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1、第二章习题解答p.52 2.1.证明在定态中，几率流与时间无关。证：对于定态，可令)r()r()r()r(m2ie)r(e)r(e)r(e)r(m2i)(m2iJe)r()t(f)r()tr(*EtiEti*EtiEti*Eti）（）（，可见tJ与无关。2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：i k ri k rerer1)2(1)1(21从所得结果说明1表示向外传播的球面波，2表示向内(即向原点)传播的球面波。解：分量只有和rJJ21在球坐标中s i nr1er1err0rmrkrmrkrrikrrrikrrmirerrererrermimiJikrikrikrikr30202201*1*1
2、11)11(1)11(12)1(1)1(12)(2)1(rJ1与同向。表示向外传播的球面波。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 17 页 -rmrkrmrkr)r1ikr1(r1)r1ikr1(r1m2ir)er1(rer1)er1(rer1m2i)(m2iJ)2(3020220ikrikrikrikr*2*222可见，rJ与2反向。表示向内(即向原点)传播的球面波。补充：设ikxex)(，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？dxdx*波函数不能按1)(2dxx方式归一化。其相对位置几率分布函数为12表示粒子在空间各处出现的几率相同。2.3 一粒子在一维势场
3、axaxxxU，000)(中运动，求粒子的能级和对应的波函数。解：txU与)(无关，是定态问题。其定态S方程)()()()(2222xExxUxdxdm在各区域的具体形式为：)()()()(20111222xExxUxdxdmx：)()(2022222xExdxdmax：)()()()(2333222xExxUxdxdmax由于(1)、(3)方程中，由于)(xU，要等式成立，必须0)(1x名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 17 页 -0)(2x即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程(2)可变为0)(2)(22222xmEdxxd令222mEk，得0)()(22222
4、xkdxxd其解为kxBkxAxcossin)(2根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得)0()0(12)()(32aa0B0sinkaA),3,2,1(0sin0nnkakaAxanAxsin)(2由归一化条件1)(2dxx得1s i n022ax d xanA由mnabaxdxanxam2sinsinxanaxaAs i n2)(22222mEk),3,2,1(22222nnmaEn可见 E 是量子化的。对应于nE的归一化的定态波函数为名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 17 页 -axaxaxxeanatxtEinn,00,sin2),(#2.4.
5、证明（2.6-14）式中的归一化常数是aA1证：axaxaxanAn,0),(sin（2.6-14）由归一化，得aAaxannaAaAdxaxanAxAdxaxanAdxaxanAdxaaaaaaaaaan222222222)(sin2)(cos22)(cos121)(sin1归一化常数aA1#2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。解：222122)(xxex22222322211224)()(xxexexxx22222)(3231xexxdxxd令0)(1dxxd，得名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 17 页 -xxx10由)(1x的表达式可知，xx0，
6、时，0)(1x。显然不是最大几率的位置。2222)251(4)22(2)62(2)(44223322223212xxexxexxxxdxxd而0142)(321212edxxdx可见1x是所求几率最大的位置。#2.6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：)()(xUxU，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为)()()()(2222xExxUxdxd将式中的)(xx以代换，得)()()()(2222xExxUxdxd利用)()(xUxU，得)()()()(2222xExxUxdxd比较、式可知，)()(xx 和都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函
7、数。由于它们描写的是同一个状态，因此)()(xx 和之间只能相差一个常数c。方程、可相互进行空间反演)(xx而得其对方，由经xx反演，可得，)()(xcx由再经xx反演，可得，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。)()(xcx乘，得)x()x(c)x()x(2可见，12c名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 17 页 -1c当1c时，)x()x(，)(x具有偶宇称，当1c时，)()(xx，)(x具有奇宇称，当势场满足)()(xUxU时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。#2.7 一粒子在一维势阱中axaxUxU,0,0)(0运动，求束缚态(00UE)的能级所满足的方程。
8、解：粒子所满足的S-方程为)()()()(2222xExxUxdxd按势能)(xU的形式分区域的具体形式为：)x(E)x(U)x(dxd21101222ax：)()(222222xExdxdaxa：)x(E)x(U)x(dxd23303222xa整理后，得：0)(21201EU：.0E2222：0)(23203EU令22220212)(2EkEUk则：01211k：.02222k：01213k名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 17 页 -各方程的解为xkxk3222xkxk11111FeEexkcosDxksinCBeAe由波函数的有限性，有0)(0)(31EA有限
