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1、1 第四 章静 电 场重 点 和 难 点主要 介 绍 电 流 的 种 类，理 想导 体 和 理 想 介 质， 电 动 势 ，电 流 连 续性 原 理以 及 能 量 损 耗等 。关于 恒 定 电 流 场 与 静 电 场 的 比 拟 可 以略 去 。重 要 公 式在 无 外 源的 导 电媒 质 中 ， 恒 定电 流 场 方 程 ：积分 形 式 ：l0dlJS0dSJ微分 形 式 ：0J0J在 均 匀 导电 媒 质中 ， 恒 定 电 流场 方 程 ：积分 形 式 ：l0dlJS0dSJ微分 形 式 ：0J0J恒 定 电 流场 边 界条 件 ：2211ttJJnnJJ21恒 定 电 场边 界 条件 ：
2、ttEE21nnEE2211恒 定 电 流场 的 能量 损 耗 ：JElp题解4-1已 知 一 根 长 直 导 线 的 长 度 为 1k m， 半 径 为 0.5 mm，当 两 端 外加 电 压 6V 时 ， 线 中 产生 的 电 流 为61A， 试 求 ：导 线 的 电 导率 ；导 线 中的 电 场 强 度 ；导 线 中 的损 耗 功 率。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - 2 解（ 1） 由IRV，求 得366
3、/16R由SR， 求得 导 线 的 电 导率 为mS1054.3105.036107233RS（2）导 线 中 的 电 场 强 度 为mV10610633VE（3）单 位 体 积 中 的 损耗 功 率2EPl，那 么 ，导 线的 损 耗 功 率 为W122LrEP4-2设 同 轴 线 内 导 体 半 径 为 a， 外 导 体 的 内 半 径为 b，填 充 媒 质 的 电 导 率 为。 根 据 恒 定 电 流 场 方 程 ， 计 算 单位 长 度 内同 轴 线的 漏 电 导 。解设0;,时，时brVar。建 立圆 柱 坐 标 系 ，则 电位 应 满 足的 拉 普拉 斯 方 程 为0dddd12r
4、rrr求 得 同 轴 线 中 的 电 位及 电 场 强度E分 别为babrVlnlnreEbaVrln1则reEJbaVrln1单 位 长 度 内 通 过 内 半 径 的圆 柱 面 流 进 同 轴线 的 电 流为baVIsln2d sJ名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - 3 那 么 ， 单位 长 度内 同 轴 线 的 漏电 导 为baVIRGln21mS4-3设 双 导 线 的 半 径 a， 轴 线 间 距 为 D
5、， 导 线之 间 的 媒质 电 导 率 为， 根 据 电 流 场 方 程 ， 计 算 单 位 长 度 内 双 导线 之 间 的漏 电 导。解设 双 导 线 的 两 根 导 线 上 线 电 荷 密 度 分 别 为 +和，利 用 叠 加 原 理 和 高 斯定 理 可 求 得 两 导 线 之 间 垂 直 连 线 上任 一 点 的电 场 强度 大 小 为rDrE112那 么 ， 两导 线 之间 的 电 位 差 为aaDVadalnd rE单 位 长 度 内 两 导 线 之 间 的 电 流大 小 为aDDIsssEsJdd则 单 位 长度 内 两导 线 之 间 的 漏电 导 为aaDaDDVIRGln1
6、mS若aD则 单 位 长 度 内 双 导 线 之 间 的 漏 电 导为aDGlnmS4-4已 知 圆 柱 电 容 器 的 长 度 为 L，内 外 电 极 半径 分 别 为a 及 b，填 充 的介 质 分 为 两 层， 界 面 半径 为 c。在cra区 域 中 ， 填 充 媒 质 的 参 数 为11； 在brc区 域 中 ， 媒质 参数 为22。 若 接 上 电 动 势 为e的电 源 ， 试 求 ： 各区 域 中 的电 流 密度 ；内 外 导 体 表 面上 以 及 介质 表 面 上名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名
7、师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - 4 的 驻 立 电荷 密 度。解(1) 建 立 圆 柱 坐 标 系 ，则 电 位 应 满足 的 拉 普拉 斯 方 程为0dddd12rrrr忽 略 边 缘效 应 ，设 媒 质 和 媒质 内 的 电 位 分 别 为1和2，那 么2111ln0ddddCrCrrr4322ln0ddddCrCrrr根 据 边 界条 件 ，得 知211lnCaCea；432ln0CbCb4321lnlnCcCCcCcrcrrrdddd2211联 立 上 式， 求 得cbaceClnln211；ecbacaeClnln
