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1、关于圆内接四边形的性质与判定定理第一页，讲稿共二十一页哦圆心角的度数等于它所对的弧的度数。圆心角的度数等于它所对的弧的度数。同弧或等弧所对的圆周角相等同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等相等的圆周角所对的弧也相等.半半 圆圆(或直径或直径)所对的圆周角是直角所对的圆周角是直角;90的的圆周角所对的弦是直径圆周角所对的弦是直径.圆上一条弧所对的圆上一条弧所对的圆周角圆周角等于它所对的等于它所对的圆心角的一半圆心角的一半。圆周角定理圆周角定理圆心角定理圆心角定理推论推论1推论推论2【温故知新温故知新】第二页，讲稿共二十一页哦 如果多边形所有顶点都在一个圆
2、上如果多边形所有顶点都在一个圆上.那么这个多边形叫那么这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做做圆的内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆多边形的外接圆.ABCDOABCDADBCDABC思考思考:任意三角形都有外接圆任意三角形都有外接圆.那么那么 任意正方形有外接圆吗任意正方形有外接圆吗?为什么为什么?任意矩形有外接圆吗任意矩形有外接圆吗?为什么为什么?等腰梯形呢等腰梯形呢?为什么为什么?一般地一般地,任意四边形都有外接圆吗任意四边形都有外接圆吗?为什么为什么?需要具备需要具备什么样的什么样的条件呢？条件呢？1.【圆内接四边形的性质圆内接四边形的性质】第三页，讲稿共二十一页哦 直接研究较困难，
3、那么我们可以先从问题的反面思考：直接研究较困难，那么我们可以先从问题的反面思考：如果一个四边形内接于圆，那么这样的四边形有什么特征？如果一个四边形内接于圆，那么这样的四边形有什么特征？我们应该从哪些角度来思考呢？我们应该从哪些角度来思考呢？ABCDOABCDADBCDABC 观察下面这组图中的四边形都内接于圆观察下面这组图中的四边形都内接于圆.你能你能从中发现这些四边形的共同特征吗？从中发现这些四边形的共同特征吗？1.【圆内接四边形的性质圆内接四边形的性质】第四页，讲稿共二十一页哦DABC如图（如图（1）连接OA,OC.则B=,D=212103600018036021DB0180:CA同理可得
4、性质定理性质定理1 圆内接四边形的对角互补圆内接四边形的对角互补.将线段将线段AB延长到点延长到点E,得到图（得到图（2）（1）DABCE（2）.1800EBCABC由于.1800DABC而.DEBC性质定理性质定理2 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.1.【圆内接四边形的性质圆内接四边形的性质】第五页，讲稿共二十一页哦第六页，讲稿共二十一页哦性质定理性质定理1的逆命题：的逆命题：如果一个四边形的对角互补如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆那么它的四个顶点共圆.性质定理性质定理1的逆命题：的逆命题：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这
5、个四边形的四如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆个顶点共圆.性质定理性质定理1 圆内接四边形的对角互补圆内接四边形的对角互补性质定理性质定理2 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.上述定理的逆定理是什么？它们成立吗？上述定理的逆定理是什么？它们成立吗？应该怎样来证明呢？应该怎样来证明呢？思考思考31.【圆内接四边形的性质圆内接四边形的性质】第七页，讲稿共二十一页哦假设假设：四边形：四边形ABCD中，中，B+D=180求证求证：A,B,C,D在同一圆周上（简称四点共圆）在同一圆周上（简称四点共圆）.分析：分析：不共线的三点确定
6、一个圆，经过不共线的三点确定一个圆，经过A A、B B、C C三点可三点可以做一个圆以做一个圆O,O,如果能由条件得出圆如果能由条件得出圆O O过过D D就证明了就证明了.（1）显然，点显然，点D D与圆有且只有三种位置关系：与圆有且只有三种位置关系：（1 1）点）点D D在圆外；在圆外；（2 2）点）点D D在圆内；在圆内；（3 3）点）点D D在圆上；在圆上；CABDO2.【圆内接四边形的判断定理圆内接四边形的判断定理】第八页，讲稿共二十一页哦假设假设：四边形：四边形ABCD中，中，B+D=180求证求证：A,B,C,D在同一圆周上（简称四点共圆）在同一圆周上（简称四点共圆）.CABDO证
7、明：证明：(1)如果点如果点D在在 O外部外部.（1）AEC+B=180得得AEC=D这与这与“三角形外角大于任意不相邻的内角三角形外角大于任意不相邻的内角”矛盾矛盾.故点故点D不可能在圆外不可能在圆外.E因因D+B=180设设E是是AD与圆周与圆周 的交点，连接的交点，连接EC,则有则有点点D D在内部在内部怎么证明？怎么证明？2.【圆内接四边形的判断定理圆内接四边形的判断定理】第九页，讲稿共二十一页哦假设假设：四边形：四边形ABCD中，中，B+D=180求证求证：A,B,C,D在同一圆周上（简称四点共圆）在同一圆周上（简称四点共圆）.ABCDO（2）(2)如果点如果点D在在 O内部内部.B
8、+ADC=180E=ADC综上所述，点综上所述，点D只能在圆周上，即只能在圆周上，即A、B、C、D四点共圆四点共圆.E点点D不可能在不可能在 O内内.延长延长AD交圆于点交圆于点E,连接连接CE,则则B+E=180这同样与这同样与“三角形外角大于任意不相邻的内角三角形外角大于任意不相邻的内角”矛盾矛盾.2.【圆内接四边形的判断定理圆内接四边形的判断定理】第十页，讲稿共二十一页哦圆内接四边形判定定理圆内接四边形判定定理 ：如果一个四边形的对角互补如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆那么它的四个顶点共圆.当问题的结论存在多种情形时当问题的结论存在多种情形时,通过对每一种情形通过对每一种情
