《2022年2022年量子力学复习题部分解答 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年2022年量子力学复习题部分解答 .pdf（30页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、s5 如果算符?、?满足条件1?，求证：?2?22，233?3?，证利用条件1?，以?左乘之得?2则有?)1?(2最后得?2?22。再以?左乘上式得222?2)?(?，即232?2?则有233?3?最后得233?3?7（10 分）求角动量z 分量的本征值和本征函数。解：?zdLid归一化系数。是积分常数，亦可看成其中解得：ccelddiLzilzz)()()()(?名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 30 页 -波函数单值条件，要求当 转过 2 角回到原位时波函数值相等，即：求归一化系数最后，得 Lz的本征函数9 2112|2202220ccdcd,2,1,021)(
2、memlimmz)2()()2(zizillcece12zile,2,1,022mmlz于是,2,1,0mmlz名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 30 页 -名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 30 页 -10在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：)()(xUxU，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为)()()()(2222xExxUxdxd将式中的)(xx以代换，得)()()()(2222xExxUxdxd利用)()(xUxU，得)()()()(2222xExxUxdxd比较、式可知，)()(x
3、x 和都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此)()(xx 和之间只能相差一个常数c。方程、可相互进行空间反演)(xx而得其对方，由经xx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 30 页 -反演，可得，)()(xcx由再经xx反演，可得，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。)()(xcx乘，得)x()x(c)x()x(2可见，12c1c当1c时，)x()x(，)(x具有偶宇称，当1c时，)()(xx，)(x具有奇宇称，当势场满足)()(xUxU时，粒子的定态波函数具有确定的宇称11一粒子在一维势场axaxxxU，000)(中运动，求粒
4、子的能级和对应的波函数。解：txU与)(无关，是定态问题。其定态S方程)()()()(2222xExxUxdxdm在各区域的具体形式为：)()()()(20111222xExxUxdxdmx：)()(2022222xExdxdmax：)()()()(2333222xExxUxdxdmax由于(1)、(3)方程中，由于)(xU，要等式成立，必须0)(1x名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 30 页 -0)(2x即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程(2)可变为0)(2)(22222xmEdxxd令222mEk，得0)()(22222xkdxxd其解为kxBkxAxcos
5、sin)(2根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得)0()0(12)()(32aa0B0sin kaA),3,2,1(0si n0nnkakaAxanAxsin)(2由归一化条件1)(2dxx得1s i n022ax d xanA由mnabaxdxanxam2sinsinxanaxaAsi n2)(22222mEk名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 30 页 -),3,2,1(22222nnmaEn可见 E 是量子化的。对应于nE 的归一化的定态波函数为axaxaxxeanatxtEinn,00,sin2),(12设 t=0 时，粒子的状态为c o s
6、s i n)(212kxkxAx求此时粒子的平均动量和平均动能。解：cos)2cos1(cossin)(2121212kxkxAkxkxAxc o s2co s12kxkxA)()(12212221ikxikxkxikxieeeeA212221212212210i k xi k xkxikxixieeeeeA可见，动量np 的可能值为kkkk220动能22np的可能值为2222022222222kkkk对应的几率n应为2)161616164(22222AAAAA2)8181818121(A上述的 A 为归一化常数，可由归一化条件，得222)1644(1222AAAnn/1A名师资料总结-精品资
7、料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 30 页 -动量p的平均值为02162162162216202222AkAkAkAkppnnnnnnppT22222812281202222kk8522k#13一维运动粒子的状态是0,00,)(xxAxexx当当其中0，求：(1)粒子动量的几率分布函数；(2)粒子的平均动量。解：(1)先求归一化常数，由02222)(1dxexAdxxx2341A2/32Axxex22/32)()0(x0)(x)0(xdxxxedxxepcxikikx)(2)21()(21)()(2/32/1dxeikeikxxikxik)(0)(2/131)22(名师资料总结-精品资
