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1、第四章指数函数与对数函数易错疑难集训一、易错题易错点忽略二分法求函数零点近似值的前提条件1. 2021安徽池州一中高一上月考下列函数中不能用二分法求零点近似值的是()A.f(x)=3x-1 B.f(x)=x3C.f(x)=|x|D.f(x)=ln x2. 下列函数图象与x轴都有公共点,其中不能用二分法求图中函数零点近似值的是()3. (多选)如图,函数f(x)的图象与x轴交于M(x1,0),N(x2,0),P(x3,0),Q(x4,0)四点,则能用二分法求出近似值的是()A.x1B.x2C.x3D.x4二、疑难题疑难点1求函数的零点(方程的根)的个数1. 已知函数y=f(x)和y=g(x)的定
2、义域及值域均为-a,a(a0),它们的图象如图所示,则函数y=f(g(x)的零点的个数为()A.2B.3C.5D.62.2022重庆九龙坡区高一上期末已知函数y=f(x)(xR)满足f(x+1)=f(x-1),且x-1,1时,f(x)=1-x2,函数g(x)=|lgx|,x0,ex,x0,则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间-5,5内的零点的个数为.3.2022湖北黄冈高一上期末已知函数f(x)=|2-x-1|,g(x)=|log2x|,02,且关于x的方程f(x)=m有两个不同的解,则实数m的取值范围为,关于x的方程g(f(x)=m解的个数为.4.2022湖南长沙市一中高一上期末已知函数
3、f(x)=4x2-4ax+(a-1)2(aR),h(x)=log12x.(1)若关于x的不等式f(x)n,讨论当a0)的零点个数.疑难点2由函数零点(方程的根)求参数的取值范围5.2022陕西西安高三下联考设f(x)为R上的偶函数,且f(2-x)=f(x),当x0,1时,f(x)=2-2x.若关于x的方程f(x)=loga(x+1)在(-1,3)内只有3个解,则实数a的取值范围是()A.(15,13)B.(3,5)C.(1,3)D.(3,+)6.2022清华附中高一期末已知函数f(x)=lnx,x0,ex+1,x0,且函数g(x)=f(x)-m恰有两个不同的零点,则实数m的取值范围是.7.20
4、22山东威海高一上期末已知函数f(x)=x2-2|x|-1,若关于x的方程f(x)=x+m有四个根,则实数m的取值范围为.8. 已知函数f(x)=x2+2mx+3m+4.(1)若函数f(x)有且仅有1个零点,求实数m的值;(2)若函数f(x)有2个零点且均比-1大,求实数m的取值范围.9. 2021安徽合肥一中、六中、八中高一上期末已知函数f(x)=ax2-2x+1.(1)当a=34时,求f(x)在区间1,2上的值域.(2)当a12时,是否存在这样的实数a,使得关于x的方程f(x)-log2x4=0在区间1,2上有且只有一个根?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.10.2022
5、浙江宁波九校高一上期末联考已知函数f(x)=ln(x2-kx+2k)(kR).(1)若f(x)在0,3上单调递减,求k的取值范围;(2)若方程f(x2)=ln(x4+x3+4x)在2,6上有两个不相等的实根,求k的取值范围.参考答案一、易错题1.Cf(x)=3x-1,f(x)=x3,f(x)=ln x均是单调函数,有唯一零点,且函数值在零点两侧异号,故可用二分法求零点近似值,而f(x)=|x|,虽然也有唯一的零点,但函数值在零点两侧都是正号,故不能用二分法求零点近似值.故选C.2.A函数在零点的左右两侧的函数值符号相反,即图象穿过x轴时,能用二分法求函数零点近似值,据此分析选项,由图知,A选项
6、中函数不能用二分法求零点近似值.故选A.3.ACD由图象,可知在x=x2两侧,函数f(x)的值均大于0,故x2的近似值不能用二分法求出.其他零点两侧函数值符号均相反,可以用二分法求解近似值.故选ACD.二、疑难题4.D由题意,知函数y=f(g(x)的零点,即方程f(g(x)=0的根.令g(x)=t,t-a,a,则f(g(x)=f(t)=0.当t-a,0时,满足方程f(t)=0的t有2个,此时g(x)=t有4个不同的实数根;当t(0,a时,满足方程f(t)=0的t有1个,此时g(x)=t有2个不同的实数根.综上可知方程f(g(x)=0共有6个实数根,即函数y=f(g(x)共有6个零点.5.0解析
7、因为f(x+1)=f(x-1),所以f(x+2)=f(x),所以函数y=f(x)以2为周期.令h(x)=f(x)-g(x)=0,则f(x)=g(x),在同一平面直角坐标系中作出函数y=f(x),y=g(x)的大致图象,如图所示,由图可知函数y=f(x),y=g(x)的图象在区间-5,5内有10个交点,所以函数h(x)=f(x)-g(x)在区间-5,5内的零点有10个.6.(0,1)4解析函数f(x)=|2-x-1|=12x,x0,2x1,x0,当x0时,-x0,则02-x1,此时f(x)=1-2-x0,1).由题意可知,直线y=m与函数y=f(x)的图象有两个不同的交点,如图1所示.由图1可知
8、,当0m1时,直线y=m与函数y=f(x)的图象有两个不同的交点,故0m1.方程g(f(x)=m中,设t=f(x)(0,+),则g(f(x)=m解的个数即函数y=g(t)的图象与直线y=m(m(0,1)的交点个数.作出函数g(t)=|log2t|,02的图象如图2所示.因为0m1,所以函数y=g(t)的图象与直线y=m有3个交点,即方程g(t)=m有三个解,设为t1,t2,t3,其中t1(0,1),t2(1,2),t3(2,3).再结合y=f(x)的图象可知,方程f(x)=t1有2个不同的解,方程f(x)=t2有1个解,方程f(x)=t3有1个解.综上所述,方程g(f(x)=m有4个不同的解.
