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1、第六章时变电磁场6.1有 一 导 体 滑 片 在 两 根 平 行 的 轨 道 上 滑 动，整 个 装 置 位 于 正 弦 时 变 磁 场5cosmTzetB之中，如题6.1 图所示。滑片的位置由0.35(1cos)mxt确定，轨道终端接有电阻0.2R，试求电流i.R0.2m 0.7m a d b c ixy题 6.1 图解穿过导体回路abcda 的磁通为5cos0.2(0.7)cos0.70.35(1cos)0.35cos(1cos)zzdBadabtxttttBSee故感应电流为110.35sin(12cos)1.75sin(12cos)mAindiRR dtttttRE6.2一根半径为a
2、的长圆柱形介质棒放入均匀磁场0zBBe中与 z 轴平行。设棒以角速度绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。解介质棒内距轴线距离为r 处的感应电场为00zrrrBEvBee Be故介质棒内的极化强度为00000(1)()errrrBrBPEeeX极化电荷体密度为2000011()()2()PrPrBrrrrBP极化电荷面密度为0000()()Prrraera BP nBe则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为220020012()212()PPPSPQaaBQaaB6.3 平行双线传输线与一矩形回路共面，如题 6.3 图所示。设0.2am、0.1mbcd、
3、71.0cos(210)Ait，求回路中的感应电动势。iibdca题 6.3 图名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 15 页 -解由题给定的电流方向可知，双线中的电流产生的磁感应强度的方向，在回路中都是垂直于纸面向内的。故回路中的感应电动势为ddddddindSBSBStt左右BE式中00,22()iiBBrbcdr左右故0000ddln()22ddln()2()2b cbscddsiaibcBSa rrbiaibcBSa rbcdrb左右则072207777d2ln()d2dln()1.0cos(210)d4100.2ln 2sin(210)2103.484sin(
4、210)inaibctbabctabbttVt VE6.4有一个环形线圈，导线的长度为l，分别通过以直流电源供应电压U0和时变电源供应电压 U（t）。讨论这两种情况下导线内的电场强度E。解设导线材料的电导率为，横截面积为S，则导线的电阻为lRS而环形线圈的电感为L，故电压方程为ddiURiLt当 U=U0时，电流 i 也为直流，d0dit。故0llURiJSJlES此时导线内的切向电场为0UEl当 U=U（t）时，d()0di tt，故d()d()()()()ddd()()di tU tRi tLR E t SLE t SttlE tE t SL SSt即名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精
5、心整理-第 2 页，共 15 页 -d()()()dE tlE tU ttL SL S求解此微分方程就可得到()tE。6.5一圆柱形电容器，内导体半径为a，外导体内半径为b，长为l。设外加电压为0sinUt，试计算电容器极板间的总位移电流，证明它等于电容器的传导电流。解当外加电压的频率不是很高时，圆柱形电容器两极板间的电场分布与外加直流电压时的电场分布可视为相同（准静态电场），即0sinln()rUtrb aEe故电容器两极板间的位移电流密度为0cosln()drUttrb aDJe则2000cosdd dln()lddrrsUtirzrb aJSe e002coscosln()lUtC Ut
6、b a式中，2ln()lCb a是长为 l 的圆柱形电容器的电容。流过电容器的传导电流为0dcosdcUiCC Utt可见dcii6.6 由麦克斯韦方程组出发，导出点电荷的电场强度公式和泊松方程。解点电荷 q 产生的电场满足麦克斯韦方程0E和D由D得ddD据散度定理，上式即为dsqDS利用球对称性，得24rqrDe故得点电荷的电场表示式24rqrEe由于0E，可取E，则得2DE即得泊松方程名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 15 页 -26.7 试将麦克斯方程的微分形式写成八个标量方程：（1）在直角坐标中；（2）在圆柱坐标中；（3）在球坐标中。解（1）在直角坐标中yx
7、zxyxzyyxzzHDHJyztDHHJzxtHHDJxytyxzyxzyxzEHEyztHEEzxtEEHxyt0yxzyxzBBBxyzDDDxyz（2）在圆柱坐标中111()zrrrzrzzHHDJrztDHHJzrtHDrHJrrrt111()zrrzrzEEHrztHEEzrtEHrErrrt11()011()zrzrBBrBrrrzDDrDrrrz（3）在球坐标系中名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 15 页 -1(sin)sin11()sin1()rrrrHDHJrtDHrHJrrtDHrHJrrt1(sin)sin11()sin1()rrrEHErt
