函数逼近与计算课件.ppt

《函数逼近与计算课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数逼近与计算课件.ppt（32页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、关于函数逼近与计算现在学习的是第1页，共32页 所谓函数逼近是求一个简单的函数所谓函数逼近是求一个简单的函数 ,例如例如 是一个低次多项式是一个低次多项式,不要求不要求 通过已知的这通过已知的这n1个点个点,而是要求在整体上而是要求在整体上“尽量尽量好好”的逼近原函数。这时的逼近原函数。这时,在每个已知点上就会有在每个已知点上就会有误差误差 ,函数逼近就是从整函数逼近就是从整体上使误差体上使误差 尽量的小尽量的小一些。一些。2.数学描述数学描述 “对函数类对函数类A中给定的函数中给定的函数 ，要求在另，要求在另一类较简单的便于计算的函数类一类较简单的便于计算的函数类B中，求函数中，求函数 ，使

2、，使 与与 之差在某种度量之差在某种度量意义下最小。意义下最小。”()yP x()P x()yP x()(),0,1,2,kkf xP xkn()f x()P xBA()P x()f x()(),0,1,2,kkf xP xkn现在学习的是第2页，共32页 函数类函数类 A A通常是区间上的实连续函数，记作通常是区间上的实连续函数，记作 ；函数类；函数类B B通常是代数多项式，分式有通常是代数多项式，分式有理函数或三角多项式。理函数或三角多项式。中函数中函数 的的 -范数定义为范数定义为:-范数，它满足范数的三个性质：范数，它满足范数的三个性质：I I），当且仅当，当且仅当 时才有时才有 ；I

3、III）对任意对任意 成立，成立，a a为为任意实数；任意实数；III）对任意）对任意 ，有，有 ,C a b,C a b,fC a bmax()a x bff x 0f 0f 0f afaf,fC a b,f gC a b.fgfg现在学习的是第3页，共32页度量标准最常用的有两种，一种是度量标准最常用的有两种，一种是 在这种度量意义下的函数逼近称为在这种度量意义下的函数逼近称为一致逼近一致逼近或或均匀逼近；均匀逼近；另一种度量标准是另一种度量标准是 用这种度量的函数逼近称为均方逼近或用这种度量的函数逼近称为均方逼近或平平方逼近方逼近。这里符号。这里符号 及及 是范数。本章主要是范数。本章主

4、要研究在这两种度量标准下用代数多项式研究在这两种度量标准下用代数多项式 逼近逼近 。()()max()().a x bf xP xf xP x 22()()()()dbaf xP xf xP xx2()nP x(),f xC a b现在学习的是第4页，共32页 3.维尔斯特拉斯定理维尔斯特拉斯定理 用用 一致逼近一致逼近 ,首先要解决存在性首先要解决存在性问题，即对问题，即对 上的连续函数上的连续函数 ,是否存在是否存在多项式多项式 一致收敛于一致收敛于？维尔斯特拉斯？维尔斯特拉斯（Weierstrass）给出了下面定理：）给出了下面定理：定理定理1 设设 ，则对任何，则对任何 ,总总存在一个

5、代数多项式存在一个代数多项式 ，使，使在在 上一致成立。上一致成立。证明：略。（伯恩斯坦构造性证明）证明：略。（伯恩斯坦构造性证明）()nP x()f x,a b()f x()f x()nP x(),f xC a b0()P x()()f xP x,a b现在学习的是第5页，共32页假定函数的定义区间是假定函数的定义区间是0,1,可通过线性代换可通过线性代换:把把 映射到映射到 。对给定的对给定的 ，构造伯恩斯坦多项式，构造伯恩斯坦多项式,此为此为n次多项式次多项式:其中其中 ，且，且 这不但证明了定理这不但证明了定理1，而且给出了，而且给出了 的一个逼近的一个逼近多项式多项式 。多项式。多项

