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1、第3章 函数逼近与计算1第1页，本讲稿共39页2第2页，本讲稿共39页由于由于是关于是关于的二次函的二次函数，利用多元函数求极值的必要条件数，利用多元函数求极值的必要条件于是有于是有(内积定义内积定义)3第3页，本讲稿共39页这是关于这是关于的线性方程组，称为法的线性方程组，称为法方程，由于方程，由于线性无关，故系数行列线性无关，故系数行列式式，于是此方程组有唯一，于是此方程组有唯一解解，从而得到，从而得到4第4页，本讲稿共39页定理定理5.在在上线性无关上线性无关的充分必要条件是它的克来姆（的充分必要条件是它的克来姆（Gramer）行列）行列式式，其中，其中5第5页，本讲稿共39页若令若令
2、，则平方误差为，则平方误差为由于由于 所以所以6第6页，本讲稿共39页若取若取，则要在，则要在中求中求n次最佳平方逼近多项式次最佳平方逼近多项式若用若用H表示表示对应的矩阵，对应的矩阵，即即7第7页，本讲稿共39页此为希尔伯特（此为希尔伯特（Hilbert）矩阵，）矩阵，记记，则，则的解的解 即为所求。即为所求。8第8页，本讲稿共39页例例:设设 ，求，求0,10,1上的一次最佳平方上的一次最佳平方逼近多项式。逼近多项式。解解:利用公式利用公式得得 方程组为方程组为解出解出9第9页，本讲稿共39页平方误差平方误差最大误差最大误差用用做基，求最佳平方逼近多项做基，求最佳平方逼近多项式，当式，当n
3、较大时，系数矩阵是高度病态的，求法较大时，系数矩阵是高度病态的，求法方程的解，舍入误差很大，这时要用正交多项方程的解，舍入误差很大，这时要用正交多项式做基，才能求得最小平方逼近多项式。式做基，才能求得最小平方逼近多项式。10第10页，本讲稿共39页4正交多项式正交多项式若首项系数若首项系数的的n次多项式次多项式,满足满足就称多项式序列就称多项式序列 ，在，在a,ba,b上带上带权权 正交，并称正交，并称 是是 a,b a,b上带权的上带权的n次次正交多项式。正交多项式。11第11页，本讲稿共39页构造正交多项式的格拉姆施密特（构造正交多项式的格拉姆施密特（Gram-Schmidt）方法方法定理
4、：按以下方式定义的多项式集合定理：按以下方式定义的多项式集合 是区是区间间a,ba,b上关于权函数上关于权函数 的正交函数族。的正交函数族。12第12页，本讲稿共39页例：求例：求在在0，1上的二次最佳平上的二次最佳平方逼近多项式。方逼近多项式。解：解：构造正交多项式构造正交多项式 13第13页，本讲稿共39页14第14页，本讲稿共39页4-1勒让德多项式勒让德多项式当区间为当区间为-1,1，权函数，权函数时，由时，由正交化得到的多项式就称为勒让正交化得到的多项式就称为勒让德德(Legendre)多项式，并用多项式，并用表示。表示。是是n次多项式，对其次多项式，对其n次求导后得次求导后得15第
5、15页，本讲稿共39页首项首项 的系数的系数 显然最高项系数为显然最高项系数为1的勒让德多项式为的勒让德多项式为 16第16页，本讲稿共39页勒让德勒让德(Legendre)多项式具体表达式为多项式具体表达式为17第17页，本讲稿共39页性质性质1正交性正交性证明：反复用分部积分公式，略。证明：反复用分部积分公式，略。性质性质2 2 奇偶性奇偶性n为偶数时为偶数时 为偶函数，为偶函数，n为奇数时为奇数时 为奇函数。为奇函数。性质性质3 3 递推关系递推关系证明略。证明略。18第18页，本讲稿共39页性质性质4在所有最高项系数为在所有最高项系数为1的的n次多项式中，次多项式中，勒让德多项式勒让德
6、多项式 在在1，1上与零的平上与零的平方误差最小。方误差最小。性性质质5在在区区间间1，1内内有有n个个不不同同的的实零点。实零点。19第19页，本讲稿共39页4-2第一类切比雪夫（第一类切比雪夫（Chebyshev）多项式）多项式 当区间为当区间为-1,1，权函数，权函数时，时，由序列由序列正交化得到的正交多项式正交化得到的正交多项式就是第一类切比雪夫（就是第一类切比雪夫（Chebyshev）多项式。它）多项式。它可表示为可表示为若令若令当当在在-1,1上变化时，对应上变化时，对应的的在在0，上变化，其可改写成上变化，其可改写成20第20页，本讲稿共39页具体表达式为具体表达式为 是首项系数
