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1、计算方法函数逼近与计算2022/11/291第1页，本讲稿共26页7 曲线拟合的最小二乘法什么是插值？什么是拟合？Chapter3函数逼近2022/11/292第2页，本讲稿共26页什么是插值？什么是拟合？7 曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近2022/11/293第3页，本讲稿共26页实例：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数是记录:7 曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近2022/11/294第4页，本讲稿共26页 纤维强度随拉伸倍数增加而增加，并且24个点大致分布在一条直线附近，因此可以认为强度y与拉伸倍数x的主要关
2、系是线性关系：7 曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近2022/11/295第5页，本讲稿共26页7 曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近2022/11/296第6页，本讲稿共26页7 曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近仍然定义平方误差2022/11/297第7页，本讲稿共26页7 曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近我们选取的度量标准是（7.1）2022/11/298第8页，本讲稿共26页7 曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近2022/11/299第9页，本讲稿共26页法方程组7 曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近由可知因此可假设二次函数
3、因此求最小二乘解转化为2022/11/2910第10页，本讲稿共26页7 曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近由多元函数取极值的必要条件得即2022/11/2911第11页，本讲稿共26页7 曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近即2022/11/2912第12页，本讲稿共26页7 曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近引入记号则由内积的概念可知显然内积满足交换律2022/11/2913第13页，本讲稿共26页7 曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近将其表示成矩阵形式（7.7）2022/11/2914第14页，本讲稿共26页7 曲线拟合的最小二乘法Chapter3函
4、数逼近并且其系数矩阵为对称阵。所以法方程组的系数矩阵非奇异,即根据Cramer法则,法方程组有唯一解：2022/11/2915第15页，本讲稿共26页7 曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近即是的最小值。所以因此误差平方和2022/11/2916第16页，本讲稿共26页7 曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近 例 已知观测数据(1,5),(2,0),(4,5),(5,6)，试用最小二乘法求形如 的经验公式。法一法一 解：解：求a、b使F最小，整理得：2022/11/2917第17页，本讲稿共26页7 曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近求得 a=1.537650114
5、b=6.432976311 所求经验公式为 代入数据：例 已知观测数据(1,5),(2,0),(4,5),(5,6)，试用最小二乘法求形如 的经验公式。2022/11/2918第18页，本讲稿共26页 例 已知观测数据(1,5),(2,0),(4,5),(5,6)，试用最小二乘法求形如 的经验公式。法方程组为 法二法二 解：解：7 曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近2022/11/2919第19页，本讲稿共26页 例 已知观测数据(1,5),(2,0),(4,5),(5,6)，试用最小二乘法求形如 的经验公式。7 曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近2022/11/2920第
6、20页，本讲稿共26页7 曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近多项式拟合多项式拟合2022/11/2921第21页，本讲稿共26页7 曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近2022/11/2922第22页，本讲稿共26页7 曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近 例 已知一组观测数据表，试用最小二乘法求一个多项式拟合这组数据。x0 1 2 3 4 5y5 2 1 1 2 3 解 作散点图，可以看出这些点接近一条抛物线，因此设所求的多项式为 其法方程组为 2022/11/2923第23页，本讲稿共26页7 曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近得 a0=4.714 3,
7、a1=-2.785 7,a2=0.500 0 2022/11/2924第24页，本讲稿共26页例 求一个经验函数,使它与观测数据拟合。x12345678y14.320.527.436.649.164.687.8117.67 曲线拟合的最小二乘法指数函数形式两边取对数,得解：x12345678y2.663.023.313.603.894.174.484.77求解直线拟合得a,b,2022/11/2925第25页，本讲稿共26页7 曲线拟合的最小二乘法基于Matlab的曲线拟合 用k次多项式拟合向量数据(x,y)，返回多项式的降幂系数，当k=n-1时，Polyfit实现多项式插值，这里n是向量维数。2022/11/2926第26页，本讲稿共26页