电磁场电磁波习题答案 .pdf

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1、1 第二 章静 电 场重 点 和 难 点电场 强 度 及 电 场 线 等 概 念 容 易 接 受，重 点 讲解 如 何 由物 理 学 中 积 分 形 式 的静 电 场 方 程 导 出 微 分 形 式 的 静 电 场方 程，即 散 度 方 程 和旋 度 方 程，并 强 调 微 分 形 式 的 场 方程 描 述 的是 静 电场 的 微 分 特 性或 称 为 点 特 性。利用 亥 姆 霍 兹 定 理，直 接 导 出 真 空 中 电 场 强度 与 电 荷之 间 的 关系。通过 书 中 列 举 的 4 个 例子，总 结归 纳 出 根据 电 荷 分布 计 算电 场 强 度 的 三种 方 法。至于 媒 质

2、的 介 电 特 性，应 着 重 说 明 均 匀和 非 均 匀、线性 与 非 线 性、各 向 同性 与 各 向 异 性 等 概 念。讲 解 介 质 中静 电 场 方 程 时，应 强调 电 通 密 度 仅 与 自 由 电 荷 有 关。介绍 边 界 条件 时，应 说 明 仅 可依 据 积 分 形 式 的 静 电 场 方 程，由 于 边 界上 场 量不 连 续，因而 微 分 形 式 的 场 方 程 不 成 立。关 于 静 电场 的 能量 与 力，应总 结 出 计 算 能 量 的 三 种 方 法，指 出 电 场 能 量 不 符 合迭 加 原 理。介 绍 利 用 虚 位 移 的 概 念计 算 电 场 力，

3、常 电 荷系 统 和 常 电 位 系 统，以 及 广 义 力 和广 义 坐 标等 概 念。至 于 电 容 和部 分 电 容 一 节 可 以 从 简。重 要 公 式真 空 中 静电 场 方程：积分 形 式：SSE0dqllE0d微分 形 式：0E0E名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 35 页 -2 已 知 电 荷分 布 求解 电 场 强 度：1，)()(rrE；VV0d)(41)(|rr|rr2，VV30d|4)()(|rrrrrrE3，SSE0dq高 斯 定 律介 质 中 静电 场 方程：积分 形 式：qSdSDllE0d微分 形 式：D0E线 性 均 匀各 向 同

4、性 介 质 中 静 电场 方 程：积分 形 式：qSdSEllE0d微分 形 式：E0E静 电 场 边界 条 件：1，ttEE21。对 于 两 种 各 向 同 性 的线 性 介 质，则2211ttDD2，snnDD12。在 两 种 介 质 形 成 的 边界 上，则nnDD21对于 两 种 各 向 同 性 的 线 性 介 质，则名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 35 页 -3 nnEE22113，介质 与 导体 的 边 界 条 件：0Een；SnDe若导 体 周 围 是 各 向 同 性 的 线 性 介 质，则SnE；Sn静 电 场 的能 量：孤立 带 电 体 的 能

5、量：QCQWe21212离散 带 电 体 的 能 量：niiieQW121分布 电 荷 的 能 量：lSVWllSSVed21d21d21静 电 场 的能 量 密度：ED21ew对于 各 向 同 性 的 线 性 介 质，则221Ewe电 场 力：库仑 定 律：rrqqeF24常电 荷 系 统：常数qelWFdd常电 位 系 统：常数lWFedd名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 35 页 -4 题解2-1若 真 空 中 相 距 为 d 的两 个 电 荷 q1及 q2的 电 量分 别为 q 及 4q，当点 电 荷q位 于 q1及 q2的 连 线 上 时，系 统处 于 平

6、 衡状 态，试 求q的大 小 及 位 置。解要 使 系 统 处于 平 衡 状 态，点 电 荷q受到 点 电 荷 q1及q2的 力 应 该 大 小 相 等，方 向 相 反，即qqqqFF21。那 么，由1222022101244rrrqqrqq，同 时考 虑 到drr21，求 得drdr32,3121可 见 点 电荷q可 以任 意，但 应 位 于 点 电 荷 q1和 q2的连 线上，且 与点 电 荷1q相 距d31。2-2已 知 真 空 中 有 三 个 点电 荷，其 电 量 及 位 置 分 别为：)0,1,0(,4)1,0,1(,1)1,0,0(,1332211PCqPCqPCq试 求 位 于)

