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第七章 多元函数微分学第四节 多元复合函数的求导法则,一、多元复合函数求导的链式法则,定理,链式法则如图示,证,解,例2 解,若 z = f ( u , v, w )有连续偏导数，,链式法则可推广到有多个中间变量的情况. 例如有三个中间变量的情况,多元复合函数的复合关系是多种多样的，我们不可能把所有的公式都写出来，也没有必要，只要把握住函数间的复合关系，及函数对某个自变量求偏导时，应通过所有相关的中间变量，这一法则通常称为链式法则比如：,两者的区别,区别类似,解,例5,例6,例7,（见板书）,二、复合函数的高阶偏导数,解,令,记,同理有,于是,例9,三、一阶全微分形式不变性,（1）如果 u，v 是自变量，结论显然。,（2）如果 u，v 是中间变量，,在点 ( x , y )有连续偏导数，则复合函数 z = f u ( x , y ), v ( x , y )的全微分可表示为：,事实上，,全微分形式不变形的实质： 无论 z 是自变量 u，v 的函数或中间变量 u，v 的函数，它的全微分形式是一样的.,常用的微分公式,解,例11,1、链式法则,2、全微分形式不变性,（理解其实质）,四、小结,思考题,思考题解答,