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1、复合函数求导公式第一页，讲稿共二十七页哦xyxyxyxyyxycos)6(log)5(ln)4(1)3(5)2()1(125、求下列函数的导数练习一、课前练习一、课前练习第二页，讲稿共二十七页哦555)4(5)3(1)2()1(2eyyxyxyx、求下列函数的导数：练习第三页，讲稿共二十七页哦xxysin13）（3)2(24xxxy4532323xxxy）（)23)(32()4(2xxyxxyxxycossin6sin52）（）（练习3、求下列函数的导数：第四页，讲稿共二十七页哦练习练习4 4：cos4lnsin,7yxxxy设求()cos(cos)4(ln)0 xxxxxcos4sin2xx
2、xxx)(sin)x(ln)xcosx(y:7 解解第五页，讲稿共二十七页哦二、复合函数的求导法则二、复合函数的求导法则思考思考的的导导数数求求函函数数xsiny2比较下列两种做法比较下列两种做法xcos)x(siny,xcos)x(sin:22 得得由由公公式式方方法法一一xx2x2ycossinsin:方方法法二二)(cossincos)(sin)cossin(xxxx2 xx2yx22xx222cos)sin(cos第六页，讲稿共二十七页哦且且其其导导数数为为可可导导在在点点则则复复合合函函数数可可导导在在点点而而可可导导在在点点如如果果函函数数,x(x)fy,(x)uf(u)y,x(x
3、)u 定理定理即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量等于因变量对中间变量求导求导,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则)x()u(f)x(f(dxdududydxdy 或或 第七页，讲稿共二十七页哦对对于于思思考考题题yx2y，求，求函数函数sin复复合合而而成成与与函函数数可可看看作作由由函函数数xuusiny2ududycos2dxdux22u2dxdududydxdycoscos第八页，讲稿共二十七页哦4)31(1xy4)31(1xy4)31(x4 uyxu31xuxuyyxuxu)31()(4)3(45u55)31(1212
4、xu5)31(12x例例1 1函数的导数.设 解：第九页，讲稿共二十七页哦的导数的导数求函数求函数22xay复复合合而而成成与与数数解解：此此函函数数可可看看作作由由函函22xayuyu21dudyx2dxdu22xaxu21x2dxdy思考题函数函数,)cos(lnxey 求求.ddxy例例2 2：第十页，讲稿共二十七页哦x2121 x练习、练习、求下列函数的导数（1）y=（2）y=ln(x+)cos x第十一页，讲稿共二十七页哦复合函数法则可推广到多个中间变量的情形复合函数法则可推广到多个中间变量的情形例如例如,)x(v,)v(u,)u(fyxydd)()()(xvufyuvxuyddvd
5、udxvdd关键关键:搞清复合函数结构搞清复合函数结构,由外向内逐层求导由外向内逐层求导.理论推广第十二页，讲稿共二十七页哦例例3 3、设设,)cos(lnxey 求求.ddxy解解:复复合合而而成成与与、函函数数可可以以看看作作由由函函数数xevvu uy coslnu1dudyvdvdusinxedxdvxxxxeee1evu1dxdy)(sincos)sin(第十三页，讲稿共二十七页哦四、反函数求导法则四、反函数求导法则 )(xf定理定理 y y 的某邻域内单调可导的某邻域内单调可导,)()(的反函数的反函数为为设设yfxxfy10yf1)(且且 xydd或或1)(1yf1yxdd第十四
6、页，讲稿共二十七页哦例例4 4、求反三角函数的导数求反三角函数的导数1解解:1)设设,arcsin xy 则则,sin yx,)2,2(y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x类似可求得类似可求得?)(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211xxxarcsin2arccos利用利用0cosy,则第十五页，讲稿共二十七页哦)(xfyxy 出出来来的的函函数数，形形如如：的的数数学学式式子子直直接接表表示示可可由由含含有有自自变变量量因因变变量量五、三个求导方法五、三个求导方法1 1、隐函数求导法则隐函数求导法则显函数：显函数：隐函数：隐函
7、数：化成显函数的性质化成显函数的性质解出解出化，如由方程化，如由方程对于隐函数我们可以显对于隐函数我们可以显33x1y01yx .)(称称为为隐隐函函数数由由方方程程所所确确定定的的函函数数xyy 第十六页，讲稿共二十七页哦所确定的隐函数所确定的隐函数例如：方程例如：方程显化，显化，但是有的不易甚至不能但是有的不易甚至不能 0 xye y问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?方法：方法：直接对方程两边用复合函数求导法则求直接对方程两边用复合函数求导法则求 导导.当方程的两端对当方程的两端对x x求导时，要记住求导时，要记住y y是是x x 是函数，然后用是
8、函数，然后用 复合函数求导法则复合函数求导法则 去求导。去求导。第十七页，讲稿共二十七页哦解：解：,求导求导方程两边对方程两边对 x 0dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy ,0,0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy.1 例例7 7：.,00 xyxdxdydxdyyeexy的的导导数数所所确确定定的的隐隐函函数数求求由由方方程程第十八页，讲稿共二十七页哦、对对数数求求导导法法2观察函数观察函数方法方法:先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出然后利用隐函数的求导方法求出导数导数.-对数求导法对数求导法.,)4(1)1(
9、sin23xxxyexxxy 第十九页，讲稿共二十七页哦例例8 8：解解:142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式两边取对数得等式两边取对数得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求导得求导得上式两边对上式两边对 x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设第二十页，讲稿共二十七页哦例例8 8：解：解：.),0(sinyxxyx 求求设设等式两边取对数得等式两边取对数得求求导导得得上上式式两两边边对对xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 第二十一页，
10、讲稿共二十七页哦3 3、由参数方程所确定的函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数.,)()(定的函数定的函数称此为由参数方程所确称此为由参数方程所确间的函数关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数消去参数问题问题:当当消去参数困难或无法消去参数时，消去参数困难或无法消去参数时，如何求导如何求导?t第二十二页，讲稿共二十七页哦),()(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy ,0)(,)(),(ttytx 且且都都可可导导再再设设函函数数由复合函数及反函数的求导
11、法则得由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx 第二十三页，讲稿共二十七页哦例例9 9：解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy.1.方程方程处处的的切切线线在在求求摆摆线线2)cos1()sin(ttayttax.),12(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)12(axay)22(axy即即第二十四页，讲稿共二十七页哦六、高阶导数六、高阶导数定义定义.)()(,)()(lim)(,)()(0处
12、的二阶导数处的二阶导数在点在点为函数为函数则称则称存在存在即即处可导处可导在点在点的导数的导数如果函数如果函数xxfxfxxfxxfxfxxfxfx 记作记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数,.,),(33dxydyxf 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,.,),(44)4()4(dxydyxf二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.第二十五页，讲稿共二十七页哦例例1010：.),()(nyRxy求求设设 解解1 xy)(1 xy2)1(x3)2)(1(x)1(2 xy)1()1()1()(nxnynn则则为自然数为自然数若若,n)()()(nnnxy,!n)!()1(nyn.0 第二十六页，讲稿共二十七页哦感谢大家观看感谢大家观看9/6/2022第二十七页，讲稿共二十七页哦