7、0,1,0(P点 的 电 场强 度。解令321,rrr分 别 为 三 个 电 电 荷 的 位 置321,PPP到P点 的距 离，则21r，32r，23r。利 用点 电 荷 的 场 强 公 式reE204rq，其 中re为点 电荷 q 指 向场 点P的单 位 矢 量。那么，习 题 图 2-2z ox 1q2q3qPE3 E2 E1 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 35 页 -5 1q在P 点 的 场 强 大 小 为021011814rqE，方 向 为zyreee211。2q在P 点 的 场 强 大 小为0220221214rqE，方 向 为zyxreeee312。3

8、q在P 点 的 场 强 大 小 为023033414rqE，方 向 为yree3则P点 的 合 成 电 场强 度 为zeeeEEEEyx31212814131212813121103212-3直 接 利 用 式（2-2-1 4）计 算 电 偶 极 子 的 电 场 强 度。解令 点 电 荷q位 于 坐 标 原 点，r为 点 电 荷q至 场 点 P的 距 离。再 令点 电 荷q位于+z坐 标 轴 上，1r为 点 电 荷q至 场 点 P 的 距 离。两 个 点 电 荷 相 距 为l，场 点 P 的 坐标 为（r,）。根据 叠 加 原 理，电 偶 极 子 在 场 点 P 产生 的 电 场 为31130

9、4rrqrrE考 虑 到 r l，1re=er，cos1lrr，那 么 上 式 变 为rrrrrrrrqrrrrqeeE2121102122210)(44名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 35 页 -6 式 中2122212211cos211cos2rlrlrrllrr以rl为 变 量，并 将2122c os21rlrl在 零 点 作 泰 勒 展开。由 于rl，略 去高 阶 项 后，得cos1cos11211rlrrlrr利 用 球 坐标 系 中的 散 度 计 算 公式，求 出 电 场 强 度 为reeE3030204sin2cos1cos14rqlrqlrrlrq

10、2-4已 知 真 空 中 两 个 点 电 荷 的 电 量 均 为6102C，相 距 为2cm，如 习 题 图 2-4所示。试 求：P 点 的 电位；将电 量 为6102C 的 点 电 荷 由无 限 远 处 缓 慢地 移 至 P 点 时，外 力 必 须作 的 功。解根 据 叠 加 原理，P点的 合 成 电 位 为V105.24260rq因 此，将 电 量 为C1026的点 电 荷 由 无限 远 处 缓 慢 地 移 到P点，外 力 必 须 做的 功 为J5qW2-5通 过 电 位 计 算 有 限 长 线 电 荷1cm P 1cmq q 1cm r习题 图 2-4名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师

11、精心整理-第 6 页，共 35 页 -7 的 电 场 强度。解建立 圆 柱 坐 标 系。令 先 电荷 沿z 轴 放 置，由 于 结构 以z轴 对 称，场 强与无 关。为 了 简单 起 见，令 场 点位 于 yz 平 面。设 线 电 荷的 长 度为L，密 度 为l，线 电 荷 的 中 点 位 于 坐 标 原点，场 点P的坐 标为zr,2,。利 用 电 位叠 加 原理，求 得 场 点P的电 位 为2200d4LLlrl式 中220rlzr。故22220222202222ln4ln4rLzLzrLzLzrlzlzlLLl因E，可 知 电 场 强 度 的 z 分 量 为222202222ln4rLzL

12、zrLzLzzzElzy 习 题 图 2-5r0P z zro dll 12dl y 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 35 页 -8 2222021214rLzrLzl2202112114rLzrLzrl22220224LzrrLzrrrl120sinsin4rl电 场 强 度的 r 分 量为222202222ln4rLzLzrLzLzrrElr222202224rLzLzrLzrl2222222rLzLzrLzr2202122114rLzrLzrLzrl名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 35 页 -9 22212211rLzrLzrL

13、z121120tan11tan1tan1114rl22222tan11tan1tan111210cos1cos14rl210coscos4rl式 中2t anar c,2t anarc21LzrLzr，那么，合成 电 强 为rzlreeE12120coscossinsin4当 L时，,021，则 合 成 电 场 强 度 为rlreE02可 见，这些 结 果与 教 材 2-2 节 例 4 完 全相 同。2-6已 知 分 布 在 半 径 为a 的 半 圆 周 上 的 电 荷 线 密 度0,sin0l，试 求 圆 心 处 的 电 场 强 度。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，

