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大学生数学竞赛训练五微分方程一、 (15分)设函数在上可导,且,对任给的满足等式 1)求导数;2)证明:当时,成立不等式:。解:1)设,则有 当时有 两边关于求导得 解微分方程得 由条件可得,因此2)当时,所以此时有;又因为,当时,所以此时有,因此当时,有 二、 (15分)设微分方程的两个解满足求此微分方程的通解。解:1)如果为常数,则有 因为,所以,由此可得,此时方程变为 令,则有2)如果不是常数,则有,代入原方程可得 (1) (2)由(1)、(2)可得 令,则有,解得,因为它们是线性无关的,所求通解为 三、 (15分)有一个攀岩爱好者要攀登一个表面为的山岩,在攀岩时他总是沿着最陡峭的路线攀登,他的出发点在山下的一点处,求他攀登的路线方程。解:设所求曲线在面上的投影为,则其切向量与函数的梯度平行,因此有 此为一阶齐次方程,解得,由可得,再由题意得到 所求曲线方程为。四、 (15分)求方程的通解。解:设,则有,原方程化为 解得 五、 (15分)设,求在上的连续函数使得其在上满足方程 及初值条件。解:解方程得 当时,当时,由的连续性可得,又因为可得,所求函数为。六、 (15分)已知二元函数有二阶连续的偏导数,并且满足 证明:。证明:因为二元函数有二阶连续的偏导数,所以 由此可得。第4页(共4页)