8、HErErrtHErErrt2222111()(sin)0sinsin111()(sin)sinsinrrBr BBrrrrDr DDrrrr6.8已知在空气中90.1sin10cos(610)yxtzEe，求H和。提示：将 E 代入直角坐标中的波方程，可求得。解电场 E 应满足波动方程220020tEE将已知的yyEEe代入方程，得222002220yyyEEExzt式中229222922929000020.1(10)sin10cos(610)0.1sin10cos(610)0.1sin10(610)cos(610)yyyExtzxExtzzExtzt故得229200(10)(610)0则3
9、0054.41rad/m由0tHE得名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 15 页 -009091110.1sin10sin(610)0.1 10cos10cos(610)yyxzxzEEtzxxtzxtzHEeeee将上式对时间t 积分，得9909494910.1sin10cos(610610cos10sin(610)2.3 10sin10cos(61054.41)1.33 10cos10sin(61054.41)A/mxzxzxtzxtzxtzxtzeeee6.9已知自由空间中球面波的电场为0sincos()Etkrre求 H 和 k。解可以和前题一样将E 代入波动
10、方程来确定k，也可以直接由麦克斯韦方程求与E相伴的磁场H。而此磁场又要产生与之相伴的电场，同样据麦克斯韦方程求得。将两个电场比较，即可确定k 的值。两种方法本质上是一样的。由0tHE得00000011()1sincos()sinsin()rEtrrEtkrrrkEtkrreHEee将上式对时间t 积分，得00sincos()kEtkrrHe（1）将式（1）代入0tEH得0201111(sin)(sin)sinsinrtrHrHrrrEHee20020002sin1cos()sin()rkEk Etkrtkrrree名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 15 页 -将上式
11、对时间t 积分，得20022200021sin()sincos()rkEk EtkrtkrrrEee（2）将已知的0sincos()EtkrrEe与式（2）比较，可得含21r项的 Er分量应略去，且200k，即00k将00k代入式（1），得0000000sincos()sincos()EtkrrEtkrrHeeA6.10试推导在线性、无损耗、各向同性的非均匀媒质中用E 和 B 表示麦克斯韦方程。解注意到非均匀媒质的参数,是空间坐标的函数，因此211()()11BHBBBB而()tttDEEJJJ因此，麦克斯韦第一方程tDHJ变为1tEBJB又()DEEE故麦克斯韦第四方程D变为1EE则在非均匀
12、媒质中，用E 和 B 表示的麦克斯韦方程组为名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 15 页 -11ttEBJBBEBEE6.11 写出在空气和的理想磁介质之间分界面上的边界条件。解空气和理想导体分界面的边界条件为0snEnHJ根据电磁对偶原理，采用以下对偶形式smsEHHEJJ即可得到空气和理想磁介质分界面上的边界条件0msnHnEJ式中，Jms为表面磁流密度。6.12提出推导1snHJ的详细步骤。解如题 6.12 图所示，设第2 区为理想导体（2）。在分界面上取闭合路径,0abcda abcdl bcdah。对该闭合路径应用麦克斯韦第一方程可得20ddddlim(dd
13、)bcdaabcdChSSdtHlHlHlHlHlDHlHlJSS（1）因为tD为有限值，故上式中0limd0hStDS而(1)式中的另一项0limdhSJS为闭合路径所包围的传导电流。取N 为闭合路径所围面积的单位矢量（其指向与闭合路径的绕行方向成右手螺旋关系），则有0limdshSJSJNl因()llNn故式（1）可表示为12()()sllHHNnJN（2）a d b c n l h H2H1 题 6.12 图名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 15 页 -应用矢量运算公式()()ABCCAB，式（2）变为12snHHNJN故得12()snHHJ（3）由于理想导体
14、的电导率2，故必有220,0EH，故式（3）变为1snHJ6.13在由理想导电壁（）限定的区域0 xa内存在一个由以下各式表示的电磁场：000()sin()sin()()sin()sin()cos()cos()yxzaxEHkztaaxHH kkztaxHHkzta这个电磁场满足的边界条件如何？导电壁上的电流密度的值如何？解如题 6.13 图所示，应用理想导体的边界条件可以得出在 x=0 处，0,0yxEH0cos()zHHkzt在 x=a 处，0,0yxEH0cos()zHHkzt上述结果表明，在理想导体的表面，不存在电场的切向分量 Ey和磁场的法向分量Hx。另外，在 x=0 的表面上，电流
15、密度为0000|()|cos()sxxxxzzxxzzyxHHHHkztJnHeeeeee在 x=a 的表面上，电流密度则为0|()|cos()sx axxxzzx axzzyx aHHHHkztJnHeeeeee6.14海水的电导率4S/m，在频率 f=1GHz 时的相对介电常数81r。如果把海水视为一等效的电介质，写出 H 的微分方程。对于良导体，例如铜，71,5.710 S/mr，比较在 f=1GHz 时的位移电流和传导电流的幅度。可以看出，即使在微波频率下，良导体中的位移电流也是可以忽略的。写出H 的微分方程。解对于海水，H 的微分方程为()jjjjHJDEEE即把海水视为等效介电常数