6、式 有良好的逼近有良好的逼近性质，但它收敛太慢，比三次样条逼近效果差得性质，但它收敛太慢，比三次样条逼近效果差得多，实际中很少被使用。多，实际中很少被使用。()tba xa0,1x,ta b()0,1f xC0(,)()nnkkkBf xfP xn()(1)kn kknP xxxk 0()1nkkP x()f x(,)nBf x(,)nBf x现在学习的是第6页，共32页2 2 函数平方逼近函数平方逼近 用均方误差最小作为度量标准，研究函数用均方误差最小作为度量标准，研究函数 的逼近多项式，就是最佳平方逼近的逼近多项式，就是最佳平方逼近问题。问题。若存在若存在 ，使，使 就是就是 在在 上的最

7、佳平方逼近多项式上的最佳平方逼近多项式.(),f xC a b*()nnP xH*222()()dinfbnnaP HfPf xPxxfP*()nP x()f x,a b(),1()d(0,1,)bnaxxxxn定义：设在区间(a,b)上非负函数满足条件：）存在且有限；现在学习的是第7页，共32页*0122*222*2()()()d0(,)()0()(,)(),span,()infinf()()()d()()banbaSSg xg xxxa bg xxa bf xC a bC a bSxfSfSxf xS xxSxf xC）对非负的连续函数，若，则在上，就是为区间上的权函数。对及中的一个子集，

8、若存在，使则称是在子集*02010,()()()(,)()()()d()njjjnbnjjaja bS xaxSxI a aaxaxf xxx中的最佳平方逼近函数。令，求等价于求多元函数的最小值。权函数。现在学习的是第8页，共32页由于由于 是关于是关于 的二次函的二次函数，利用多元函数求极值的必要条件数，利用多元函数求极值的必要条件于是有于是有 (内积定义内积定义 )01(,)nI a aa01,na aa0(0,1,)kIkna02()()()()d0nbjjkajkIxaxf xxxa(0,1,)kn0()()()d()()()dnbbjjkkaajaxxxxx f xxx 0(,)(,

9、)(0,1,)nkjjkjafkn(,)()()()dbaf gx f x g xx20()()()nbjjajIxaxf xdx现在学习的是第9页，共32页 这是关于 的线性方程组，称为法 方程，由于 线性无关，故系数行列 式 ，于是此方程组有唯一 解 ，从而得到0001000101111101(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)nnnnnnnnafafaf 01,na aa01,n 01(,)0nG*(0,1,)kkaakn*00()()().nnSxaxax现在学习的是第10页，共32页定理定理5.在在 上线性无关上线性无关的充分必要条件是它的克来姆（

10、的充分必要条件是它的克来姆（Gramer）行列）行列式式 ，其中，其中01(),(),()nxxx,a b0nG 00010101110101(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)nnnnnnnnGG *()()f xSx2*22*20(,)(,)(,)(,).nkkkfSfSffSffaf若令若令 ，则平方误差为，则平方误差为现在学习的是第11页，共32页 若取若取 ，则要在，则要在 中求中求n次最佳平方逼近多项式次最佳平方逼近多项式 若用若用H表示表示 对应的矩阵，对应的矩阵，即即(),()1,()0,1kkxxxf xCnH*0101010 (),1 (,)d,1

11、(,)()d.nnknkkkjjkkkkSxaa xa xa xxxkjff x xxd 此时(1,)nnGGxx现在学习的是第12页，共32页 此为希尔伯特（Hilbert）矩阵，记 ，则 的解 即为所求。11/21/(1)1/21/31/(2)1/(1)1/(2)1/(21)nnHnnn0(,)TndddHad*(0,1,)kkaa kn现在学习的是第13页，共32页例例:设设 ，求，求0,10,1上的一次最佳平方上的一次最佳平方逼近多项式。逼近多项式。解解:利用公式利用公式得得 方程组为方程组为解出解出 2()1f xx011*1010()1,(),()()iiixxxSxaxaa x1