14、共 35 页 -10解建 立 直 角 坐标，令 线 电 荷 位 于 xy 平面，且以 y 轴 为对 称，如 习 题 图 2-6 所 示。那 么，点 电 荷lld在圆 心处 产生 的 电 场强 度 具有 两 个 分 量 Ex和 Ey。由 于 电 荷 分布 以 y轴 为 对 称，因 此，仅 需 考 虑 电场 强 度 的yE分 量，即sin4ddd20alEEly考 虑 到sin,dd0lal，代 入上 式 求 得 合 成电 场 强 度为yyaaeeE0002008dsin42-7已 知 真 空 中 半 径 为 a 的 圆 环 上 均匀 地 分 布的 线 电 荷密 度 为l，试 求 通 过 圆 心的

15、 轴 线 上 任 一 点 的 电 位 及 电 场强 度。习题 图 2-6ay x o ldE 习题 图 2-7x y z P r o a dl y 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 35 页 -11 解建 立 直 角 坐标，令 圆 环 位 于 坐 标 原 点，如 习 题 图 2-7所 示。那么，点电 荷lld在 z 轴 上P点 产 生 的 电 位 为rll04d根 据 叠 加原 理，圆 环 线 电 荷 在P点 产 生的 合 成 电位 为2202002002d4d41zaalrlrzlalal因 电 场 强 度E，则圆 环 线 电 荷 在P点产 生 的 电场 强 度

16、 为232202zaazzzlzzeeE2-8设 宽 度 为 W，面 密 度为S的 带状 电 荷 位 于 真 空 中，试 求 空 间任 一 点的 电 场 强 度。解建 立 直 角 坐标，且 令 带 状 电 荷 位 于 xz 平 面内，如 习题 图 2-8 所 示。带 状 电 荷 可划 分 为 很 多 条 宽 度 为xd的 无限 长 线 电荷，其 线密 度 为xsd。那 么，该 无 限 长 线 电 荷习题 图 2-8x y z 2w2wxdo r y x 2w2wdxx(a)(b)P(x,y)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 35 页 -12产 生 的 电场 强 度

17、与 坐 标 变 量 z 无 关，即reErxs02dd式 中22yxxryxxrryrxxyxyxreeeee1得yxxyxxxsyxeeE2202dd那 么yxxyxxxswwyxeeE220222dywxywxywxywxss2arctan2arctan222ln4022220yxee2-9已 知 均 匀 分 布 的 带 电 圆 盘 半 径 为 a，面 电 荷 密 度为S，位 于 z=0 平 面，且盘 心 与 原 点 重合，试 求 圆 盘轴 线 上 任一 点 电场 强 度E。解如 图2-9 所 示，在 圆 盘上 取 一 半 径 为r，宽 度 为rd的圆 环，该 圆 环 具 有的 电 荷 量

18、 为srrqd2d。由于 对 称 性，该 圆 环 电荷 在 z 轴 上 任 一 点 P 产生 的 电场 强 度 仅的r有z分 量。根据 习 题 2-7 结 果，获知 该 圆 环 电 荷在 P 产 生 的习题 图 2-9o x y z r drP(0,0,z)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 35 页 -13电 场 强 度的z分 量 为232202ddzrrzrEsz那 么，整个 圆 盘电 荷 在 P 产 生的 电 场 强 度 为2200232202d2azzzzrzrzrszaszeeE2-1 0 已 知 电 荷 密 度 为S及S的 两 块 无 限 大 面 电 荷

19、 分别 位 于 x=0 及 x=1 平 面，试 求10,1xx及0 x区域 中 的 电场 强 度。解无 限 大 平 面电 荷 产 生 的 场 强 分 布 一 定 是 均 匀 的，其 电场 方 向 垂 直 于 无 限 大平 面，且 分 别 指 向 两 侧。因 此，位于 x=0 平面 内 的 无 限 大面 电 荷S，在 x 0 区 域中 产 生 的 电 场强 度11ExeE。位 于 x=1 平 面 内 的 无 限大 面 电 荷S，在 x 1 区 域 中产 生的 电 场 强度22ExeE。由 电 场 强 度 法 向 边 界 条 件 获 知，01010 xsEE02020 xsEE即01010 xsE