9、7. 解：(1)由不等式f(x)0,1+b=4a4=a,1b=(a1)24,b1,解得a=5,b=4.(2)h(x)=log12x在(0,+)上单调递减,h(1)=0.f(x)=4x2-4ax+(a-1)2=4(x-a2)2+1-2a,f(0)=(a-1)20.(i)当a20,即a0时,f(x)在(0,+)上单调递增,作出g(x)的大致图象如图1.则g(x)有1个零点,即g(1)=h(1)=0.(ii)当a20时,f(x)在(0,a2)上单调递减,在(a2,+)上单调递增,f(a2)=1-2a.当f(a2)0,即0a12时,作出g(x)的大致图象如图2,则g(x)有1个零点.当f(a2)=0,
10、即a=12时,作出g(x)的大致图象如图3,则g(x)有2个零点.当f(a2)=1-2a0且a1,即12a1时,作出g(x)的大致图象如图4,则g(x)有3个零点.综上,a12时,g(x)有1个零点;a=12时,g(x)有2个零点;12a1时,g(x)有3个零点.8.D由f(2-x)=f(x),得f(x+2)=f(-x),又f(x)为偶函数,所以f(x+2)=f(-x)=f(x),所以f(x)以2为周期.因为方程f(x)=loga(x+1)在(-1,3)内只有3个解,所以函数y=f(x)与函数y=loga(x+1)的图象在(-1,3)内有3个交点,当0a1时,作出函数y=f(x)与函数y=lo
11、ga(x+1)的大致图象,如图所示.由图得loga33.9.(1,2 解：函数g(x)的零点是直线y=m与函数y=f(x)图象交点的横坐标.当x0时,f(x)=ex+1单调递增,f(x)(1,2.当x0时,f(x)=ln x单调递增,f(x)R.作出函数y=f(x)的大致图象,如图所示.观察图象知,当1m2时,直线y=m与函数y=f(x)的图象有2个交点,即函数g(x)有2个零点,所以实数m的取值范围是(1,2.10.(-54,-1)解：由f(x)=x+m,得m=f(x)-x=x2-2|x|-x-1.令g(x)=x2-2|x|-x-1=x23x1,x0,x2+x1,x0,画出g(x)的图象如图
12、所示.当-54m0,m1,f(1)0,即m23m40,m0,解得-5m-1,所以实数m的取值范围为(-5,-1).12. 解：(1)当a=34时,f(x)=34x2-2x+1,f(x)图象的对称轴方程为x=43,易知431,2,又f(43)=-13,f(1)=-14f(2)=0,所以f(x)在区间1,2上的值域为-13,0.(2)存在实数a-1,12,使方程f(x)-log2x4=0在区间1,2上有且只有一个根.当a=0时,函数f(x)=-2x+1在区间1,2上单调递减;当0a12时,1a2,函数f(x)=ax2-2x+1在区间1,2上单调递减; 当a0时,1a0且单调递减,所以k23,323
13、k+2k0,解得6k9,所以k的取值范围为6,9).(2)由f(x2)=ln(x4+x3+4x),可得ln(x4-kx2+2k)=ln(x4+x3+4x),即x4-kx2+2k=x4+x3+4x,所以k=-x3+4xx22=-x2+4x2x2x,令t=x-2x,则k=-x2+4x2x2x=-t2+4t=-(t+4t).令g(t)=-(t+4t),由x2,6,知t1,173,函数g(t)在1,2上单调递增,在2,173上单调递减,g(1)=-5,g(2)=-4,g(173)=-(173+1217)-5,所以由函数g(t)的图象,知若方程f(x2)=ln(x4+x3+4x)在2,6上有两个不相等的实根,则k-5,-4).学科网（北京）股份有限公司