9、形分别论证分别论证,最后获证结论的方法最后获证结论的方法-穷举法穷举法推论推论 ：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆四个顶点共圆.DABCE2.【圆内接四边形的判断定理圆内接四边形的判断定理】第十一页，讲稿共二十一页哦返回返回 悟一法悟一法 判定四点共圆的方法常有：判定四点共圆的方法常有：(1)如果四个点与一定点的距离相等，那么这四个点如果四个点与一定点的距离相等，那么这四个点共圆共圆 (2)如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆形的四个顶点共圆 (3)如果一
10、个四边形的一个外角等于它的内对角，那如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆么这个四边形的四个顶点共圆 (4)如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆第十二页，讲稿共二十一页哦思维拓展 圆内接平行四边形一定是_形 圆内接梯形一定是_形 圆形内接菱形一定是_形 矩形等腰梯形正方形第十三页，讲稿共二十一页哦例例3 3 如图，如图，CF是是ABC的的AB边上的高，边上的高，FPBC,FQAC.求证求证：A,B,P,Q四点共圆四点共圆A
11、FBPQC证明：证明：连接连接PQ。在四边形在四边形QFPC中，中，FPBC FQAC.FQA=FPC=90.Q,F,P,C四点共圆。四点共圆。QFC=QPC.又又CFAB QFC与与QFA互余互余.而而A与与QFA也互余也互余.A=QFC.A=QPC.A,B,P,Q四点共圆四点共圆第十四页，讲稿共二十一页哦习题习题2.21.AD,BE是是ABC的两条高，的两条高，求证：求证：CED=ABC.2.求证：对角线互相垂直的四边形中，各边中点在同求证：对角线互相垂直的四边形中，各边中点在同 一个圆周上。一个圆周上。CABED3.如图，已知四边形如图，已知四边形ABCD内接于圆，延长内接于圆，延长AB
12、和和DC相相 交于交于E,EG平分平分E,且与且与BC,AD分别相交于分别相交于F,G.求证：求证：CFG=DGF.ABEFGDC第十五页，讲稿共二十一页哦性质定理性质定理1 圆内接四边形的对角互补圆内接四边形的对角互补.性质定理性质定理2 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.圆内接四边形判定定理圆内接四边形判定定理 ：如果一个四边形的对角互补如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆那么它的四个顶点共圆.推论推论 ：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆顶点共圆.【本节收获本节
13、收获】第十六页，讲稿共二十一页哦返回返回 悟一法悟一法 (1)圆内接四边形性质定理为几何论证中角的相等或互补圆内接四边形性质定理为几何论证中角的相等或互补提供了一个理论依据，因而也为论证角边关系提供了一种新提供了一个理论依据，因而也为论证角边关系提供了一种新的途径的途径 (2)在解有关圆内接四边形的几何问题时，既要注意性在解有关圆内接四边形的几何问题时，既要注意性质定理的运用，也要注意判定定理的运用，又要注意两者的质定理的运用，也要注意判定定理的运用，又要注意两者的综合运用综合运用(3)构造全等或相似三角形，以达到证明线段相等构造全等或相似三角形，以达到证明线段相等、角相等或线段成比例等目的、
14、角相等或线段成比例等目的第十七页，讲稿共二十一页哦 5、如图，已知四边形是圆内接四边形，是、如图，已知四边形是圆内接四边形，是 的直径，且的直径，且EBAD,AD与与BC得延长线相交于得延长线相交于F，求证：求证：ABBCFDDC 证明：证明：连结连结 AC,ACB=DAB弧弧AB=弧弧BD，ACB=DAB.四边形四边形ABCD是圆内接四边形，是圆内接四边形，FCD=DAB,FDC=ABC.ACB=FCD.ABC与与ABC相似相似.即证即证.备选例题第十八页，讲稿共二十一页哦习题2.2（第30页）1.1.ADADBC,BEBC,BEAC,AC,ABDABD和和ABEABE均均为为直直角角三三角
15、角形形.设设O O是是ABAB的的中中点点，连连接接OEOE、OD,OD,则则1111OE=AB,OD=AB,OE=AB,OD=AB,2222OE=OD=OA=OB.OE=OD=OA=OB.A A、B B、D D、E E四四点点共共圆圆.CED=CED=ABC.ABC.BACOED第十九页，讲稿共二十一页哦o o2 2.如如图图，设设四四边边形形A AB BC CD D的的对对角角互互相相垂垂直直，点点E E、F F、G G、H H分分别别是是A AB B、B BC C、C CD D、D DA A的的中中点点，连连接接E EF F、F FG G、G GH H、H HE E，则则F FG GB
16、BD D,G GH HA AC C.A AC CB BD D,F FG GG GH H.同同理理可可证证，H HE EE EF F.H HE EF F+F FG GH H=1 18 80 0.F F、G G、H H、E E四四点点共共圆圆.ABHDGCFE3 3.如如图图，A A、B B、C C、D D四四点点共共圆圆.F FC CE E=A A.C CF FG G=F FC CE E+C CE EF F,D DG GF F=A A+A AE EG G,而而A AE EG G=C CE EF F.C CF FG G=D DF FG G.ADGBCFE第二十页，讲稿共二十一页哦感谢大家观看感谢大家观看第二十一页，讲稿共二十一页哦