20、E12020 xsEE由 此 求 得0212sEE根 据 叠 加 定 理，各 区 域 中 的 电场 强 度 应 为0,02121xEExxeeEEE10,02121xEEsxxeeEEE1,02121xEExxeeEEE名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 35 页 -142-11若在 球 坐 标系 中，电 荷 分 布 函 数 为brbraar0,100,06试 求braar,0及br区域 中 的 电 通 密度D。解作 一 个 半 径为 r 的 球面 为 高 斯 面，由 对 称 性 可 知reDsD24drqqs式 中 q 为闭 合 面 S 包 围 的 电 荷。那 么

21、在ar0区 域 中，由于 q=0，因 此 D=0。在bra区 域 中，闭 合面 S 包 围 的 电 荷 量 为3363410darvqv因 此，reD2336310rar在br区 域 中，闭 合面 S 包 围 的 电 荷 量 为3363410dabvqv因 此，reD2336310rab2-1 2 若 带 电球 的 内 外 区 域 中 的 电 场 强 度 为araqrarrq,2reE试 求 球 内外 各 点的 电 位。解在ar区 域 中，电 位 为aqraaqraarr222dddrErErE在ar区 域 中，rqrrrEd2-1 3 已知 圆 球坐 标 系 中 空 间电 场 分 布 函 数

22、 为名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 35 页 -15arraarr,253reE试 求 空 间的 电 荷密 度。解利用 高 斯 定 理 的 微 分 形 式0E，得 知 在 球 坐 标系 中rErrrr2200dd1E那 么，在ar区域 中 电 荷 密 度 为205205dd1rrrrr在ar区域 中 电 荷 密 度 为0dd1520arrr2-1 4 已 知真 空 中 的 电 荷分 布 函 数 为ararrr,00,)(2式 中 r 为 球 坐 标 系中 的 半径，试 求 空 间 各 点 的 电 场 强 度。解由 于 电 荷 分布 具 有 球 对 称 性，取 球

23、 面 为高 斯 面，那 么根 据 高 斯定 理0204dqrEqssE在ar0区域 中502254d4drrrrvrqrvrrrrreeE03052515441在ar区域 中502254d4darrrvrqavrrraareeE025052515441名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 35 页 -162-1 5 已 知空 间 电 场 强 度zyxeeeE543，试 求（0,0,0）与（1,1,2）两 点 间 的 电 位 差。解设 P1点 的坐 标 为（0,0,0,）,P2点 的 坐 标为（1,1,2,），那 么，两点 间 的电 位 差 为21dPPVlE式 中zy

24、xdddd,543zyxzyxeeeleeeE，因 此 电 位差 为V3d5d4d32,1,10,0,0zyxV2-1 6 已 知同 轴 圆 柱 电 容器 的 内 导 体 半径 为 a，外 导 体 的内 半 径 为 b。若 填 充 介 质 的 相 对 介 电常 数2r。试求 在外 导 体 尺 寸 不 变 的 情况 下，为 了 获 得 最 高 耐 压，内 外 导体 半 径 之比。解已 知 若 同 轴线 单 位 长 度 内 的 电 荷 量 为 q1，则同 轴 线 内电 场 强 度reErq21。为 了 使 同 轴 线 获得 最 高 耐压，应 在保 持 内 外导 体 之间 的 电 位 差 V 不 变

25、 的情 况 下，使 同 轴 线内 最 大 的 电 场 强 度 达 到 最 小 值，即 应 使 内 导 体 表 面ar处 的 电 场 强 度 达 到 最小 值。因 为 同 轴 线 单 位 长 度 内 的 电容 为VabqabVqCln2ln2111则 同 轴 线内 导 体表 面ar处 电 场 强度 为ababbVabaVaElnln)(令 b 不变，以 比 值ab为 变 量，对 上 式求 极 值，获 知 当 比名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 35 页 -17值eab时，aE取 得 最 小 值，即 同 轴 线 获 得 最 高 耐 压。2-1 7若在 一 个电 荷 密