9、有限因此xk3xk111FeBe由波函数的连续性，有)13(FekaksinDkakcosCk),a()a()12(FeakcosDaksinC),a()a()11(aksinDkakcosCkBek),a()a()10(akcosDaksinCBe),a()a(ak1222232ak22322222ak12122ak211111整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得0FekaDksinkaCkcosk00FeaDkcosaCksin000DaksinkaCkcoskBek00aDkcosaCksinBeak12222ak222222ak122ak1111解此方程即可
10、得出B、C、D、F，进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解，必须0Bekaksinkakcosk0eakcosaksin00aksinkakcoskek0akcosaksineak12222ak222222ak122ak1111名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 17 页 -ak2c o skk2ak2s i n)kk(e ak2sinkak2sinkak2coskk2eaksinekakcosaksinekakcosekakcosaksinekekakcosaksinekaksinekkakcosaksinekakcosekkeekaksinkakcoskeak
11、cosaksin0akcosaksinekekaksinkakcoskeakcosaksin0aksinkakcoske022122122ak2221222221ak222ak222ak122ak222ak1ak122ak2222ak2122ak2222ak21akak12222ak2222ak1ak12222ak222222ak111111111111111111012ake02cos22sin)(22122122akkkakkk即022)(2122122kkaktgkk为所求束缚态能级所满足的方程。#方法二：接（13）式aksinDkkakcosCkkakcosDaksinC2122122
12、2aksinDkkakcosCkkakcosDaksinC21221222名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 17 页 -02cosk22sin)(02cos22sin)1(0cossincossincossin0)cossin)(sincos(0)cossin)(sincos()cossin)(sincos(0)cossin(sincoscossinsincos221221222122212222221222122221222212221222122212221222122212221222122212akkakkkakkkakkkakakakkkakkkakakk
13、kakakkkakakkkakakkkakakkkakakkkakakkkakakkkakakkkakakkkakakkk#另一解法：(11)-(13)(sin21122FBekakDkak(10)+(12)FB(eakcosD2ak21)a(katgkk)12()10()13()11(122(11)+(13)aikeBFkakCk1)(cos2122(12)-(10)aik21e)BF(aksinC2令，akak22则)d(ctg)c(tg或)f(aU2)kk(220222122合并)b()a(、：212221222kkkkaktg利用aktg1atgk2ak2tg2222#（b）kactg
14、kk)10()12()13()11(122名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 17 页 -2-7 一粒子在一维势阱axaxUxU,0,0)(0中运动，求束缚态)0(0UE的能级所满足的方程。解：（最简方法-平移坐标轴法）：110122EU（0）：2222E（02a）：330322EU（2a）0)(2020)(232032221201EUEEU(3)0kE2k(2)0k)EU(2k(1)0k3213222222220211211束缚态 0 E 0UxkxkxkxkFeEexkDxkCBeAe111132221cossin0)(0)(31EB有限有限因此xkxkFeAe1
15、131由波函数的连续性，有名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 17 页 -)7(Feak2cosDak2sinC),a2()a2()6(Fekak2sinDkak2cosCk),a2()a2()5(CkAk),0()0()4(DA),0()0(ak22232ak2122223221212111(7)代入(6)akDkkakCkkakDakC212212222sin2cos2cos2sin利用(4)、(5)，得0ak2coskk2ak2sin)kk()kk(0ak2cos2ak2sin)kkkk(0A0ak2cos2ak2sin)kkkk(Aak2sinDkkak2c
16、osAak2cosAak2sinAkk221221222122122122122121222221即得两边乘上#2.8 分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为，,0,0,0,)(10 xbbxaUaxUxxU求束缚态的能级所满足的方程。解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。定态 S-方程为)()()()(2222xExxUxdxd对各区域的具体形式为：)0()(21112xExU名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 17 页 -：)0(222022axEU：)(233132bxaEU：)(02442xbE对于区域，)(xU，粒子不可能到达此区域，故0)(1x而
