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1、学习好资料欢迎下载一次函数的图象和性质一、知识要点：1、一次函数：形如y=kx+b(k 0,k,b为常数)的函数。注意：（1）k0,否则自变量 x 的最高次项的系数不为1；（2）当 b=0时，y=kx，y 叫 x 的正比例函数。2、图象：一次函数的图象是一条直线，（1）两个常有的特殊点：与y 轴交于（0，b）；与 x 轴交于（-，0）（2）由图象可以知道，直线 y=kx+b 与直线 y=kx 平行，例如直线：y=2x+3 与直线 y=2x-5 都与直线 y=2x平行。3、性质：(1)图象的位置:(2)增减性k0 时，y 随 x 增大而增大k0 时，y 随 x 增大而减小4求一次函数解析式的方法
2、求函数解析式的方法主要有三种(1)由已知函数推导或推证(2)由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。(3)用待定系数法求函数解析式。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 8 页 -学习好资料欢迎下载“待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况：利用一次函数的定义构造方程组。利用一次函数y=kx+b 中
3、常数项 b恰为函数图象与y 轴交点的纵坐标，即由 b 来定点；直线 y=kx+b平行于 y=kx，即由 k 来定方向。利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。利用题目已知条件直接构造方程。二、例题举例：例 1已知 y=，其中=(k 0 的常数)，与成正比例，求证y 与 x 也成正比例。证明：与成正比例，设=a(a0 的常数),y=,=(k 0 的常数),y=a=akx，其中 ak0 的常数，y 与 x 也成正比例。例 2已知一次函数=(n-2)x+-n-3 的图象与 y 轴交点的纵坐标为-1，判断=(3-)是什么函数，写出两个函数的解析式，并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增
4、减性。解：依题意，得解得 n=-1，=-3x-1,=(3-)x,是正比例函数；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 8 页 -学习好资料欢迎下载=-3x-1 的图象经过第二、三、四象限，随 x 的增大而减小；=(3-)x 的图象经过第一、三象限，随 x 的增大而增大。说明：由于一次函数的解析式含有待定系数n，故求解析式的关键是构造关于n 的方程，此题利用“一次函数解析式的常数项就是图象与y 轴交点纵坐标”来构造方程。例 3直线 y=kx+b 与直线 y=5-4x 平行，且与直线 y=-3(x-6)相交，交点在 y 轴上，求此直线解析式。分析：直线 y=kx+b 的位置由
5、系数 k、b 来决定：由 k 来定方向，由 b 来定与 y 轴的交点，若两直线平行，则解析式的一次项系数k 相等。例 y=2x,y=2x+3 的图象平行。解：y=kx+b与 y=5-4x 平行，k=-4,y=kx+b 与 y=-3(x-6)=-3x+18相交于 y 轴，b=18，y=-4x+18。说明：一次函数y=kx+b 图象的位置由系数k、b 来决定：由 k 来定方向，由b 来定点，即函数图象平行于直线 y=kx，经过(0,b)点，反之亦成立，即由函数图象方向定k，由与 y 轴交点定 b。例 4直线与 x 轴交于点 A（-4，0），与 y 轴交于点 B，若点 B到 x 轴的距离为 2，求直
6、线的解析式。解：点 B到 x 轴的距离为 2，点 B的坐标为（0，2），设直线的解析式为y=kx2,直线过点 A（-4，0），0=-4k 2,解得：k=,直线 AB的解析式为 y=x+2或 y=-x-2.说明：此例看起来很简单，但实际上隐含了很多推理过程，而这些推理是求一次函数解析式必备的。（1）图象是直线的函数是一次函数；（2）直线与 y 轴交于 B点，则点 B（0，）；（3）点 B到 x 轴距离为 2，则|=2；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 8 页 -学习好资料欢迎下载（4）点 B的纵坐标等于直线解析式的常数项，即b=；（5）已知直线与 y 轴交点的纵坐标，
7、可设 y=kx+，下面只需待定k 即可。例 5已知一次函数的图象，交x 轴于 A（-6，0），交正比例函数的图象于点B，且点 B在第三象限，它的横坐标为-2，AOB的面积为 6 平方单位，求正比例函数和一次函数的解析式。分析：自画草图如下：解：设正比例函数y=kx，一次函数 y=ax+b，点 B在第三象限，横坐标为-2，设 B（-2，），其中0，=6，AO|=6，=-2，把点 B（-2，-2）代入正比例函数y=kx，得 k=1 把点 A（-6，0）、B（-2，-2）代入 y=ax+b，得解得：y=x,y=-x-3 即所求。说明：（1）此例需要利用正比例函数、一次函数定义写出含待定系数的结构式，
8、注意两个函数中的系数要用不同字母表示；（2）此例需要把条件（面积）转化为点 B的坐标。这个转化实质含有两步：一是利用面积公式AO BD=6（过点 B作 BD AO于 D）计算出线段长 BD=2，再利用|=BD 及点 B在第三象限计算出=-2。若去掉第三象限的条件，想一想点B的位置有几种可能，结果会有什么变化？（答：有两种可能，点B可能在第二象限（-2，2），结果增加一组y=-x,y=(x+3).名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 8 页 -学习好资料欢迎下载例 6已知正比例函数y=kx(k0)图象上的一点与原点的距离等于13，过这点向 x 轴作垂线，这点到垂足间的线段
9、和x 轴及该图象围成的图形的面积等于30，求这个正比例函数的解析式。分析：画草图如下：则 OA=13，=30，则列方程求出点A的坐标即可。解法 1：设图象上一点 A（x,y）满足解得：；代入 y=kx(k1 时，BCD=ABD，BDC=ADB，BCD ABD，=-=8-22x+5=0 x1=,x2=,名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 8 页 -学习好资料欢迎下载经检验：x1=,x2=,都是方程的根。x=,不合题意，舍去。x=，D点坐标为（,0）。设图象过 B、D两点的一次函数解析式为y=kx+b，所求一次函数为y=-x+（2）若点 D在点 C左侧则 x1，可证 AB
10、C ADB，-8-18x-5=0 x1=-,x2=,经检验 x1=-,x2=,都是方程的根。x2=不合题意舍去，x1=-,D点坐标为（-,0），图象过 B、D（-,0）两点的一次函数解析式为y=4x+综上所述，满足题意的一次函数为y=-x+或 y=4x+.例 8已知：如图一次函数y=x-3 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B两点，过点 C（4，0）作 AB的垂线交 AB于点 E，交 y 轴于点 D，求点 D、E的坐标。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 8 页 -学习好资料欢迎下载解：直线 y=x-3 与 x 轴交于点 A（6，0），与 y 轴交于点 B（0，-3），OA=6，OB=3，OA OB，CD AB，ODC=OAB，cot ODC=cot OAB,即OD=8.点 D的坐标为（0，8），设过 CD的直线解析式为y=kx+8,将 C(4,0)代入0=4k+8,解得 k=-2 直线 CD：y=-2x+8,由解得点 E的坐标为（，-）说明：由于点E既在直线 AB上，又在直线 CD上，所以可以把两直线的解析式联立，构成二元一次方程组，通过解方程组求得。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 8 页 -