26、 度 为，半 径 为 a 的 均匀 带 电 球中，存 在一 个 半径 为 b 的 球 形 空 腔，空 腔 中 心与 带 电 球中 心 的 间距 为 d，试 求 空 腔 中 的电 场 强 度。解此 题 可 利 用高 斯 定 理 和 叠 加 原 理 求 解。首 先设 半 径 为a的 整 个 球 内 充 满 电 荷 密 度 为的 电 荷，则 球 内P点的 电场 强 度 为reErP0320133441rr式 中r是 由球 心 o 点 指 向P点的 位 置 矢 量，再 设 半 径 为b的 球腔 内 充 满 电 荷 密 度 为的 电 荷，则 其 在 球内P点 的电 场 强 度 为reErP0320233

27、441rr式 中r是 由 腔 心o点 指 向P点 的 位 置矢 量。那 么，合 成 电 场 强 度PPEE21即 是 原 先 空 腔 内 任 一点 的 电 场强 度，即drrEEEPPP002133式 中d是 由 球 心 o 点 指 向 腔 心o点 的 位 置矢 量。可 见，空习题 图 2-17o b a P r d ro名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 17 页，共 35 页 -18腔 内 的 电场 是 均匀 的。2-1 8 已 知 介 质 圆 柱 体 的 半 径 为a，长度 为 l，当 沿 轴线 方 向 发 生均 匀 极 化 时，极 化 强 度 为P，试求 介 质 中束 缚

28、 电 荷 在 圆 柱 内 外 轴线 上 产 生的 电 场强 度。解建 立 圆 柱 坐标，且令 圆 柱 的 下端 面 位 于 xy 平 面。由于 是 均 匀 极化，故 只考 虑 面 束 缚 电 荷。而 且该 束 缚 电 荷 仅 存 在 圆柱 上 下 端 面。已 知 面 束 缚 电 荷 密 度与 极 化 强度 的 关系 为nseP式 中 en为 表面 的 外 法线 方 向上 单 位 矢 量。由 此求 得 圆 柱体 上 端 面 的 束 缚 电 荷 面 密 度 为Ps1，圆 柱 体 下 端 面 的束 缚 面 电荷 密 度为Ps2。由 习 题 2-9 获 知，位 于 xy 平 面，面电 荷 为s的圆 盘

29、在 其 轴 线上 的 电场 强 度 为zsazzzzeE2202因 此，圆柱 下 端面 束 缚 电 荷 在 z 轴 上 产生 的 电 场 强 度 为zazzzzPeE22022而 圆 柱 上端 面 束缚 电 荷 在 z 轴 上 产 生 的电 场 强 度 为zalzlzlzlzPeE2201)(2那 么，上下 端 面束 缚 电 荷 在 z 轴 上 任一 点 产 生的 合 成 电场 强 度 为x y z aP习 题 图 2-18P l y 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 18 页，共 35 页 -19222202azzzzalzlzlzlzPzeE2-1 9 已 知内 半 径 为

30、 a，外 半 径 为 b 的均 匀 介 质球 壳 的 介电 常 数 为，若 在 球 心放 置 一 个 电 量 为 q 的 点 电 荷，试 求：介 质 壳 内 外 表 面 上的 束 缚 电 荷；各 区 域 中 的 电 场 强度。解先 求 各 区 域中 的 电 场 强 度。根 据 介 质 中 高 斯 定 理reDsD2244drqqDrqs在ar0区域 中，电 场强 度 为reDE2004rq在bra区域 中，电 场强 度 为reDE24rq在br区域 中，电 场 强 度 为reDE2004rq再 求 介 质 壳 内 外 表 面 上 的 束 缚电 荷。由 于EP0，则 介 质 壳 内表 面 上 束

31、 缚 电 荷 面 密度 为2020414aqaqsPePnr外 表 面 上束 缚 电荷 面 密 度 为2020414bqbqsPePnr2-2 0 将 一块 无 限 大 的 厚度 为 d 的介 质 板 放 在 均 匀 电 场E中，周 围 媒 质 为 真 空。已 知 介 质 板 的 介 电 常 数 为，均 匀名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 19 页，共 35 页 -20电 场E的 方 向 与 介 质 板 法 线 的 夹 角 为1，如习 题 图 2-2 0所 示。当 介 质板 中 的 电 场 线方 向42时，试 求 角 度1及介 质 表 面的 束 缚电 荷 面 密 度。解根 据

