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1、第八讲根与系数的关系及应用如果一元二次方程ax2bxc=0(a 0)的两根为 x1，x2，那么反过来，如果x1，x2满足 x1+x2=p，x1x2=q，则 x1，x2是一元二次方程x2-px+q=0 的两个根一元二次方程的韦达定理，揭示了根与系数的一种必然联系利用这个关系，我们可以解决诸如已知一根求另一根、求根的代数式的值、构造方程、证明等式和不等式等问题，它是中学数学中的一个有用的工具1已知一个根，求另一个根利用韦达定理，我们可以通过方程的一个根，求出另一个根例 1 方程(1998x)2-1997?1999x-1=0 的大根为a，方程 x21998x-1999=0 的小根为b，求 a-b 的
2、值解 先求出 a，b由观察知，1 是方程(1998x)2-1997?1999x-1=0 的根，于是由韦达又从观察知，1 也是方程x21998x-1999=0 的根，此方程的另一根为-1999，从而 b=-1999所以 a-b=1-(-1999)=2000 例 2 设 a 是给定的非零实数，解方程解 由观察易知，x1=a 是方程的根又原方程等价于2求根的代数式的值在求根的代数式的值的问题中，要灵活运用乘法公式和代数式的恒等变形技巧例 3 已知二次方程x2-3x1=0 的两根为，求：(3)3 3；(4)3-3名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 8 页 -解 由韦达定理知+
3、=3，=1(3)33=(+)(2-+2)=(+)(+)2-3=3(9-3)=18；(4)3-3=(-)(2+2)=(-)(+)2-例 4 设方程 4x2-2x-3=0 的两个根是 和，求 42 2的值解 因为 是方程 4x2-2x-3=0 的根，所以42-2-30，即42=2342+2=2+3+2=2(+)+3=4例 5 已知，分别是方程x2x-1=0 的两个根，求25+53的值解 由于，分别是方程x2x-1=0 的根，所以2+-1=0，2+-1=0，即 2=1-，2=1-5=(2)2?=(1-)2=(2-2+1)=(1-2+1)=-32+2=-3(1-)+2=5-3，3=2?=(1-)=-2
4、名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 8 页 -=-(1-)=2-1所以25+53=2(5-3)+5(2-1)=10(+)-11=-21说明此解法的关键在于利用，是方程的根，从而可以把它们的幂指数降次，最后都降到一次，这种方法很重要例 6 设一元二次方程ax2 bxc=0 的两个实根的和为s1，平方和为s2，立方和为s3，求 as3bs2cs1的值解 设 x1，x2是方程的两个实根，于是所以as3bs2cs1=0说明本题最“自然”的解法是分别用a，b，c 来表示 s1，s2，s3，然后再求as3bs2cs1的值当然这样做运算量很大，且容易出错下面我们再介绍一种更为“本质
5、”的解法另解因为 x1，x2是方程的两个实根，所以同理将上面两式相加便得as3bs2cs103与两根之比有关的问题例 7 如果方程 ax2bxc=0(a 0)的根之比等于常数k，则系数a，b，c 必满足：kb2=(k 1)2ac证 设方程的两根为x1，x2，且 x1=kx2，由韦达定理名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 8 页 -由此两式消去x2得即kb2(k 1)2ac例 8 已知 x1，x2是一元二次方程4x2-(3m-5)x-6m20 解 首先，=(3m-5)2 96m20，方程有两个实数根由韦达定理知从上面两式中消去k，便得即m2-6m+5=0，所以 m1=1
6、，m2=54求作新的二次方程例 9 已知方程 2x2-9x8=0，求作一个二次方程，使它的一个根为原方程两根和的倒数，另一根为原方程两根差的平方解 设 x1，x2为方程 2x2-9x8=0 的两根，则名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 8 页 -设所求方程为x2+px+q=0，它的两根为x1，x2，据题意有故所以，求作的方程是36x2-161x34=0例 10 设 x2-pxq=0 的两实数根为，(1)求以 3，3为两根的一元二次方程；(2)若以 3，3为根的一元二次方程仍是x2-px q=0，求所有这样的一元二次方程解(1)由韦达定理知+=p，=q，所以3+3=(+
7、)(+)2-3=p(p2-3q)，3?3=()3=q3所以，以 3，3为两根的一元二次方程为x2-p(p2-3q)x+q3=0(2)由(1)及题设知由得 q=0，1若 q=0，代入，得p=0，1；若 q=-1，代入，以，符合要求的方程为x2=0，x2-x=0，x2+x=0，x2-1=05证明等式和不等式利用韦达定理可以证明一些等式和不等式，这常常还要用判别式来配合名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 8 页 -例 11 已知实数 x，y，z 满足x=6-y，z2=xy-9，求证：x=y证 因为 xy=6，xy=z29，所以 x，y 是二次方程t2-6t+(z2+9)=0
8、 的两个实根，于是这方程的判别式=36-4(z2+9)=-4z20，即 z20因 z 为实数，显然应有z2 0要此两式同时成立，只有z=0，从而=0，故上述关于t 的二次方程有等根，即 x=y例 12 若 a，b，c 都是实数，且abc=0，abc=1，证 由 ab c=0 及 abc=1 可知，a，b，c 中有一个正数、两个负数，不妨设a 是正数，由题意得于是根据韦达定理知，b，c 是方程的两个根又b，c 是实数，因此上述方程的判别式因为 a0，所以a3-40，a34，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 8 页 -例 13 知 x1，x2是方程 4ax2-4ax+a
9、+4=0 的两个实根解(1)显然 a0，由=16a2-16a(a+4)0，得 a0由韦达定理知所以所以 a=9，这与 a0 矛盾故不存在a，使(2)利用韦达定理所以(a+4)|16，即 a+4=1，2，4，8，16结合 a 0，得 a=-2，-3，-5，-6，-8，-12，-20名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 8 页 -练习八1选择：(1)方程 x2+px+1997=0 恰有两个正整数根x1，x2，则 (A)-4(B)8(C)6 (D)0 为 (A)3(B)-11(C)3 或-11(D)11 2填空：(1)如果方程x2+px+q=0 的一根为另一根的2 倍，那么，p，q 满足的关系式是_(2)已知关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0 没有实数根，甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2 和 4，乙由于看错了某一项系数的符号，1993+5a2+9a4=_另一根为直角边a，则此直角三角形的第三边b=_3已知，是方程 x2-x-1=0 的两个实数根，求4+3的值名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 8 页 -