12、12201001d1.147,1d0.609dxxdxxx01111.1472110.60923aa01*10.934,0.426()0.9340.426.aaSxx现在学习的是第14页，共32页平方误差平方误差最大误差最大误差 用用 做基，求最佳平方逼近多项做基，求最佳平方逼近多项式，当式，当n较大时，系数矩阵是高度病态的，求法较大时，系数矩阵是高度病态的，求法方程的解，舍入误差很大，这时要用正交多项方程的解，舍入误差很大，这时要用正交多项式做基，才能求得最小平方逼近多项式。式做基，才能求得最小平方逼近多项式。2*12012010(,)(,)(,)(,)(1)d0.9340.4260.002

13、6.nkkkf fSff fafxxdd2*101max1()0.066.xxSx 1,nxx现在学习的是第15页，共32页3 3正交多项式正交多项式 若首项系数若首项系数 的的n次多项式次多项式 ,满足满足就称多项式序列就称多项式序列 ，在，在a,ba,b上带上带权权 正交，并称正交，并称 是是 a,ba,b上带权的上带权的n次次正交多项式。正交多项式。0na()nx0,(,)()()()d0;(,0,1,)bjkjkakjkxxxxAjkj k 01,n()x()nx0001000101111101(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)nnnnnnnnaf

14、afaf 现在学习的是第16页，共32页 构造正交多项式的格拉姆施密特（构造正交多项式的格拉姆施密特（Gram-Schmidt）方法方法定理：按以下方式定义的多项式集合定理：按以下方式定义的多项式集合 是区是区间间a,ba,b上关于权函数上关于权函数 的正交函数族。的正交函数族。01,n()0 x0111221112111211122 ()1 ()()()()()(2,3,)()()(,)(1,)(,)()()()()(,)(,)()kkkkkbkkkakbkkkabkkkakkkkxxxxxxxknx xx dxxknxx dxxx dxx，其中22 (2,3,)()baknx dx证明：可

15、用归纳法。（略）现在学习的是第17页，共32页例：求例：求 在在0，1上的二次最佳平上的二次最佳平方逼近多项式。方逼近多项式。解：解：构造正交多项式构造正交多项式()sinf xx1000011000120111121211012011200(,)1()1 (,)211()1(,)12()12(,)2()21()(,)2 (,)xdxxxdxx xdxxxxxxdxxdx 101121dx现在学习的是第18页，共32页22221201120011001122220001111()()()()()212611 (,)11 (,)()212112(,)()(,)sin61801 (,)()sin0

16、2xxxxxxxdxxdxxxdxfxdxfxxdx 于是10212230012012001122 112 (,)()sin 63()sin0 1(,)(,)(,)()()()()(,)(,)(,)4.122fxxxdxf xxfffxxxx 故在，上的二次最佳平方逼近多项式为254.12250.05047xx现在学习的是第19页，共32页3-1勒让德多项式勒让德多项式 当区间为当区间为-1,1，权函数，权函数 时，由时，由 正交化得到的多项式就称为勒让正交化得到的多项式就称为勒让德德(Legendre)多项式，并用多项式，并用 表示。表示。是是n次多项式，对其次多项式，对其n次求导后得次求导

17、后得()1x1,nxx01(),(),(),nP x P xP x201()1,()(1)(1,2,3,),2!nnnnndP xP xxnn dx()nP x1101()(2)(21)(1)2!nnnnnP xnnnxaxan现在学习的是第20页，共32页首项首项 的系数的系数 显然最高项系数为显然最高项系数为1的勒让德多项式为的勒让德多项式为 nx21(2)!(2)(21)(1).2!2(!)nnnnannnnn2!()(1)(2)!nnnnndP xxndx21()(1)2!nnnnndP xxn dx现在学习的是第21页，共32页勒让德勒让德(Legendre)多项式具体表达式为多项式

