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1、学习必备 欢迎下载 第三章 静态电磁场及其边值问题的解 31 真空中静电场的基本方程 3.1.1 场的基本方程 由亥姆霍兹定理，矢量场的散度和旋度决定其性质，因此，静电场的基本方程即为电场的散度、旋度计算式。一、真空中静电场的散度 高斯定理 1、真空中静电场的散度 可以证明，真空中静电场的散度为 ）（处电荷密度为）（处无电荷rrrrE0/0 静电场高斯定理微分形式 说明：1）电场散度仅与电荷分布有关，其大小)(r；2）对于真空中点电荷，有 ()0(0)E rr0/(0)E rqr或（）2、高斯定理 高斯定理的积分形式0000)()(1)(/)()(QsdrEQdvrsdrEdvrdvrEsvs
2、vv 讨论：1）物理意义：静电场E穿过闭合面 S 的通量只与闭合面内所包围电荷量有关（场与所有电荷有关）；2）静电荷是静电场的散度源，激发起扩散或汇集状的静电场；3）无电荷处，源的散度为零，但电场不一定为零。二、真空中静电场的旋度 环路定理 BARRlrlRRqRdRqRl deql dEBA1144402020 当 A 点和 B 点重合时，0cl dE 静电场环路定理的积分形式 学习必备 欢迎下载 由斯托克斯公式，0 E 环路定理的微分形式 讨论：1）物理意义：在静电场中将单位电荷沿任一闭合路径移动一周，静电场力做功为零 静电场为保守场；2）静电场旋度处处为零，静电场中不存在旋涡场，电力线不
3、构成闭合回路。三、真空中静电场性质小结 1、微分形式 积分形式 lsl drEQsdrEErE0)(/)(0/)(00 2、静电场性质：有源无旋场，是保守场 3、静电场的源：电荷 讨论：对于静电场，恒有 0 E ，而 0)()(rE 为标量辅助函数 静电场可以由一标量函数的梯度表示。补充内容：利用高斯定理求解静电场 00)(1)(QdvvsdrEvs 1、求解关键：高斯面的选择 2、高斯面的选择原则：1）场点位于高斯面上 2）高斯面为闭合面 3）在整个或分段高斯面上，E或sdE为恒定值。3、适用范围：呈对程分布的电荷系统。3.1.2 电位函数 一、电位函数与电位差 1、电位函数 0)(0EE可
4、用一标量函数表示 E 讨论：1）电位函数为电场函数的辅助函数，是一标量函数 2）“-”号表示电场指向电位减小最快的方向 3）在直角坐标系中，zyxezeyexE 决探索规律图形的位置式与方程比和比例学习必备欢迎下载数与代数一连加连减加减混合各数的认识以内的进位加法简单图画应用题中出现单数相应的减法整十数加减整十数两位数加一位数整十数不进位以内的加学习必备 欢迎下载 2、电位差（电压）电位差反映了电场空间中不同位置处电场的变化量。电位差的计算：lllBBABABAAeelEedEdllEdlEdl 为增加最快的方向 电场空间中两点间电位差为：ABABl dE 说明：1）意义：A、B 两点间的电位
5、差等于将单位点电荷从 B 点移动到 A 点过程中电场力所做的功；2）两点间的电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与路径无关。3、电位参考点 电位函数不唯一，导致电场分布具有不确定性 设 )(cEc 为使空间各点电位具有确定值，必须选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零。由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值。选择电位参考点的原则：1）应使电位表达式有意义；2）应使电位表达式最简单；3）同一个问题只能有一个参考点；4）电位参考点的电位值一般为零。二、电位函数的求解 1、点电荷的电位 Q p q p )11(44)(020QpQprppQpQpQPrrqrdr