32、两 种 介质 的 边 界 条 件 获 知，边界 上 电 场强 度 切 向分 量 和 电通 密 度的 法 向 分 量 连续。因 此 可 得221sinsinEE；221coscosDD已 知220,EDED，那 么 由 上式 求 得010201021arctantantantantan已 知 介 质 表 面 的 束 缚 电 荷)(0EDePenns，那 么，介质 左 表面 上 束 缚 电 荷面 密 度 为10021020211cos111EnsDeDePenn1介 质 右 表面 上 束缚 电 荷 面 密 度为100220202222cos111EnsDeDePenn2-2 1 已 知 两个 导

33、体 球 的 半 径 分 别为 6cm 及 12cm，电量 均 为6103C，相距 很 远。若 以 导 线 相 连 后，试 求：电 荷 移 动的 方 向及 电 量；两球 最 终 的 电 位 及 电 量。E d 112200E 习题 图 2-20E2en2en1名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 20 页，共 35 页 -21解设 两 球 相 距为 d，考 虑 到 d a,d b，两个 带 电 球的 电 位 为dqaq210141；dqbq120241两 球 以 导 线 相 连 后，两 球 电 位 相 等，电 荷 重新 分 布，但 总 电 荷量 应 该守 恒，即21及C106621q

34、qq，求 得 两 球最 终 的电 量 分 别 为C10231261qqabbdadbdaqC10432262qqabbdadadbq可 见，电 荷 由 半 径 小的 导 体 球 转 移 到 半 径 大 的 导 体 球，移 动 的 电荷 量 为C1016。两 球 最 终 电 位 分 别 为V103415101aqV103415202bq2-2 2 已 知两 个 导 体 球 的重 量 分 别 为 m1=5g，m2=10g，电量 均 为6105C，以 无重 量 的 绝 缘 线 相 连。若 绝 缘 线 的 长度 l=1m，且 远 大 于 两 球 的 半 径，试求；绝缘 线 切 断的 瞬 时，每 球 的

35、 加 速度；绝 缘 线 切 断 很 久 以 后，两 球的 速 度。解绝缘 线 切断 的 瞬 时，每球 受 到 的 力 为N225.0410510540662021rqqF因 此，两球 获 得的 加 速 度 分 别为211sm45005.0225.0mFa名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 21 页，共 35 页 -22222sm5.2201.0225.0mFa当 两球 相 距 为 l 时，两球 的 电 位 分 别 为lqrq2110141；lqrq1220241此 时，系统 的 电场 能 量 为22112121qqW绝缘 线 切 断 很 久以 后，两 球 相距 很 远(l a,l

36、 b)，那么，两 球 的 电位 分 别 为10114rq;20224rq由 此 可 见，绝 缘 线 切断 很 久 的 前 后，系 统 电 场 能 量 的 变化 为)J(225.0442142102201102lqqlqqlqW这 部 分 电 场 能 量 的 变化 转 变 为 两 球 的 动 能，根 据 能 量 守恒 原 理 及动 量 守恒 定 理 可 得 下列 方 程：2222112121vmvmW，02211vmvm由 此 即 可求 出 绝缘 线 切 断 很 久以 后 两 球 的 速度 v1和 v2：sm74.71v；sm87.32v2-2 3如 习 题图 2-23 所 示，半 径 为 a

37、的 导 体球 中 有 两个 较 小 的 球 形 空 腔。若 在 空 腔 中 心 分 别 放 置 两 个 点 电 荷q1及 q2，在 距 离ar处放 置另 一 个 点 电 荷 q3，试 求 三个 点 电 荷受 到 的电 场 力。q1q2rq3a习题 图 2-23名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 22 页，共 35 页 -23解根据 原 书 2-7 节 所 述，封 闭 导 体空 腔 具 有静 电 屏 蔽特 性。因此，q1与 q2之 间 没 有 作 用 力，q3对于 q1及 q2也 没 有 作用 力。但 是 q1及 q2在 导 体 外表 面 产 生的 感 应 电荷-q1及-q2，对

38、于 q3有 作 用 力。考 虑 到 r a，根 据库 仑定 律 获 知该 作 用力 为203214rqqqf2-2 4 证 明 位 于 无 源 区 中 任 一 球 面 上 电 位 的 平 均 值 等 于其 球 心 的电 位，而 与 球 外 的 电荷 分 布 特 性 无 关。解已 知 电 位 与 电 场 强 度 的 关 系 为E，又 知E，由 此 获 知 电 位 满 足 下 列 泊 松 方 程02利 用 格 林函 数 求得 泊 松 方 程 的解 为SVGGvGsrr,rrrr,rrr,rdd0000式 中rrrr,410G。考 虑 到3041rrrrrr,G，代 入上 式 得SVvsrrrrrr