16、为cj的电介质。代入给定的参数，得o a x 题 6.13 图名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 15 页 -999104210(81)36210(4.54)(44.5)jjjjjEEEE对于铜，传导电流的幅度为E，位移电流的幅度E。故位移电流与传导电流的幅度之比为9130712102369.75 105.7 10rfff可见，即使在微波频率下，铜中的位移电流也是可以忽略不计的。故对于铜，H 的微分方程为75.7 10HEE6.15 计算题 6.13 中的能流密度矢量和平均能流密度矢量。解瞬时能流密度矢量为2022220202220()sin()cos()sin()c
17、os()()sin()sin()1sin()cos()sin 2()21()sin()1cos2()2yyxxzzxyzzyxxzxzEHHE HE HaxxHkztkztaaaxHkkztaaxxHkztaaaxHkkztaSEHeeeeeeeee为求平均能流密度矢量，先将电磁场各个分量写成复数形式20200()sin()()sin()cos()jkzjyjkzjxjkzzaxEHeaaxHH keaxHHea故平均能流密度矢量为*2202222220011Re*Re221Resin()cos()21()sin()()sin()2avxyzzyxjxzzE HE HaxxHeaaaxaxHk
18、HkaaSEHeeeee6.16 写出存在电荷和电流密度J 的无损耗媒质中E 和 H 的波动方程。解存在外加源和 J 时，麦克斯韦方程组为tEHJ（1）tHE（2）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 15 页 -0H（3）E（4）对式（1）两边取旋度，得()tHJE而2()HHH故2()tHHJE（5）将式（2）和式（3）代入式（5），得222tHHJ这就是 H 的波动方程，是二阶非齐次方程。同样，对式（2）两边取旋度，得(tEH即2(tEEH（6）将式（1）和式（4）代入式（6），得2221ttEJE此即 E 满足的波动方程。对于正弦时变场，可采用复数形式的麦克斯
19、韦方程表示jHJE（7）jEH（8）0H（9）E（10）对式（7）两边取旋度，得jHJE利用矢量恒等式2(HHH得2(jHHJE（11）将式（8）和式（9）代入式（11），得22H+HJ此即 H 满足的微分方程，称为非齐次亥姆霍兹方程。同样，对式（8）两边取旋度，得jEH即2(jEHH（12）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 15 页 -将式（7）和式（10）代入式（12），得221jE+EJ此即 E 满足的微分方程，亦称非齐次亥姆霍兹方程。6.17在应用电磁位时，如果不采用洛伦兹条件，而采用所谓的库仑规范，令A，试导出 A 和所满足的微分方程。解将电磁矢量位A
20、的关系式BA和电磁标量位的关系式tAE代入麦克斯韦第一方程tDHJ得1()tttEHAJAJ利用矢量恒等式2()AAA得2()ttAAA=J（1）又由D得()tAE即2()tA（2）按库仑规范，令0A，将其代入式（1）和式（2）得222()ttAAJ（3）2（4）式（3）和式（4）就是采用库仑规范时，电磁场A 和所满足的微分方程。6.18设电场强度和磁场强度分别为00cos()cos()emttEEHH证明其坡印廷矢量的平均值为名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 15 页 -001cos()2avemSEH解坡印廷矢量的瞬时值为000000cos)cos()1cos
21、()cos21cos(2)cos()2emememememtttttttSEHEHEHEH故平均坡印廷矢量为000000111cos(2)cos()d21cos()2TavTemememdtTttTSSEHEH6.19证明在无源空间（0,0J），可以引入一个矢量位Am和标量位m，定义为mmmtDAAH试推导Am和m的微分方程。解无源空间的麦克斯韦方程组为tDH（1）tBE（2）0B（3）0D（4）据矢量恒等式0A和式（4），知 D 可表示为一个矢量的旋度，故令mDA（5）将式（5）代入式（1），得()mtHA即0mtAH+（6）根据矢量恒等式0和式（6），知mtAH可表示为一个标量的梯度，故令
22、mmtAH+（7）将式（5）和式（7）代入式（2），得1()mmmttAEA（8）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 15 页 -而2()mmmAAA故式（8）变为222(mmmmttAAA=（9）又将式（7）代入式（3），得()0mmtAH即2()0mmtA（10）令mmtA将它代入式（9）和式（10），即得 Am和m的微分方程22222200mmmmttAA6.20 给定标量位xct及矢量位()xxtcAe，式中001c。（1）试证明：00tA；（2）B、H、E 和 D；（3）证明上述结果满足自由空间中的麦克斯韦方程。解（1）001()xAxtxx ccA001()xctctt故000000001()t则00tA（2）0 xzyzAAzyBAee00BH=而名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 15 页 -0()()00 xxxxtxt cxctxxAEeeteeDE（3）这是无源自由空间的零场，自然满足麦克斯韦方程。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 15 页 -