6、eql dEl dE 选取 Q 点为电位参考点，则 0Q Qpprrq1140 若参考点 Q 在无穷远处，即Qr，则 决探索规律图形的位置式与方程比和比例学习必备欢迎下载数与代数一连加连减加减混合各数的认识以内的进位加法简单图画应用题中出现单数相应的减法整十数加减整十数两位数加一位数整十数不进位以内的加学习必备 欢迎下载 rqr04)(点电荷在空间产生的电位 说明：若电荷分布在有限区域，一般选择无穷远点为电位参考点。2、无限长线电荷的电位 E p Q p )ln(ln2200pQlQprlrrerE 电位参考点不能位于无穷远点，否则表达式无意义，根据表达式最简原则，选取1r柱面为电位参考点，即
7、1Qr，得 plprln20 无限长线电流在空间产生的电位 3、分布电荷在空间产生的电位 体电荷：vcdvRrr)(41)(0 面电荷：sscdsRrr)(41)(0 线电荷：llcdlRrr)(41)(0 说明：若参考点在无穷远处，则 0c。综上所述，电位是一标量 电位是一相对量，与参考点的选取有关 电位差是绝对的 引入电位函数的意义：简化电场的求解间接求解法 在某些情况下，直接求解电场强度很困难，但求解电位函数则相对简单，因此可以通过先求解电位函数，再由关系E得到电场解。三、电位的微分方程 1、方程的建立 有源区 决探索规律图形的位置式与方程比和比例学习必备欢迎下载数与代数一连加连减加减混
8、合各数的认识以内的进位加法简单图画应用题中出现单数相应的减法整十数加减整十数两位数加一位数整十数不进位以内的加学习必备 欢迎下载 00EE 即 20 电位的泊松方程 无源区 0 20 电位的拉普拉斯方程（不同坐标系下方程的表示略）电位的边界条件 10l 120Edl 2 12nnsDDDE 而 有 1212snn 若0s 有 2121120nn 3.1.3 电容 一、电容 1、孤立导体的电容 定义：孤立导体所带电量与其电位之比，即 UQC 电容 C 只与导体几何性质和周围介质有关，与 q 和无关；例：空气中半径为 a 的孤立导体球 aQCaQ0044 2、两个带等量异号电荷导体的电容（双导体电
9、容）21QC 决探索规律图形的位置式与方程比和比例学习必备欢迎下载数与代数一连加连减加减混合各数的认识以内的进位加法简单图画应用题中出现单数相应的减法整十数加减整十数两位数加一位数整十数不进位以内的加学习必备 欢迎下载 C 只与导体几何性质、导体间距和导体周围介质有关；例：平行板电容器电容（导体球、圆柱等）dsdsEdsQCsss0021 3.1.4 电场能量 一、空间总电场能量 1、分布电荷总能量 空间电荷分布)(r，在空间中产生的电位为)(r，空间总电场能量为：vedvrrW)()(21 说明：1）此公式只适用于静电场能量求解；2）21 不表示能量密度；3）)(r为空间中自由电荷分布；4）
10、积分范围为整个空间，但可退化到电荷分布区域。2、带电导体系统总能量 若电量为q的电荷分布在导体上，导体电位为)(r，空间总静电场能量为 qWe21 i导体所带电量 N 个导体，iiieqW21 i导体电位 二、电场能量密度 vsvvvedvEDsdDdvDDdvrDdvrrW212121)(21)()(21 第一项：22111,DdsrDdsrrr ,0srDds 1()()2eevvWD rE r dVw dV 决探索规律图形的位置式与方程比和比例学习必备欢迎下载数与代数一连加连减加减混合各数的认识以内的进位加法简单图画应用题中出现单数相应的减法整十数加减整十数两位数加一位数整十数不进位以内
11、的加学习必备 欢迎下载 21122ewDEE 电场能量密度 例 3.1.6 P102 三、静电力(虚位移法)虚功原理如下：设空间一定位形结构的带电体系，静电 能为 。假想该电荷体系的空间位形结构在静电力作 用下发生小的虚位移 ，静电力作的虚功为：(力为广义力)该虚功等于电荷体系能量的减少 若系统与外界电源相连，外界电源供给的能量为sdW，则该系统的能量关系为 siiedWF dgdW 3.2 恒定电场分析（恒定电流空间中存在的电场）一、恒定电场基本方程 基本量 JE、基本方程：有源无旋场 00cl dEE 恒定电场空间中电荷分布不变 0t 由电流连续性方程，vsvsdJdvJdvtJ000)(