39、rrrrrrd41d4130若 闭 合 面S内为 无源 区，即0，那 么Ssrrrrrrrrrd413若 闭 合 面 S 为 一 个 球 面，其 半 径为a，球 心 为场 点，则名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 23 页，共 35 页 -24arr，那 么 上 式 变 为srrrrrd413Saa考 虑 到 差矢 量rr的方 向 为 该 球 面的 半 径 方 向，即 与sd的方 向 恰 好 相 反，又E,则 上式 变 为saaSSd41d412rsEr由 于 在S面 内 无 电荷，则0dSsE，那 么saSd412rr由 此 式 可 见，位 于 无源 区 中 任 一 球 面 上

40、 的 电 位 的 平 均 值等 于 其 球心 的 电位，而 与 球 外的 电 荷 分 布 无 关。2-2 5 已 知可 变 电 容 器 的最 大 电 容 量pF100maxC，最 小 电容 量pF10minC，外 加 直 流 电 压 为300V，试 求使 电 容 器由 最 小 变为 最 大的 过 程 中 外 力必 须 作 的 功。解在 可 变 电 容器 的 电 容 量 由 最 小 变 为 最 大 的 过 程 中，电源 作 的 功和 外 力作 的 功 均 转 变为 电 场 储 能 的 增 量，即eWWW外电源式 中)J(101.8)(6minmaxVCVCVqVW电源J1005.4)(2162m

41、inmaxVCCWe因 此，外力 必 须作 的 功 为J1005.46外W2-2 6若使 两 个电 容 器 均 为 C 的 真 空 电 容 器 充 以 电 压 V后，断 开 电源 相 互 并 联，再 将 其 中之 一 填 满 介 电 常 数 为r的 理 想 介 质，试 求：两 个 电 容 器 的 最 终 电 位；转 移的 电 量。解两 电 容 器 断开 电 源 相 互 并 联，再 将其 中 之 一填 满 相 对名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 24 页，共 35 页 -25介 电 常 数为r理 想介 质 后，两 电 容 器 的电 容 量 分别 为CCCCr21,两 电 容 器的

42、 电 量 分 别 为21,qq，且CVqq221由于 两 个 电 容 器 的 电 压 相 等，因 此rqqCqCq212211联 立 上 述两 式，求 得rCVq121，rrCVq122因 此，两电 容 器 的 最 终 电 位 为rVCqCqV122211考 虑 到12qq，转 移 的电 量 为CVCVqqrr1122-2 7 同 轴圆 柱 电 容 器 的内 导 体半 径 为 a，外 导 体半 径为 b，其内 一 半 填充 介 电常 数 为1的 介质，另 一半 填 充介 质 的 介 电 常数 为2，如 习 题图 2-27 所 示。当 外 加 电压 为 V 时，试 求：电 容 器 中 的 电 场

43、 强 度；各 边 界上 的 电荷 密 度；电容 及 储 能。解设内 导 体的 外 表 面 上 单位 长 度 的 电 量为q，外导 体的 内 表 面上 单 位长 度 的 电 量 为q。取 内 外 导 体 之 间一 个同 轴 的 单位 长 度圆 柱 面 作 为 高斯 面，由 高 斯 定 理2 a 1 b 习 题 图 2-27名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 25 页，共 35 页 -26qssDdbra求 得qDDr21已 知222111,EDED，在 两 种 介 质 的分 界 面 上 电 场强 度 的 切向 分 量必 须 连 续，即21EE，求 得2121rqEEE内 外 导 体

44、 之 间 的 电 位 差 为abqVbalnd21rE即 单 位 长度 内 的电 荷 量 为abVqln121故 同 轴 电容 器 中的 电 场 强 度 为reEabrVln由 于 电 场 强 度 在 两 种 介 质 的 分 界 面 上 无 法 向 分量，故 此边 界 上的 电 荷 密 度 为零。内 导 体 的 外 表 面 上 的 电 荷 面 密度 为abaVsln111Eer；abaVsln222Eer外 导 体 的 内 表 面 上 的 电 荷 面 密度 为abbVsln111Eer；abbVsln222Eer单 位 长 度 的 电 容 为abVqCln21电 容 器 中 的 储 能 密 度