17、.0)(22202EU0)(23213EU02424E对于束缚态来说，有0EU02212k2021)(2EUk03233k2123)(2EUk04244k224/2 Ek各方程的解分别为xkxkxkxkFeEexkDxkCBeAe331142232cossin由波函数的有限性，得0)(4E有限，xkFe34由波函数及其一阶导数的连续，得AB)0()0(21)(332xkxkeeAakDakCeeAaaxkxk2232c o ss i n)()()(33akDkakCkeeAkaaakak2222133sincos)()()(33bkFebkDbkCbb32243cossin)()(bkeFkb
18、kDkbkCkbb33222243cossin)()(名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 17 页 -由、，得akDakCakDakCeeeekkakakakak222221cossincoscos1111 (11)由、得DbkkCbkkDbkkCbkk)cos()sin()sin()cos(232322220)s i nc os()s i nc o s(22322232DbkbkkkCbkbkkk (12)令211111kkeeeeakakakak，则式变为0)sincos()cossin(2222DakakCakak联立(12)、(13)得，要此方程组有非零解，
19、必须0)s i nco s()c ossi n()co ssi n()si nc os(222222322232akakakakbkbkkkbkbkkk)()1()(0)1)(co s)(sin0coscossincos)cossinsinsinsinsincossinsinsincoscos0)cossin()cossin()sincos)(sincos(32322322322222222322232222222322232223222223222kkkkabtgkkkabkkkabkakbkakbkakbkkkakbkkkakbkakbkakbkkkakbkkkbkbkkkakakbkbk
20、kkakak即把代入即得)()1()(111111112132322akakakakakakakakeeeekkkkeeeekkabt g k此即为所要求的束缚态能级所满足的方程。#附：从方程之后也可以直接用行列式求解。见附页。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 17 页 -）（）（bkakekbkakekbkakekbkakekkeekbkakekbkakekkbkakekbkakekkeeekbkkbkkebkbkakakeekekbkkbkkebkbkakkakkeeekbkkbkkebkbkakkakkkeeakakeebkbkbkbkbkbkakakaka
21、kakakakakakakakakakakakakakakakak22222322222321222222322222223232222222213222222222232222222222222s i ns i nsi nco sco sco sco ss i n)(si nc ossi nsi nco ssi nc osc o s)(s i nco sc oss i n0co ss i n)(si nc o sco ssi n0si nc os)(00si nc os0co ssi n00s i nco s)(0co ssi n)(333311333311331133113311110)(
22、sin)()(cos)()(sin)()(cos)()(cos)(sin)()(sin)(cos)(3131311311231222231231222231221231222232bkakbkakbkakakbkakakeabkkkkabkkkkeeabkkkkabkkkkeeabkkkabkkkeeeabkkabkkkee0)()()()()(0)()()()()()(2312231231222312223122231231222311133kkkekkkabtgkkkkekkkeabtgkkkkkkkeabtgkkkkkkkakakbkbk此即为所求方程。#补充 1：设)()(2221为常
23、数xAex，求 A=？解：由归一化条件，有)x(de1A)x(deA12222x2x21Adye1A2y22利用dye2y A#名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 17 页 -补充 2：求基态微观线性谐振子在经典界限外被发现的几率。解：基态能量为210E设基态的经典界限的位置为a，则有2121220aE0a1a在界限外发现振子的几率为)t21ydte21222dyedye2dye2)x(de2)(dxe222/t1yy1ya)x(ax222202022（令偶函数性质式中22/221dtet为正态分布函数xtdtex2/221)(当)2(2时的值x。查表得92.0)2
24、(92.016.0)92.01(2在经典极限外发现振子的几率为0.16。#补充 3：试证明)x3x2(e3)x(33x2122是线性谐振子的波函数，并求此波函数对应的能量。证：线性谐振子的S-方程为)(220220220 xaxaxedxedxe名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 17 页 -)()(21)(22222xExxxdxd把)(x代入上式，有)3x9x2(e3e)3x6()x3x2(x3)x3x2(e3dxd)x(dxd2345x21x212333233x21222222)3x9x2(e3dxddx)x(d2345x212222)x18x8(e)3x9x
25、2(xe3335x212345x2122222)x()7x()x3x2(e3)7x(22433x2122422把)(22xdxd代入式左边，得)()(27)(21)(21)(27)(21)(2)(27)(21)(2)(27)(21)(22222222422222422222222xExxxxxxxxxxxxxxxxxxdxxd右边）（左边当27E时，左边=右边。n=3 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 17 页 -)32(3)(332122xxedxdxx，是线性谐振子的波函数，其对应的能量为27。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 17 页，共 17 页 -