12、0 J)()(rErJ ，有00)(EE 均匀导电媒质，=常数 由 000)(02EEEE 二、欧姆定律 体积元：电导率，电场E 由欧姆定律 /UEdlIJdsJsE lRdlds ()sl A Fl l leWeWeeeWWWeeeAWWW eW决探索规律图形的位置式与方程比和比例学习必备欢迎下载数与代数一连加连减加减混合各数的认识以内的进位加法简单图画应用题中出现单数相应的减法整十数加减整十数两位数加一位数整十数不进位以内的加学习必备 欢迎下载/JEEJ 单位矢量 讨论：1）在理想导体)(内，恒定电场为 0；2）恒定电场可以存在于非理想导体内；3）在导电媒质内，恒定电场E和J的方向同。三、
13、焦耳定律 在导电媒质中，电场力使电荷运动，所以电场力要做功，设电荷量V，运动速度为v，则电场力在时间t所做的功为w tvEVl dFw 功率 VEJtwdP 电场力做功，将电场能量转化为电荷运动机械能，最终以热量形式损耗掉。导电媒质中单位体积功率损耗为 2EEJVPp焦耳定律的微分形式 体积为 V 的导电媒质内的损耗功率为 vdvJEP焦耳定律的积分形式 四、恒定电场边界条件 J的边界条件 nnsJJnJJsdJ21210)(0 E的边界条件 ttlEEnEnEl dE21210 电位边界条件 0211122nn 讨论：21212211tgtgtgtg 若 2，则 01 在理想导体表面上，E和
14、J都垂直于边界面。决探索规律图形的位置式与方程比和比例学习必备欢迎下载数与代数一连加连减加减混合各数的认识以内的进位加法简单图画应用题中出现单数相应的减法整十数加减整十数两位数加一位数整十数不进位以内的加学习必备 欢迎下载 静电场和性质的比较：相同点：不同点：1、场性质相同，均为保守场；1、源不同；2、场不随时间改变；2、存在区域不同，静电场只能 3、均不能存在于理想导体内部。存在于导体外，恒定电场可以存在于非理想导体内。静电场 恒定电场 静电比拟 EDl dEsdDls00 EJl dEsdJls00 GCEEJD 3.3 恒定磁场分析 3.3.1 真空中恒定磁场基本方程 1、磁场基本方程
15、csHdlJdsHJ 00SB dsB 恒定磁场性质：1）无源场，磁感应线无头无尾且不相交；2）有旋场，电流是磁场的旋涡源，磁感应线构成闭合回路。注意：1）空间中任意一点的磁场的旋度只与当地的电流密度有关；2）定理中，电流为回路所围电流的代数和，H为回路C 内外的电流共同产生。2、边界条件 12121212()0()nnnnsttseBBBBeHHJHHJ 若0sJ，则 120ttHH 3.3.2 矢量磁位 一、矢量磁位的引入 0()()0BBA rA （Tm）二、库仑规范 决探索规律图形的位置式与方程比和比例学习必备欢迎下载数与代数一连加连减加减混合各数的认识以内的进位加法简单图画应用题中出
16、现单数相应的减法整十数加减整十数两位数加一位数整十数不进位以内的加学习必备 欢迎下载 要求：B与()A r间满足一一对应关系 1、矢量位的任意性 设 ()()()A rA rr ()r为任意标量场 ()()()A rA rr 而()0r 有 ()()A rA rB 而 ()()()A rA rr 2()()()0A rA rr 上式表明()A r和()A r为性质不同的两种矢量场，这意味着满足()BA r 的()A r有无限多个。2、库仑规范条件 由上所述，必须引入新的条件对()A r进行限定。由亥姆霍兹定理可知，矢量场的性质由起旋度和散度决定，()A r的旋度已知，必须对其散度进行限定。令 ()0A r 库仑规范条件 注意：规范条件是人为引入的限定条件 三、矢量磁位的求解 1、矢量磁位满足的方程 决探索规律图形的位置式与方程比和比例学习必备欢迎下载数与代数一连加连减加减混合各数的认识以内的进位加法简单图画应用题中出现单数相应的减法整十数加减整十数两位数加一位数整十数不进位以内的加