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1、2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（福建卷）数学（文史类）全解全析第I卷 （选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知全集U=|1,2,3,4,5|,且A2,3,4,B=1,2,则（CUB）等于A.2B.5C.3,4D.2,3,4,5解析：（CUB）=3，4，5，（CUB）=3，4，选C(2)等比数列an中，a4=4,则a2a6等于A.4B.8C.16D.32解析：a2a6= a42=16，选C(3)sin15cos75+cos15sin105等于A.0B.C.D.1解析：sin15cos75+co
2、s15sin105= sin215+cos215=1，选D（4）“|x|2”是“x2-x-60”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由|x|2得-2x2,由 x2-x-60得-2x1，选D（8）对于向量a、b、c和实数，下列命题中真命题是A.若ab0，则a=0或b=0B.若a=0,则0或a=0C.若a2=b2,则a=b或a=-bD.若a-b=ac，则b=c解析： ab时也有ab0，故A不正确；同理C不正确；由ab=ac得不到b=c，如a为零向量或a与b、c垂直时，选B(9)已知m,n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A.，n
3、 B.，mnC.m，mnnD.nm,nm解析：A中m、n少相交条件，不正确；B中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行，不正确；C中n可以在内，不正确，选D(10)以双曲线x2-y2=2的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是A.x2+y2-4x-3=0B.x2+y2-4x+3=0C.x2+y2+4x-5=0D.x2+y2+4x+5=0解析：双曲线x2-y2=2的右焦点为（2，0），即圆心为（2，0），右准线为x=1，半径为1，圆方程为，即x2+y2-4x+3=0，选B(11)已知对任意实数x,有f（-x）=-f (x)，g(-x)=g(x),且x0时f(x)0,g (x) 0,则x0,g
4、(x)0B.f (x)0,g(x)0C.f (x)0,g(x)0D.f (x)0,g(x)0时f(x)0,g (x) 0,递增,当x0; g(x)递减, g(x)0,选B(12)某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“0000”到“9999”共10000个号码.公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为A.2000B.4096C.5904D.8320解析：10000个号码中不含4、7的有84=4096，故这组号码中“优惠卡”的个数为10000-4096=5904，选C第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每
5、小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。（13）（x2+）6的展开式中常数项是 .（用数字作答）解析：法一：由组合数性质，要使出现常数项必须取2个x2，4个，故常数项为 法二：展开后可得常数项为15（14）已知实数x、y满足则z=2x-y的取值范围是 .解析：画出可行域知z=2x-y在（-1，3）取得最小值-5，在（5，3）取得最大值7，范围是-5，7（15）已知长方形ABCD，AB4，BC3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为 。解析：由已知C=2，（16）中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等.如果集合A中元素之间的一个关系“-”满足以下三个条件：
6、（1）自反性：对于任意aA,都有a-a;(2)对称性：对于a,bA，若a-b,则有b-a;(3)传递性：对于a,b,cA,若a-b,b-c,则有a-c. 则称“-”是集合A的一个等价关系.例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）.请你再列出两个等价关系： .解析：答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）在ABC中，tanA=,tanB=.(I)求角C的大小;(II)若AB边的长为，求BC边的长本小题主要考查
7、两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理知运算能力.满分12分.解：（I）C-(A+B),tanC=-tan(A+B)= 又0C,C=(II)由且A（0，），得sinA=BCAB.（18）（本小题满分12分）甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别为0.7、0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：（I）甲试跳三次，第三次才能成功的概率;(II)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率;(III)甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率.本小题主要考查概率的基础知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算能力.解：记“甲第i次试跳成功”为
8、事件A1，“乙第i次试跳成功”为事件B1.依题意得P（A1）0.7，P（B1）0.6，且A1B1（i=1,2,3）相互独立.(I)“甲第三次试跳才成功”为事件A3，且三次试跳相互独立，P（A3）P（）P=0.30.30.7=0.063.答：甲第三次试跳才成功的概率为0.063.(II)甲、乙两支在第一次试跳中至少有一人成功为事件C，解法一：CA1彼此互斥，P（C） 0.70.4+0.30.6+0.70.6=0.88.解法二：P（C）1-1-0.30.4=0.88.答：甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88.（III）设“甲在两次试跳中成功i次”为事件Mi（i=0,1,2）,“乙
