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1、1,音乐,第七章,多元函数微分法,2,前几章讨论的函数都只有一个自变量,称一元函数.但在实际问题中,往往牵涉到多方面的因素,反映到数学上,就是一个变量依赖于多个变量的情形,这就提出了多元函数以及多元函数微积分问题.本章将在一元微积分的基础上,讨论多元函数的微分法及其应用.主要讨论二元的情况.,3,一、平面点集 n 维空间,平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集,记作,例如,平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合可表示为,第一节 多元函数的概念,4,实例：,二、多元函数的概念,5,类似地可定义三元及三元以上函数,多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念.,二、多元函数的概
2、念,6,解,所求定义域为,例1,7,二元函数的图形通常是一张曲面.,二元函数 的图形,8,三、多元函数的极限,定义,9,说明：,（1）定义中 的方式是任意的；,（2）二元函数的极限也叫二重极限.,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,10,确定二重极限不存在的方法：,11,例2,解,沿 x 轴考察,12,四、多元函数的连续性,定义,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,13,闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值,在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值.,（1）最大值和最小值定理,（2）介值定理,1
3、4,第二节 多元函数的偏导数,一、偏导数的定义及其计算法,或,15,偏导函数:,记为,或,或,2.偏导数的概念可以推广到二元以上函数.,说明:,1.偏导数实质上仍然是一元函数的微分问题.,16,解,例1,17,解,例2,18,解,例3,19,偏导数的几何意义,得的曲线,20,多元函数中在某点偏导数存在 连续，,偏导数存在与连续的关系,？,但函数在该点处并不连续.,21,混合偏导数,二、高阶偏导数,22,解,例5,23,第三节 全微分及其应用,回顾:,能表示成,实际上,即,24,二元函数的可微和全微分,定义,如果可以表示为,25,证,同理可得,可微 可偏导,26,习惯上，记全微分为,27,解,例
4、1,解,例2,28,多元函数连续、可导、可微的关系,29,证略,第四节 多元复合函数与隐函数的微分法,一、复合函数的中间变量均为一元函数的情形,多元复合函数的微分法,30,以上公式中的导数 称为全导数.,31,解,例1,32,二、复合函数的中间变量均为多元函数的情形.,链式法则如图示,33,二、复合函数的中间变量均为多元函数的情形.,链式法则如图示,34,35,解,例1,36,解,例2,37,解,例3,38,解,例4,解,例5,39,隐函数的微分法,一、一个方程的情形,一元隐函数存在定理,(证略),40,例1,求由方程,解,41,例2,解,则,所以,注: 用一元隐函数求导法更简单:,方程两边关
5、于x求导,得,解得,42,二元隐函数存在定理,(证略),43,解法一,令,则,例3,44,第五节 多元函数的极值,播放,45,一、多元函数的极值及最值,极大值、极小值统称为极值.,使函数取得极值的点称为极值点.,46,(1),(2),(3),例1,例,例,47,多元函数取得极值的条件,（称驻点）,驻点,极值点,注意：,定理1（必要条件）,48,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,定理2（充分条件）,49,例4,解,值得指出的是，如果函数有不可导点，那不可导点也可能是极值点。,50,求最值的一般方法： 将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值
6、，最小者即为最小值.,多元函数的最值,51,解,例5,先求函数在D内的驻点，,解方程组,52,为最小值.,53,若根据实际问题,目标函数有最大值(或最小值),而在定义区域内部有唯一的极大(小)值点,则可以断定该极大(小)值点即为最大(小)值点.,例6,解,解方程组,54,55,用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为V,问怎么做用料最省？,二、条件极值拉格朗日乘数法,实际问题中,目标函数的自变量除了受到定义域的限制外, 往往还受到一些附加条件的约束,这类极值问题称条件极值问题.,例1,解,即表面积最小.,代入目标函数,化为无条件极值问题：,56,内部唯一驻点,且由实际问题S有最小值,故做成立方
7、体表面积最小.,这种做法的缺点：,1.变量之间的平等关系和对称性被破坏；,2.有时解出隐函数困难甚至不可能.,同理，我们可以讨论P153的问题！,57,拉格朗日乘数法,那么,58,59,60,拉格朗日乘数法,令,引入拉格朗日函数,61,则构造拉格朗日函数为,令,62,用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求表面积为a2,问怎么做体积最大？,例2,解,由实际问题,即为最大值点.,63,例3,解,解得唯一驻点,即做成正三角形时面积最大.,64,三角形中,以正三角形面积为最大:,四边形中,以正方形面积为最大：,65,例4,解,此椭圆的中心显然是坐标原点,因此问题即求,下的最大值和最小值.,作拉格朗日函数,66,由,67,68,第八节 多元函数的极值及其求法,69,第八节 多元函数的极值及其求法,70,第八节 多元函数的极值及其求法,71,第八节 多元函数的极值及其求法,72,第八节 多元函数的极值及其求法,73,第八节 多元函数的极值及其求法,74,第八节 多元函数的极值及其求法,75,第八节 多元函数的极值及其求法,76,第八节 多元函数的极值及其求法,77,解,切线方程,法平面方程,例1,78,解,令,切平面方程,法线方程,79,设切点,依题意知法向量为,切点满足曲面和平面方程,则,解,80,解答,思考题,81,故沿任意方向的方向导数均存在且相等.,沿任意方向的方向导数,