45、 为212222121ln21d21d2121abVvEvEwVVe名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 26 页，共 35 页 -272-28 一 平 板电 容 器 的 结 构 如 习 题 图 2-2 8 所示，间 距为 d，极 板 面 积 为ll。试 求：接 上 电 压 V 时，移去 介 质 前 后 电 容 器 中 的 电 场 强 度、电 通 密 度、各 边界 上 的 电 荷 密度、电 容 及 储 能；断 开 电 源 后，再 计 算 介 质 移 去 前后 以 上 各 个 参 数。解接 上 电 源，介 质 存 在 时，介 质 边界 上 电 场强 度 切 向分 量 必 须连 续，因

46、 此，介 质 内 外的 电 场强 度E是 相 等 的，即 电 场 强度 为dVE。但 是 介 质 内 外 的电 通 密 度 不 等，介质 内dVED，介 质 外dVED000。两 部 分 极 板 表 面 自 由 电 荷 面 密度 分 别 为dVs，dVs00电容 器 的 电 量dVllqss222002电容 量 为dlVqC220电 容 器 储 能 为dVlqVW4)(21220若 接 上 电 压 时，移 去 介 质，那 么 电 容 器 中的 电 场 强度 为dVE电 通 密 度 为极 板 表 面 自 由 电 荷 面 密 度 为dVEs00d l/2K V l/2习 题 图 2-28名师资料总

47、结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 27 页，共 35 页 -28电 容 器 的 电 量 为dVllqs202电 容 量 为dlVqC20电 容 器 的 储 能 为dVlqVW221220 断 开 电 源 后，移 去 介 质前，各 个 参 数 不变。但 是若 移 去 介质，由 于 极 板上 的 电 量q不 变，电 场 强 度 为00202dVlqE电 通 密 度为dVED200极 板 表 面自 由 电荷 面 密 度 为dVs20两 极 板 之间 的 电位 差 为002VEdV电 容 量 为dlVqC02电 容 器 的储 能 为02022821dVlqVW2-2 9 若平 板 电容 器 的

48、结 构 如习 题 图 2-29 所 示，尺 寸 同上 题，计算 上 题中 各 种 情 况 下的 参 数。d/2d/2l 习 题 图 2-29名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 28 页，共 35 页 -29解 接 上 电 压，介 质 存 在 时，介 质 内 外 的 电 通 密 度 均为2lqD，因 此，介 质 内 外 的 电 场 强度 分 别 为2lqE；020lqE两 极 板 之间 的 电位 差 为020022lqdEEdV。则dVEdVEdVlq00000022,22则 电 位 移矢 量 为dVED002；dVED000002极 板 表 面自 由 电荷 面 密 度 为dVs0

49、02；dVs0002介 电 常 数 为的 介 质 在 靠 近 极 板 一 侧 表 面 上 束 缚 电 荷 面密 度 为dVEss00002介 电 常 数 为与 介 电 常 数 为0的 两 种 介 质 边 界 上 的 束 缚电 荷 面 密度 为dVEEs000002此 电 容 器的 电 量dVlllqss0020222则 电 容 量为dlVqC0022电 容 器 的储 能 为dlVqVW00222221接 上 电 压 时，移 去 介 质 后：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 29 页，共 35 页 -30电 场 强 度为dVE电 位 移 矢量 为dVED00极 板 表 面自 由

50、电荷 面 密 度 为dVs0电 容 器 的电 量dVllqs202电 容 量 为dlVqC20电 容 器 的储 能 为dVlqVW221220(2)断 开 电 源 后，介 质 存 在 时，各 个 参 数 与 接 上 电 源 时完 全 相 同。但 是，移去 介 质 后，由 于 极 板 上 的 电 量q不 变，电 容 器 中电 场 强度 为dVlqE0202，电 通 密度 为dVED0002极 板 表 面自 由 电荷 面 密 度 为dVs002两 极 板 之间 的 电位 差 为02VEdV电 容 量 为dlVqC20电 容 器 的储 能 为dlVqVW2002222212-3 0已知 两 个电 容