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大学生数学竞赛训练一（极限）一、 计算解：因为原式又因为 所以。二、 计算解：因为所以。三、 计算解：设，则因为，所以。四、 计算解：因为，所以五、 设数列定义如下 证明：极限。证明：方法一、考虑函数，因为，当时，。由此可得时，在上的最大值为，且在是递增的。所以 由于，所以数列是单调有界的，由单调有界准则可得存在。显然，。现证明，用反证法证明，设，且，取，因为，所以存在整数，当时有 由此可得正项级数收敛；另一方面，由，级数发散，由比较判别法，正项级数发散，这是一个矛盾，所以。方法二、考虑函数，因为，当时，。由此可得时，在上的最大值为，且在是递增的。所以 由夹逼准则可得，又因为所以数列是单调递增的，利用斯托尔茨定理。六、 设函数在区间上有定义，且在每一个有限区间上是有界的，如果，证明： 证明：对于任取的，因为，所以存在当时，有取，令，则有 因为 所以由于在每一个有限区间上是有界的，所以存在，当时有 取，当时有由此可得。第6页（共6页）