9、在两次试跳中成功i次”为事件Ni(i=0,1,2),事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为M1N0+M2N1,且M1N0、M2N1为互斥事件.所求的概率为0.70.30.42+0.720.60.4=0.0672+0.2352=0.3024.答：甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.3024.（19）（本小题满分12分）如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点.(I)求证：AB1平面A1BD;(II)求二面角A-A1D-B的大小.本小题主要考查直线与平面的位置关系，三面角的大小等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力解法
10、一：（I）取BC中点O，连结AO.ABC为正三角形，AOBC.正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1,AO平面BCC1B1,连结B1O，在正方形BB1C1C中,O、D分别为BC、CC1的中点，B1OBD,AB1BD.在正方形ABB1A1中，AB1A1B，AB1平面A1BD.(II)设AB1与A1B交于点C，在平面A1BD中，作GFA1D于F，连结AF，由（I）得AB1平面A1BD，AFG为二面A-A1B-B的平面角.在AA1D中，由等面积法可求得AF，又AG=,sinAFG=,所以二面角A-A1D-B的大小为arcsin.解法二：（I）取BC中点O，连结AO.ABC为正三角
11、形，AOBC.正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，AO平面BCC1B1.取B1C1中点O1，以a为原点，的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B（1,0,0）,D (-1,1,0),A1(0,2,),A(0,0,),B1(1,2,0),AB1平面A1BD.(II)设平面A1AD的法向量为n=(x,y,z).n, 令z=1得a=(-,0,1)为平面A1AD的一个法向量.由（I）知AB1A1BD.为平面A1BD的法向量.cos=-.二面角A-A1D-B的大小为arccos.(20)（本小题满分12分）设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(xR,t0).(I)
12、求f (x)的最小值h(t);(II)若h(t)-2t+m对t(0,2)恒成立，求实数m的取值范围.本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力.解：（I） （），当x=-t时，f(x)取最小值f(-t)=-t2+t-1,即h(t)=-t3+t-1.(II)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,由g(t)=-3t2+3=0得t=1,t=-1（不合题意，舍去）.当t变化时g(t)、g(t)的变化情况如下表：T(0,1)1(1,2)g(t)+0-g(t)递增极大值1-m递减g(t)在（0，2）内有最大值g(1)=1-mh(t)-2t
13、+m在（0，2）内恒成立等价于g(t)0在（0，2）内恒成立，即等价于1-m1（21）（本小题满分12分）数列an的前N项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn (nN*).(I)求数列an的通项an;(II)求数列nan的前n项和T.本小题考查数列的基本知识，考查等比数列的概念、通项公式及数列的求和，考查分类讨论及归的数学思想方法，以及推理和运算能力.满分12分.解：（I）an+1=2Sn, Sn+1-Sn=2Sn, =3.又S1a1=1,数列Sn是首项为1、公比为3的等比数列，Sn=3n-1(nN*).当n2时，an-2Sn-1=23n-2(n2),an=(II)Tn=a1+2a2+3a3+
14、nan.当n=1时，T1=1;当n2时，Tn=1+430+631+2n3 n-2,3Tn=3+431+632+2n3n-1,-得：-2Tn=-2+4+2(31+32+3n-2)-2n3 n-1=2+2=-1+(1-2n)3n-1Tn=+(n-)3n-1 (n2).又Tn=a1=1也满足上式，Tn=+(n-)3n-1(nN*)(22)（本小题满分14分）如图，已知点F（1，0），直线l:x=-1,P为平面上的动点，过P作l的垂线，垂足为点Q，且（I）求动点P的轨迹C的方程;（II）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M.（1）已知的值;(2)求|的最小值.本小题考查直线、抛物线、向量等
15、基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.满分14分.解法一：（I）设点P（x,y）,则Q（-1，y）,由得：(x+1,0)(2,-y)=(x-1,y)(-2,y),化简得C：y2=4x.(II)（1）设直线AB的方程为：x=my+1(m0).设A（x1,y1）,B(x2,y2),又M（-1,-）.联立方程组,消去x得：y2-4my-4=0, =(-4m)2+120,由得：，整理得：,=-2-=0.解法二：（I）由，=0,所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为：y2=4x.(II)(1)由已知则：过点A、B分别作准l的垂线，垂足分别为A1、B1,则有：由得：（II）（2）解：由解法一：（）2|y1-yM|y2-yM| =(1+m2)|y1y2-yM(y1+y2)|+yM2| =(1+m2)|-4+4m+| = =4(2+m2+)4(2+2)=16.当且仅当，即m=1时等号成立，所以最小值为16.