8、ln212accbeClnln123；eaccbbeClnlnln124代 入 上 式， 得ecbacaeecbacrlnlnlnlnlnln21211eaccbbeaccbrlnlnlnlnlnln12122名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - 5 reEJJrLcbacelnln12211121(2 ) r = a 表 面 上 面 电 荷 密 度 为aLcbaceEnsalnln122111r = b 表 面 上
9、 面 电 荷 密 度 为bLcbaceEnsblnln121222r = c 表 面 上 面 电 荷密 度 为cLcbaceEnsclnln121221121214-5已 知 环 形 导 体 块 尺 寸 如 习 题 图 4-5 所 示 。试 求ar与br两个 表 面之 间 的 电 阻 。解建 立 圆 柱 坐标 系 ， 则 电 位 应 满 足 的 拉 普 拉斯 方 程 为0dddd12rrrr该 方 程 的解 为21lnCrCr令,0,0bVaY X d a b r (r,) 0 习 题 图 4-5名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -
10、- - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - 6 求 得 常 数abVCln01。那 么 ， 电 场 强度 为rerEabrVrlndd0电 流 密 度为reEJabrVln0电 流 强 度为abVdzaabaVIdln2ddlnd02000SJ由 此 求 得两 个 表面 之 间 的 电 阻为dabIVRln204-6若 两 个 同 心 的 球 形 金 属 壳 的 半径 为1r及)(212rrr， 球壳 之 间 填充 媒 质的 电 导 率rk10， 试求 两 球 壳 之 间的 电 阻 。解对 于 恒 定 电流 场 ，因0
11、J，可 令J。将 其代 入0J， 得0建 立 球 坐标 系 ，上 式 展 开 为0dd1dd1022rrkrrr该 方 程 的解 为21lnCkrrC那 么 ， 求得 电 流密 度 为reJ2101rkCkrrkC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - 7 两 球 壳 之间 的 电流 为kCIs104d sJ两 球 壳 之间 的 恒定 电 场 为reJEkrrkC1两 球 壳 之间 的 电位 差 为krrkrrCrkr
12、rkCUrr211211lndd21lE求 得 两 球壳 之 间的 电 阻 为krrkrrkIUR21120ln414-7已 知 截 断 的 球 形 圆 锥 尺 寸 范 围 为21rrr，00，电 导 率 为，试 求1rr及2rr两个 球 形 端 面 之 间 的 电阻 。解由 于 两 个 球形 端 面 之 间 的 导 电 媒 质 是 均 匀 的 ，因 此 由上 例 获 知02那 么2120ddddCrCrrr；求 得电流 密 度reJ21rC； 电 场 强度reE21rC那 么 ， 电流1021200211cos12dsind0CdrrCIssJ电 位 差2112111dd21rrCrrCUr
13、rlE因 此 电 阻21011cos121rrIUR名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - 8 4-8若 上 题 中 电 导 率rr10， 再 求 两 球 面之 间 的 电 阻 。解由 于 媒 质 是非 均 匀 的 ， 那 么 由0dddd0102rrrrr，求 得21lnCrC电 流 密 度rreeJ2101rrCrC电 场 强 度reJErC1电 流11002120021110cos12ddsind0rCrrrCI
14、ssJ电 位 差121lndrrCUlE因 此 电 阻12100lncos121rrrIUR4-9若 两 个 半 径 为1a及2a的 理 想 导 体 球 埋 入 无 限 大 的导 电 媒 质中 ，媒 质 的 电 参 数 为及，两 个 球 心 间 距 为d，且1ad，2ad， 试 求 两 导 体 球 之间 的 电 阻 。解设 两 球 携 带的 电 荷 分 别 为 Q 和 -Q， 考 虑 到两 球 相 距很 远 ，21,adad， 两 球 表 面 电 荷 分 布 可 视 为 均 匀 。因 此 ， 两球 的 电位 分 别 为11141adQaQ，22241adQaQ则 两 球 之间 的 电位 差 为
15、21212111114adadaaQU那 么 ， 两球 之 间 的 电 容名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - 9 daaUQC211421根 据 静 电比 拟 ，两 球 之 间 的 电阻 应 为daaCR21141214-1 0知半 径 为 25mm 的 半 球 形 导 体球 埋 入 地中 ， 如 习题 图 4-1 0 所 示 。 若 土 壤的 电 导 率)S/m(106， 试 求 导 体球 的 接 地电 阻 （即