8、料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 30 页 -22/1322/13)(1)22()()22(piikx动量几率分布函数为222233222232)(12)(12)()(pppcp(2)dxedxdxeidxxpxpxx)(4)(?)(3*dxexxix23)1(4dxexxix223)(4)4141(4223i014在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如果粒子的状态由波函数)()(xaAxx描写，A 为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。解：由波函数)(x的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量的本征函数和本征值为axxaxxanax,0,00,sin2)(22
9、222 anEn)321(，n动量的几率分布函数为2)(nCEandxxxandxxxC0*)(sin)()(先把)(x归一化，由归一化条件，aadxxaxaxAdxxaxAdxx022220222)2()()(1名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 30 页 -adxxaxxaA043222)2(30)523(525552aAaaaA530aAandxxaxxanaaC05)(sin302s i ns i n1520203xxdanxxxdanxaaaaaxannaxanxnaxanxnaxannaxanxnaa0333222222323c o s2s i n2cos
10、sincos152)1(115433nn2662)1(1240)(nnnCE,6,4,2053196066nnn，adxxpxdxxHxE02)(2?)()(?)(adxaxxdxdaxxa02225)(2)(30)32(30)(303352052aaadxaxxaa225a15 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 30 页 -15名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 30 页 -16 氢原子处在基态0/301),(arear，求：(1)r 的平均值；(2)势能re2的平均值；解：(1)drddrreadrrrarsin1),(02200/
11、230200/233004draraar01!naxnandxex04030232!34aaa02203020/23020200/230202002/230222144si nsi n1)()2(000aeaaedrreaeddrdreaeddrdreraereUararar17 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 30 页 -限高势阱中的粒子质量为m的一个粒子在边长为a立方盒子中运动，粒子所受势能由下式给出：0,0,;0,;0,xayazaVothers（1）列 出 定 态 薛 定 谔 方 程，用 分 离 变 量 法（,x y zX x Y y Z z）求系统能量
12、本征值和归一化波函数；解：（1）定态薛定谔方程：22,2x y zEx y z分离变量：,x y zX x Y y Z z，xyzEEEE222222222222xyzd X xE X xdxd Y yE Y ydyd Z zE Z zdz；2sin2sin2sinm xX xaan yY yaalzZ zaa；222222222222222xyzEmaEnaEla名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 30 页 -3/22,sinsinsinm xn xlxx y zaaaa2222222mnlEmnla，,1,2,3,.m n l基态：220111232EEa，基态
13、波函数：112211111111122231112221212,;,2sinsinsinsinsinsin12AAzzzzzzr srsx y zxyzxyzxyzaaaaaaassss18 氢原子处于态433141 1041 1 1122,333rR YR YR Y中，问（1）,r是否为能量的本征态？若是，写出其本征值。若不是，说明理由；（2）在,r中，测角动量平方的结果有几种可能值？相应几率为多少？19求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。解：基矢：xanaxunsin2)(能量：22222 anEn对角元：2sin202axdxamxaxammcnunununnuduusin
14、cos1cos2当时，nmamndxanxxamax0)(sin)(sin2名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 30 页 -1)1()(4)(1)(11)1()(sin)()(cos)()(sin)()(cos)(1)(cos)(cos12222222022202220nmnmaaanmmnanmnmaxanmnmaxxanmnmaxanmnmaxxanmnmaadxxanmxanmxaanmmninmnmaanixanmnmaxanmnmaanidxxanmxanmanixdxanxamanixdxandxdxamaidxxupxupnmnmaaaanmmn)(2