7、为是首项系数为 的的n n次多项式。次多项式。21第21页，本讲稿共39页性质性质1递推关系递推关系这只要由三角恒等式这只要由三角恒等式 性质性质2最高项系数为最高项系数为1的的 对零的偏差最小。对零的偏差最小。即在区间即在区间-1,1-1,1上所有最高项系数为上所有最高项系数为1的一切的一切n次多项式中，次多项式中，与零的偏差最小，与零的偏差最小，偏差为其偏差为其 22第22页，本讲稿共39页例例：求求在在-1,1上上的的最最佳佳2次次逼近多项式。逼近多项式。解：最佳逼近多项式应满足解：最佳逼近多项式应满足由性质由性质2知，当知，当即即时，与零偏差最小，故时，与零偏差最小，故就是就是在在-1
8、,1上的最佳上的最佳2次逼近多项式。次逼近多项式。23第23页，本讲稿共39页性质性质3切比雪夫多项式切比雪夫多项式在区间在区间-1,1上带上带权权正交，且正交，且24第24页，本讲稿共39页性质性质4只含只含的偶次幂，的偶次幂，只只含含的奇次幂的奇次幂.性质性质5在区间在区间-1，1上有个上有个n零点零点25第25页，本讲稿共39页可可用用的的线线性性组组合合表表示示，其其公式为公式为具体表达式为具体表达式为 26第26页，本讲稿共39页4-3其他常用的正交多项式其他常用的正交多项式 一般说，如果区间一般说，如果区间-1,1及权函数及权函数不同不同,则得到的正交多项式也不同。除上述两种最重要
9、则得到的正交多项式也不同。除上述两种最重要的正交多项式外，下面再给出三种较常用的正交的正交多项式外，下面再给出三种较常用的正交多项式。多项式。1、第二类切比雪夫多项式、第二类切比雪夫多项式在区间在区间-1,1上带权上带权的正交多项的正交多项式称为第二类切比雪夫多项式，其表达式为式称为第二类切比雪夫多项式，其表达式为27第27页，本讲稿共39页由由，可得，可得即即是是-1,1上带权上带权的正交多项的正交多项式族，还可得到递推关系式式族，还可得到递推关系式28第28页，本讲稿共39页2.拉盖尔多项式拉盖尔多项式在区间在区间 上带权上带权 的正交多项式称为的正交多项式称为拉盖尔（拉盖尔（Laguer
10、re）多项式，其表达式为）多项式，其表达式为 它也具有正交性质它也具有正交性质 和递推关系和递推关系29第29页，本讲稿共39页3、埃尔米特多项式、埃尔米特多项式在区间在区间上带权上带权的正交多项式的正交多项式称为埃尔米特（称为埃尔米特（Hermite）多项式，其表达式为）多项式，其表达式为它满足正交关系它满足正交关系并有递推关系并有递推关系30第30页，本讲稿共39页4-4函数按正交多项式展开函数按正交多项式展开设设，用正交多项式，用正交多项式作基，求最佳平方逼近多项式作基，求最佳平方逼近多项式由由的正交性及方程组求解，可求得系数的正交性及方程组求解，可求得系数于是，于是，的最佳平方逼近多项
11、式为的最佳平方逼近多项式为31第31页，本讲稿共39页均方误差为均方误差为下面考虑函数下面考虑函数按勒让德多项式按勒让德多项式展开求最佳平方逼近多项式展开求最佳平方逼近多项式,根据上面公式有根据上面公式有其中其中 平方误差为平方误差为32第32页，本讲稿共39页例：求例：求 在在-1,1-1,1上的三次最佳平方逼近多项式。上的三次最佳平方逼近多项式。33第33页，本讲稿共39页故三次最佳平方逼近多项式三次最佳平方逼近多项式 均方误差均方误差 最大误差最大误差 34第34页，本讲稿共39页如果如果，求，求上的最佳上的最佳平方逼近多项式，做变换平方逼近多项式，做变换于是于是在在-1,1上可用上可用
12、勒让德多项式做最佳平方逼近多项式勒让德多项式做最佳平方逼近多项式，从而得到从而得到区间上的最佳平方逼近多项式区间上的最佳平方逼近多项式。35第35页，本讲稿共39页例：用Legendre正交多项式做基函数，求 在区间0,1上的一次最佳平方逼近多项式。解：在区间-1,1上的一次最佳平方逼近多项式 ，由36第36页，本讲稿共39页可知37第37页，本讲稿共39页由于勒让德多项式由于勒让德多项式是在区间是在区间-1,1上由上由正交化得到的，因此利用函正交化得到的，因此利用函数的勒让德展开部分和得到最佳平方逼近多项数的勒让德展开部分和得到最佳平方逼近多项式与由式与由直接通过解法方程得到直接通过解法方程得到中的最佳平方逼中的最佳平方逼近多项式是一致的，只是当近多项式是一致的，只是当n较大时求法方程出较大时求法方程出现病态方程，计算误差较大，不能使用现病态方程，计算误差较大，不能使用，而用，而用勒让德展开不用解线性方程组勒让德展开不用解线性方程组，不存在病态问，不存在病态问题，计算公式也较方便题，计算公式也较方便，因此通常都用这种方，因此通常都用这种方法求最佳平方逼近多项式。法求最佳平方逼近多项式。38第38页，本讲稿共39页39第39页，本讲稿共39页