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1、多练出技巧巧思出硕果韦达定理：对于一元二次方程20(0)axbxca，如果方程有两个实数根12,x x，则1212,bcxxx xaa说明： （1）定理成立的条件0（2）注意公式重12bxxa的负号与b 的符号的区别根系关系的几大用处 验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；例如：已知方程x2-5x+6 0，下列是它两根的是（） A 3 ，-2 B. -2, 3 C. -2，-3 D. 3, 2 求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于x1和 x2的代数式的值，如； 求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式
2、 . 求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数 . （后三种为主）（1）计算代数式的值例 若12,x x是方程2220070 xx的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212xx；(2) 1211xx；(3) 12(5)(5)xx；(4) 12|xx解： 由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007xxx x(1) 2222121212()2( 2)2( 2007)4018xxxxx x(2) 121212112220072007xxxxx x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共
3、7 页多练出技巧巧思出硕果(3) 121212(5)(5)5()2520075( 2)251972xxx xxx(4) 22212121212|()()4( 2)4( 2007)2 2008xxxxxxx x说明： 利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2xxxxx x，12121211xxxxx x，22121212()()4xxxxx x，2121212|()4xxxxx x，2212121212()x xx xx xxx，33312121212()3()xxxxx xxx等等韦达定理体现了整体思想（2）构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程是。例 解方
4、程组 x+y=5 xy=6 解：显然， x，y 是方程 z2-5z+6 0 的两根由方程解得 z1=2,z2=3 原方程组的解为 x1=2,y1=3 x2=3,y2=2 显然，此法比代入法要简单得多。（3）定性判断字母系数的取值范围例 一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求 k 的取值范围。解：设此三角形的三边长分别为a、b、c，且 a、b 为的两根，则c=2 由题意知 k2-4 220，k 4 或 k-4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页多练出技巧巧思出硕果为所求。【典型例题】例 1 已知关于x的方程2
5、21(1)104xkxk，根据下列条件，分别求出k的值(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,xx满足12|xx分析： (1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是120 xx，二是12xx，所以要分类讨论解： (1) 方程两实根的积为5 222121 (1)4(1)034,412154kkkkx xk所以，当4k时，方程两实根的积为5(2) 由12|xx得知：当10 x时，12xx，所以方程有两相等实数根，故302k；当10 x时，12120101xxxxkk，由于302k，故1k不合题意，舍去综上可得，32k时，方程的两实根12,xx满足12|xx说明：根据一元二次
6、方程两实根满足的条件，求待定字母的值， 务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足0例 2 已知12,x x是一元二次方程24410kxkxk的两个实数根精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页多练出技巧巧思出硕果(1) 是否存在实数k，使12123(2)(2)2xxxx成立？若存在，求出k的值；若不存在，请您说明理由(2) 求使12212xxxx的值为整数的实数k的整数值解： (1) 假设存在实数k，使12123(2)(2)2xxxx成立 一元二次方程24410kxkxk的两个实数根2400( 4 )4 4 (1)
7、160kkkk kk，又12,x x是一元二次方程24410kxkxk的两个实数根1212114xxkx xk222121212121212(2)(2)2()52()9xxxxxxx xxxx x939425kkk，但0k不存在实数k，使12123(2)(2)2xxxx成立(2) 222121212211212()44224411xxxxxxkxxx xx xkk 要使其值是整数，只需1k能被 4 整除， 故11, 2, 4k，注意到0k，要使12212xxxx的值为整数的实数k的整数值为2, 3, 5说明：(1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即
8、不存在(2) 本题综合性较强，要学会对41k为整数的分析方法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页多练出技巧巧思出硕果一元二次方程根与系数的关系练习题A 组1一元二次方程2(1)210k xx有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A2kB2,1kk且C2kD2,1kk且2若12,x x是方程22630 xx的两个根，则1211xx的值为 ( ) A2B2C12D923已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且 OA、OB 的长分别是关于x的方程22(21)30 xmxm的根，则m等于 ( ) A3B5
9、C53或D53或4若t是一元二次方程20 (0)axbxca的根，则判别式24bac和完全平方式2(2)Matb的关系是 ( ) AMBMCMD大小关系不能确定5若实数ab，且,a b满足22850,850aabb，则代数式1111baab的值为 ( ) A20B2C220或D220或6如果方程2()()()0bc xca xab的两根相等， 则, ,a b c之间的关系是_ 7已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程22870 xx的两个根，则这个直角三角形的斜边长是_ 8若方程22(1)30 xkxk的两根之差为1，则k的值是_ 9设12,x x是方程20 xpxq的两实根，121,1x
10、x是关于x的方程20 xqxp的两实根，则p= _ ，q= _ 10已知实数, ,a b c满足26,9ab cab，则a= _ ，b= _ ，c= _ 11对于二次三项式21036xx，小明得出如下结论：无论x取什么实数，其值都不可精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页多练出技巧巧思出硕果能等于 10您是否同意他的看法？请您说明理由12若0n， 关于x的方程21(2 )04xmn xmn有两个相等的的正实数根，求mn的值13已知关于x的一元二次方程2(41)210 xmxm(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相
11、等的实数根；(2) 若方程的两根为12,x x，且满足121112xx，求m的值14已知关于x的方程221(1)104xkxk的两根是一个矩形两边的长(1) k取何值时，方程存在两个正实数根？(2) 当矩形的对角线长是5时，求k的值B 组1已知关于x的方程2(1)(23)10kxkxk有两个不相等的实数根12,x x(1) 求k的取值范围；(2) 是否存在实数k，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请您说明理由2已知关于x的方程230 xxm的两个实数根的平方和等于11求证： 关于x的方程22(3)640kxkmxmm有实数根3若12,x x是关于x的方程22(21)10 xkxk的两个实数根，且12,x x都大于 1(1) 求实数k的取值范围；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页多练出技巧巧思出硕果(2) 若1212xx，求k的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页