根；（2）若 m-1=1，试证明：02121xxxx（x1，x2是原方程的两个根）7若正数 k 是 4 和 9 的比例中项，（1）求 k 的值；（2）求证：关于 x 的方程02kkxx，必定有两根不等实数根；（3）求证：方程的两根必定是一正一负。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 14 页 -30 8设)0(cbakbacacbcba（1）求 k 的值；（2）证明：关于 x 的方程1)1(22kxkx，必有两异号实根，并求出两根
11、的立方和。9已知方程08242mxx的两个实数根中一个大于1，另一个小于 1，求 m的取值范围。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 14 页 -31 10已知关于 x的方程422aaxx（1）求证方程必有两个相异实数根；（2）a取何值时，方程有两个正根；（3）a 取何值时，方程有两异号根，且负根绝对值较大；（4）a 取何值时，方程至少有一个根为零？名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 14 页 -32【练习与测试参考答案或提示】1、；2410m；322；401272xx；5（1）mxx11121，（2）mS4；（3）41m，两根的和为 4，两根积为 1 6（1）04)1(4mm这个方程必定有两个不等的实数根（2）01222121xxxx;7（1）k=6（2）02436，（3）0 x1x2=-60 x1x2=-14时，原方程有两个正根。（3）要使方程有两个异号根，且负根的绝对值较大，只需满足002121xxxx即00204aaa（4）要使方程至少有一个根为零，只需x1x2=0，即 a-4=0，a=4名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 14 页 -