18、具体表达式为0123234240()1 ()11()(31)()(53)221()(35303)8 (1)(22)!()2!()!(2)!nknnkP xP xxP xxP xxxP xxxnkP xk nknk22 (0,1,2,),nkxn现在学习的是第22页，共32页性质性质1 正交性正交性证明：反复用分部积分公式，略。证明：反复用分部积分公式，略。性质性质2 2 奇偶性奇偶性n为偶数时为偶数时 为偶函数，为偶函数，n为奇数时为奇数时 为奇函数。为奇函数。性质性质3 3 递推关系递推关系证明略。证明略。110,;()()2,.21nmmnP x P x dxmnn()(1)()nnnPx

19、P x()nP x()nP x11(1)()(21)()()(1,2,3,),nnnnPxnxP xnPxn21()(1)2!nnnnndP xxn dx现在学习的是第23页，共32页性质性质4 在所有最高项系数为在所有最高项系数为1 的的n次多项式中，次多项式中，勒让德多项式勒让德多项式 在在1，1上与零的平上与零的平方误差最小。方误差最小。性质性质5 在区间在区间1，1内有内有n个不同的个不同的实零点。实零点。()nP x()nP x现在学习的是第24页，共32页3-2第一类切比雪夫（第一类切比雪夫（Chebyshev）多项式）多项式 当区间为当区间为-1,1，权函数，权函数 时，时，由序

20、列由序列 正交化得到的正交多项式正交化得到的正交多项式就是第一类切比雪夫（就是第一类切比雪夫（Chebyshev）多项式。它）多项式。它可表示为可表示为 若令若令 当当 在在-1,1上变化时，对应上变化时，对应的的 在在0，上变化，其可改写成上变化，其可改写成21()1xx1,nxx()cos(arccos),1.nT xnxxcos,xx()cos,0.nT xn现在学习的是第25页，共32页具体表达式为具体表达式为 是首项系数为是首项系数为 的的n n次多项式。次多项式。0122233424220()cos 01 ()cos()cos 22 cos121()cos 343()cos 488

21、1 (1)!()(1)(2)2!(2)!nknknkTxTxxTxxTxxxTxxxnnkTxxknk()nT x12n现在学习的是第26页，共32页性质性质1 递推关系递推关系这只要由三角恒等式这只要由三角恒等式 性质性质2 最高项系数为最高项系数为1的的 对零的偏差最小。对零的偏差最小。即在区间即在区间-1,1-1,1上所有最高项系数为上所有最高项系数为1的一切的一切n次多项式中，次多项式中，与零的偏差最小，与零的偏差最小，偏差为其偏差为其 11()2()()(1,2,)nnnTxxT xTxncos(1)2coscoscos(1)(1)nnnn()cos(arccos),1.cosnT

22、xnxxx（令即得）()nT x11()()2nnnxT x11.2n现在学习的是第27页，共32页性质性质3 切比雪夫多项式切比雪夫多项式 在区间在区间-1,1上带上带权权 正交，且正交，且()kT x21()1xx1210,()(),0;21,0.nmnmT x Tx dxnmxnm1210cos,sin,0,()()coscos,0;21,0.nmxdxdnmT x Tx dxnm dnmxnm 令则于是()cos.nT xn现在学习的是第28页，共32页 性质性质4 只含只含 的偶次幂，的偶次幂，只只含含 的奇次幂的奇次幂.性质性质5 在区间在区间-1，1上有个上有个n零点零点 2()kTxxx21()kTx()nT x21cos,1,.2kkxknn 现在学习的是第29页，共32页 可用可用 的线性组合表示，其的线性组合表示，其公式为公式为具体表达式为具体表达式为 nx01,nT TT21202().nnnnkknxTxk 01230213450241351 11()(3)2411(34)(105)816 TxTxTTxTTxTTTxTTT现在学习的是第30页，共32页31现在学习的是第31页，共32页感谢大家观看感谢大家观看9/4/2022现在学习的是第32页，共32页