15、1)1(1)1()(1)(1)(cos)()(cos)()(sin)(sincossin2sinsin2)(?)(2220202020*Cnmunmnmunmn u d umu)(2)cos()(2)cos(cossin名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 30 页 -#例：作一维运动的粒子被束缚在0 xa的范围内，已知其波函数为axAxsin求：(1)常数A；(2)粒子在 0到a/2区域内出现的概率；(3)粒子在何处出现的概率最大？解：(1)由归一化条件1sin0222adxaxAdx解得122AaaA2(2)粒子的概率密度为axa22sin2粒子在 0到a/2区域
16、内出现的概率21sin22/022/02dxaxadxaa(3)概率最大的位置应该满足02sin22axadxd即当,2,1,0,2kkax时，粒子出现的概率最大。因为0 xa，故得 x=a/2，此处粒子出现的概率最大。2021设一体系未受微扰作用时有两个能级：0201EE 及，现在受到微扰H?的作用，微扰矩阵元为bHHaHH22112112，；ba、都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。解：由微扰公式得nnnHE)1(mmnmnnEEHE)0()0(2)2(得bHEbHE22)1(0211)1(01名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 30 页 -02012001
17、21)2(01EEaEEHEmmm0102200221)2(02EEaEEHEmmm 能量的二级修正值为02012011EEabEE01022022EEabEE22一维无限深势阱(0 x 0 时的粒子波函数；A.000EEEEE,EEE0EEE0，1121u（2 分）EEE0,1121u（2 分）B.uuuaua)(2121010（4 分）t)EE(it)EE(i)t(ee0011211121EtsiniEtcosetiE0（4 分）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 25 页，共 30 页 -28.一电荷为e的线性谐振子受恒定弱电场作用。设电场沿x方向：（1）用微扰法求能量至二
18、级修正；（2）求能量的准确值，并和（1）所得的结果比较。解（1）荷电为e的线性谐振子由于电场作用所具有的能量为xe，因为是弱电场，故与无电场时谐振子具有的总能量0H相比较，显然有xeH0令xeH，显然，H可以看作微扰，因此可以用微扰法求解。线性谐振子在外电场作用下的总哈密顿算符是HHxexpH?212?0222无微扰时，线性谐振子的零级波函数是)(!222122xHemmxmm当体系处于第m态时，考虑微扰的影响，则能量变为nmnmmnmmmmEEHHEE0020其中dxxxexHmmmm)()(*demm)()(*2其中xxdHeHeNemmm)()(222222dHHeNemmm)()(22
19、2利用递推公式)()(21)(11mmmmHHH故dmHHHeNeHmmmmmm)()(21)(11222利用厄密多项式的正交性可以看出上面的积分为零，即0mmH这表明能量一级修正为零。下面求能量的二级修正。为此计算矩阵元dHHeNNeHnmnmmm)()(22名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 26 页，共 30 页 -dnHHHeNNennmnm)()(21)(1122deHNHeNennmm221222)()(21deHNHeNnnnmm22122)()(dnndnenmnm)()(2)()()1(2211*1*21,1,2221nmnmnne010010222002212
20、|mmmmnmnmmnEEmEEmeEEH而)211(21010mmEEmm)211(21010mmEEmm最后得能量的二级修正为2222222200222212eemmeEEHnmnmmn故在准确到二级修正的情况下，总能量为222221emE（2）由于微扰能量是线性的，因此我们可以采用配成完全平方的方法，把哈密顿算符加以变形，从而求得能量的准确性。222222222222?22?eexpxexpH22202222222?222?eHexp其中2exx定态薛定谔方程是mEeHH22202?而0000mEH名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 27 页，共 30 页 -令0，则得00
21、22202mmEeE故22222202212emeEEmm这样算出的结果和用微扰法算出的结果完全一致。28 若S?是电子的自旋算符，求a.xS?zS?xS?yS?xS?=?b.?S?S?a.xyxzxsssssxy2xzssss5xyz2)2(isss4或5xyzzy2)2(is)ssss(2145 分b.si)ssss(k)ssss(j)ssss(issxyyxzxxzyzzy29 307.6 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？解：体系可能的状态有4 个。设两个单粒子态为i，j，则体系
22、可能的状态为)()()(3211qqqiii)()()(3212qqqjjj)()()()()()()()()(311322313213qqqqqqqqqjiijiijii名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 28 页，共 30 页 -)()()()()()()()()(311322313214qqqqqqqqqijjijjijj31（15 分）一量子体系的哈密顿算符0?,HHH在0?H表象中40?0200100H，00?00000kHk其中常数1k，（1）用微扰法求体系的能级，精确到二级近似；（2）求出体系能量的精确解，并与（1）式结果比较。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 29 页，共 30 页 -名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 30 页，共 30 页 -