16、 导 体 球 与 无限 远 处 之 间 的 电 阻 ） 。解已 知 半 径 为a 的 孤 立 导 体 球 与 无 限 远处 之 间 的 电 容为aC4， 那 么 根 据 静 电 比 拟 ， 埋地 导 体 球 的 电 阻 R为aCRRC41对 于 埋 地 的 导 体 半 球 ， 表面 面 积 减 了 一 半， 故 电 阻加 倍 ， 即61036.621aR4-11恒 定 电 流 通 过 无 限 大 的 非 均 匀 电 媒 质 时 ， 试 证 任意 一 点 的电 荷 密度 可 以 表 示 为E解已知 恒 定 电 流 场是 无 散 的 ， 即0J， 那 么0EEE又 由 于 介 质 中 电 通 密度
17、 在 某 点 的 散 度 等 于 该 点 自 由 电 荷的 体 密 度， 即EEED =10-6S/m 0 2a习 题 图 4-10名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - 10由 上 两 式求 得E4-1 2 若 一 张 矩 形 导 电 纸的 电 导 率 为， 面积 为ba， 四周 电 位 如习 题 图 4-12 所 示 。试 求 ： 导 电 纸 中 电 位 分 布 ； 导 电 纸中 电 流密 度 。解(1) 建 立
18、直 角 坐 标 ， 根 据 给 定 的 边 界 条件 ， 得0,00byyyyax00,0,0Vyayby0导 电 纸 区域 中 电位 的 通 解 为ykDykCxkBxkADyCBxAyxnnnnnnnnncossinchsh,10000由 边 界 条件00yy及0byy得0chsh1000nnnnnnnkCxkBxkACBxA0sincoschsh1000bkDbkCxkBxkAkCBxAnnnnnnnnnn由 此 求 得常 数 ：0nC， 其 中,2,1 ,0nbnkn，其 中,2, 1n代 入 上 式， 得n ?0n0nba= 0= V0X Y 习题 图 4-12名师资料总结 - -
19、-精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - 11 100coschsh,nnnybnxbnBxbnABxAyx由 边 界 条件0,0,0Vyay， 得1000coschshnnnVybnabnBabnABaA0cos10nnybnBB由 此 求 得常 数 ：,3,2,1 ,0,0nBn其中,00aVA,3,2,1,0nAn其中那 么 ， 导电 纸 中的 电 位 分 布 为xaVyx0,(2 ) 由xeEaV0，求 得 导 电 纸 中 电 流
20、密 度 为xeE,JaVyx04-1 3 已 知电 导 率 为的 无限 大的 导 电 媒质 中 均匀 电 流 密 度0JxeJ。 若 沿 Z 轴 方 向挖 出 半径 为 a 的无 限 长圆 柱 孔 ， 如 习题 图 4-13 所 示 。 试 求 导 电 媒 质中 的 电 位分 布 。（ 提 示 ：当r时 ， 电 位cos0rJ）解由 于 所 讨 论的 空 间 是 无 源 的 ， 故 电位 应 满 足拉 普 拉 斯方 程02。 取 圆 柱 坐 标 系 ， 则 其 通 解 可 表 示 为Y X a JZ 习题 图 4-13名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -
21、 - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - 12100cossincossinln,nnnnnnnnBnArnBnArDrCzr(1 ) 在r区 域 中， 圆 柱 孔 的 影响 可 以忽 略， 则00EJ，又xxeE0， 得cos000rJxJxJ可见 ，当r时 ，电 位 函数 为cos的函 数 ，因 此zr,表达 式 中 系 数nnAADC,00均 应 为 零， 且1n。 那 么cos1cos1cos,1111BrrBBrrBzr当r时 ， 即coscos01rJrB， 得01JB(2 ) 由
22、 于 圆 柱 孔 内 不 可 能 有 电 流 ， 所 以 其 表 面 不 可 能 存在 法 向 电场 ， 因而 表 面 不 可 能 存 在 电荷 。 因 此 ， 当ar时 ，0r。由 此 获 知 ，0cos1121BaBrar可 见 ，1211BaB，即20121aJBaB。综 上可 知01JB及201aJB， 其 余 常 数均 为 零 。那 么 ， 导电 媒 质中 的 电 位 分 布函 数 为cos,20rarJzr名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -