几种特殊的代数系统课件.ppt

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1、关于几种特殊的代数系统1现在学习的是第1页，共109页6.1 半群和独异点定义6.1.1半群 设V=是代数系统, 为二元运算如果是可结合的,则称V为半群2现在学习的是第2页，共109页例6.1是半群。,都是半群，其中+表示普通加法。是半群,其中表示矩阵乘法。是半群,其中表示集合的对称差运算是半群,其中Zn =0,1,n-1, 表示模n加法。3现在学习的是第3页，共109页因为半群V=中的运算是可结合的,可以定义运算的幂对任意的xS,规定xn是 x1=x, xn+1= xnx , n为正整数。易证x的幂遵从以下规律： xn xm= xn+m , (xn)m= xnm ,n为正整数半群中运算的幂4

2、现在学习的是第4页，共109页例5现在学习的是第5页，共109页定理 6.1.1 定理6.1.1若V=是半群, S为有限集合，则S中必含有幂等元。证明：设=是半群,对任何aS,有a2 ,a3. S,.由于S为有限集合，所以必存在ji,使得ai aj。 令p=j-i,便有 aiaj ap *ai 所以，am ap *am （mi)令m=kp, akp ap *akp ap *(ap *akp )= a2p *akp =akp *akp令b= akp ,有b= b* b, 即S中含有幂等元6现在学习的是第6页，共109页定义6.1.2 可交换半群 如果半群V=中的二元运算*是可交换的,则称V为可交

3、换半群.定义6.1.3 独异点 如果半群V=中的二元运算含有幺元,则称V为含幺半群,也可叫做独异点. 为了强调幺元的存在,有时将独异点记为。7现在学习的是第7页，共109页例6.2是可交换半群。,都是可交换半群和独异点，其中+表示普通加法。幺元是0。,是半群和独异点,其中表示矩阵乘法。矩阵乘法的幺元是n阶单位矩阵E. 是半群和独异点,其中表示集合的对称差运算对称差运算的幺元是.是半群和独异点,其中Zn =0,1,n-1, 表示模n加法。模n加法的幺元是0. .8现在学习的是第8页，共109页在独异点V=中,如果规定x0=e(x是S中的任意元素),那么有关半群中幂的定义可以变成 x0=e xn+

4、1= xn x n为非负整数而关于幂的两个运算公式不变,只要其中的m和n是非负整数就可以了。独异点中运算的幂9现在学习的是第9页，共109页在独异点V=中,如果规定x0=e(x是S中的任意元素),那么有关半群中幂的定义可以变成 x0=e xn+1= xn x n为非负整数而关于幂的两个运算公式不变,只要其中的m和n是非负整数就可以了。独异点中运算的幂10现在学习的是第10页，共109页注意： 此定理对半群不成立。定理6.1.2 一个有限独异点 的运算表中不会有任何两行或两列元素相同。11现在学习的是第11页，共109页独异点的子代数叫做子独异点.对独异点V=, 构成V的子独异点，需要满足：u

5、T是S的非空子集，v T要对V中的运算封闭，w eT，即可。子独异点12现在学习的是第12页，共109页13现在学习的是第13页，共109页半群同态定义6.3 设V1 =, V2=为半群, : S T，且对任意x,yS有 (xy)= (x)* (y)则称为半群V1到V2的同态14现在学习的是第14页，共109页例 半群V=,其中S=.是矩阵乘法。令 : S S,那么有 = = =这说明 是半群V的自同态,但不是满自同态15现在学习的是第15页，共109页V1= , V2=是独异点,设 : S1 S2 ,如果对任意x,yS1都有 (xy)= (x)* (y) (e1)=e2,则称为独异点V1到V

6、2的同态补充： 独异点的同态16现在学习的是第16页，共109页例 独异点V= 其中S= ， .是矩阵乘法。令 : S S,那么对任意x,yS都有 17现在学习的是第17页，共109页但是而 不是独异点V的么元,因此,不是独异点V 的自同态。这就是说,如果把V看作半群,则是V的自同态 ;如果把V看作独异点,则就不是它的自同态了。18现在学习的是第18页，共109页定理：设V1 =, V2=为半群, f为 S 到 T的半群同态，则对半群同态有（1）同态象为一半群。（2）若为独异点，则 也为独异点19现在学习的是第19页，共109页群定义 设G,。是代数系统, 。为二元运算如果 。是可结合的, 存

7、在幺元eG, 并且G中的任意元素x,都有x-1G,则称G是群.20现在学习的是第20页，共109页例 ,都是群; 是群,其中表示集合的对称差运算元素的逆元是自身； 是群,其中Zn =0,1,n-1, 表示模n加法。0的逆元是0,非0元素的逆元是n-x.不是群; 是群;21现在学习的是第21页，共109页例 设Ge,a,b,c, 。为G上的二元运算,它由以下运算表给出不难证明G是一个群. e e为为G G中的幺元中的幺元, ,。是可交换的是可交换的. .任何任何G G中的元素与自己运算中的元素与自己运算的结果都等于的结果都等于e.e.在在a,b,ca,b,c三个元素中三个元素中, ,任任何两个元

8、素运算的结果何两个元素运算的结果都等于另一个元素都等于另一个元素. .一般称这个群为一般称这个群为KleinKlein四四元群元群. .22现在学习的是第22页，共109页群的术语 若群G中的二元运算是可交换的,则称群G为交换群,也叫做阿贝尔(Abel)群l ,都是群,也是阿贝尔(Abel)群;l 是群, ,也是阿贝尔(Abel)群; l是群, ,也是阿贝尔(Abel)群.lKlein四元群也是阿贝尔群23现在学习的是第23页，共109页定理 设为一个群， 为阿贝尔群的充分必要条件是对任意x,y G,有(x*y)*(x*y)=(x*x)(y*y)24现在学习的是第24页，共109页无限群 有限

9、群 若群G中有无限多个元素,则称G为无限群,否则称为有限群.例如,都是无限群.是有限群.Klein四元群也是有限群.25现在学习的是第25页，共109页群的阶 对于有限群G,G中的元素个数也叫做G的阶,记作|G|.是有限群,其阶是n.Klein四元群也是有限群,其阶是4.26现在学习的是第26页，共109页在群G中,由于G中每个元素都有逆元，所以可以定义负的幂，对任意 xG, n为正整数,那么有关群中幂的定义可以变成 x0=e xn+1= xn *x n为非负整数 x-n= (x-1) n, n为正整数而关于幂的两个运算公式不变,只要其中的m和n是任意整数就可以了。群中运算的幂27现在学习的是

10、第27页，共109页群的性质定理 设G为群,则G中的幂运算满足 xG, (x-1)-1x x,yG, (x*y)-1y-1*x-1 x1,x2,xnG,(x1 * x2 * xn)-1xn-1x2-1x1-1 xG, xn * xmxn+m xG,(xn)mxnm. m,n是整数28现在学习的是第28页，共109页定理6.1.6 设 为群，则（1）G有唯一的幺元，G的每个元素恰有一个逆元；（2）G为群,a,bG,方程a*xb和y*ab在G中有解,且有唯一解（3）当G不等于e时，G无零元29现在学习的是第29页，共109页c=ec30现在学习的是第30页，共109页例 设G=,其中为集合的对称差

11、运算,求下列群方程a X=, Y a,b=b解 X=a-1 =a =aY=b a,b-1 =b a,b=a31现在学习的是第31页，共109页消去律定理6.1.7 G为群,则G中适合消去律,即对任意a,b,cG有 (1)若a*ba*c,则bc. (2)若b*ac*a,则bc.32现在学习的是第32页，共109页定理 设为有限独异点,适合消去律，证明为群。定理6.1.8 设为一群,则幺元是G的唯一的幂等元。33现在学习的是第33页，共109页 设为群, 用aG和Ga分别表示下列集合 Ga=g*a| g G aG=a*g| G则有定理6.1.9 设为一群,a为G中任意元素,那么 aG=G=Ga34

12、现在学习的是第34页，共109页通过运算表判断哪些代数系统不是群设S是一个非空集合,从集合S到S的一个双射称为S的一个置换.例如:对于集合S=a,b,c,d,将a映射到b,b映射到d,c映射到a,d映射c是一个从S到S的一对一映射,这个置换可以表示为:a b c db d a c35现在学习的是第35页，共109页定理 G为有限群,则G的运算表中的每一行(每一列)都是G中元素的一个置换,且不同的行(或列)的置换都不相同。或者说 G为有限群,则G的运算表中的每一行(每一列)都是G中元素的一个全排列判断方法36现在学习的是第36页，共109页元素x的阶 设G是群,xG,使得xke成立的最小的正整数

13、k叫做x的阶(或周期) 如果不存在正整数k,使xke,则称x是无限阶的. 对有限阶的元素x,通常将它的阶记为|x|. 在任何群G中幺元e的阶都是137现在学习的是第37页，共109页例在Klein四元群中,|a|=?,|b|=?,|c|=?,|e|=?38现在学习的是第38页，共109页设设G=0，60，120，180，240，300,在在G上上定定义义二二元元运运算算*,如如表表所所示示，说说明明中中元元素素的的阶阶。 * 0 60 120 180 240 300 0 0 60 120 180 240 300 60 60 120 180 240 300 0 120 120 180 240 3

14、00 0 60 180 180 240 300 0 60 120 240 240 300 0 60 120 180 300 300 0 60 120 180 240 39现在学习的是第39页，共109页下面一些结论：定理定理6.1.10. 6.1.10. 设是有限群，|G |n，则G中每个元素的阶 n。定理定理6.1.11. 6.1.11. 设是群，aG，a的阶为r，即|a|r.若ane当且仅当 r整除n。定理定理6.1.12. 6.1.12. 设是群，gG，则g与g1有相同的阶。40现在学习的是第40页，共109页例例. . 设是n阶有限群，证明 1) G中阶大于2的元素的个数一定是偶数。

15、2)若n是偶数，则G中阶等于2的元素个数一定是奇数。41现在学习的是第41页，共109页定理6.1.13 设为一个群， 为阿贝尔群的充分必要条件是对任意x,y G,有(x*y)*(x*y)=(x*x)(y*y)42现在学习的是第42页，共109页第6章 几个典型的代数系统6.1 半群与群6.2 子群6.3 循环群和置换群6.4 陪集与拉格朗日定理6.5 正规子群、商群和同态基本定理6.6 环与域43现在学习的是第43页，共109页子群定义6.2.1 设群,H是G的非空子集如果H关于G中的运算*构成群,则称为的子群,记作HG.例如,在群中,取 2Z2x|xZ则2Z关于加法构成的子群.同样,0也是

16、的子群.44现在学习的是第44页，共109页例在Klein四元群中,G=e,a,b,c中,有5个子群,它们是:e,e,a,e,b,e,c,G平凡子群是真子群是45现在学习的是第45页，共109页判定定理定理 设为群, 为的子群的 充要条件是 (1) G的幺元e H (2) 若a,bH,则a*bH (3) 若aH,则a-1H定理 设为群, H是G的非空有限子集， 且H对*运算封闭，那么为 的子群。46现在学习的是第46页，共109页子群的性质定理6.2.3 设为群,H是G的非空子集.那么 是的子群的充分必要条件是对任意x,yH都有x*y-1H47现在学习的是第47页，共109页例 设G为群,(1

17、)对任何aG,令 Hak|kZ,即x的所有幂的集合不难判定H是G的子群因为任取H中的元素am,al,都有 am(al)-1ama-lam-lH.称这个子群是由元素x生成的子群,记作注意：由a生成的子群是包含a的最小子群。48现在学习的是第48页，共109页例49现在学习的是第49页，共109页群G的中心 设G为群,令C是与G中所有的元素都可交换的元素构成的集合,即Ca|aGxG(ax=xa),称C为群G的中心. 50现在学习的是第50页，共109页群G的应用群在计算机科学中有十分重要的应用，下面以图书国际标准书号ISBN号的校验位为例，说明其应用。可以发现错误或顺序颠倒。例1：书ISBN号为7

18、-5053-8708-1（中国-电子工业出版社-书编号-校验码），由10位数字组成。 x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10,校验位通过下列余式计算 1x1 + 2 x2 + 3x3 + 4x4 + 5 x5 + 6 x6 + 7 x7 + 8 x8 + 9 x9 =x10 （ mod 11) 221= x10 （ mod 11) 1=x10 （ mod 11)现有错误书号7-5053-8705 计算 194= x10 （ mod 11) 7=x10 （ mod 11) 发现错误。例2：书号7-5062-0335-7和7-5062-0353-7。前一个错，因为141= 7（ mod 11)

19、9= 7（ mod 11)；后一个139= 7（ mod 11)，7= 7（ mod 11) 正确。说明有组数据顺序错了。 51现在学习的是第51页，共109页第6章 几个典型的代数系统6.1 半群与群6.2 子群6.3 循环群和置换群6.4 陪集与拉格朗日定理6.5 正规子群、商群和同态基本定理6.6 环与域52现在学习的是第52页，共109页循环群定义6.3.1 在群G中如果存在aG使得 G=ak|kZ而称G为循环群,记作G=,称a为G的生成元.（约定a0=e) 所谓循环群，就是群中的每个元素都可表示成某个固定元素a的整数次幂。53现在学习的是第53页，共109页设设 G=0，60，120

20、，180，240，300,在在 G 上定义二元运算上定义二元运算*,如表所示，说如表所示，说明明是个循环群。是个循环群。 * 0 60 120 180 240 300 0 0 60 120 180 240 300 60 60 120 180 240 300 0 120 120 180 240 300 0 60 180 180 240 300 0 60 120 240 240 300 0 60 120 180 300 300 0 60 120 180 240 54现在学习的是第54页，共109页 是循环群,1或-1为生成元; 是循环群,其中2为生成元； 是循环群,其中1,3为生成元；55现在学习

21、的是第55页，共109页 在循环群G=中,生成元a的阶与群G的阶是一样的.如果a是有限阶元,|a|n,则称G为n阶循环群.如果a是无限阶元,则称G为无限阶循环群.n阶循环群56现在学习的是第56页，共109页定理定理6.3.26.3.2 设是由a生成的有限群，则有 G=e,a1 ,a2 an-1,其中n=|G|,也是a 的阶。 n阶循环群必同构于证明：设a的阶为k，则H=e,a1 ,a2 ak-1为G的子群，H G。现证明G H。任取amG,如果不属于H，则m=kt+r rkam= akt+r= akt*ar = ar H 矛盾。设有映射： Zn ，任意f(ai）=i 证明该映射是同构映射。5

22、7现在学习的是第57页，共109页定理定理6.3.3. 6.3.3. 设为无限循环群，且G=,则G 只有两个生成元a和a-1。且同构 于证明：（1）证明a-1 是生成元（2）证只有这两个。假设还有一个b, aG,有a= bt,又因bG, b= ak, a= bt= akt akt-1=e kt=1,t=1或t=-1 设有映射：，任意f(ai）=i 证明该映射是同构映射。 58现在学习的是第58页，共109页 例1：在 群中取1 I,由于010,n=1n,-n=(-1)n=1-n 故I中的每个元素都可表示成1的整数次幂。 由循环群的定义知是循环群，1是循环群的生成元。 例2： 1,-1,i,-i

23、, 是循环群，生成元为i和-i。59现在学习的是第59页，共109页例3：生成元为c, d结论：结论：循环群的循环群的生成元可生成元可以不唯一以不唯一60现在学习的是第60页，共109页定理：任何一个循环群必定是阿贝尔群。61现在学习的是第61页，共109页 定理定理. 设设是循环群，则是循环群，则是交换群。是交换群。 反之不然。例 Klein 四元群 * e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e 62现在学习的是第62页，共109页定理定理6.3.46.3.4 循环群的子群都是循环群。定理定理6.3.5 6.3.5 设为a生成的循环群，（

24、1）若G是无限循环群，则G有无限多个子群， 它们分别由e,a1 ,a2 an-1生成。（2）若G是有限循环群，阶为n，则G的子群 的阶都是n的因子。对于n的正因子d，在G 中只有一个d阶子群，就是由an/d生成的 子群。63现在学习的是第63页，共109页置换群定义6.3.3 置换 有限集有限集上的双射函数称为置换64现在学习的是第64页，共109页置换群定义6.3.3 设S1,2,n,S上的任何双射函数:SS构成了S上n个元素的置换,称为n元置换. 例如，S=1,2,3，令:SS ，且有: (1)=2, (2)=3, (3)=1,65现在学习的是第65页，共109页则将1,2,3分别置换成2

25、,3,1,此置换常被记为 =采用这种记法,一般的n元置换可记为66现在学习的是第66页，共109页n个不同元素有多少种排列的方法?n!种排列的方法,所以,S上有n!个置换.例如,上有3!=6种不同的置换,即 67现在学习的是第67页，共109页对于n元置换也可以用不交的轮换之积来表示.=(a1a2am), mn那么的映射关系是a1a2,a2a3,am-1am,ama1,而其他的元素都有aa. 称为m次轮换.任何n元置换都可表成不交的轮换之积.68现在学习的是第68页，共109页例如, 是1,2,6上的置换,且 =那么的映射关系是1 6, 25, 33, 44, 52, 61.去掉3和4这两个保

26、持不变的元素,可得 1 6 , 61 , 25,52 所以=(1 6) (2 5) (3) (4)69现在学习的是第69页，共109页又如, 也是1,2,6上的置换,且 =则有 = (1 4 3 2 5) (6) 为使表达式简洁,可以去掉1次轮换那么有 =(1 6) (2 5) = (1 4 3 2 5)70现在学习的是第70页，共109页根据这种表法,1,2,3 上的置换可记为： 1= (1), 2= (12), 3= (13), 4= (23), 5= (123), 6=(132)71现在学习的是第71页，共109页设S = 1,2,n ,S上的n!个置换构成集合S,其中恒等置换Is=(1

27、)Sn在Sn上规定二元运算,对于任意n元置换, Sn, 表示与的复合.显然也是S上的n元置换,所以,Sn对运算是封闭的,且是可结合的.任取Sn中的置换,有 Is= Is = n元对称群、 n元置换群72现在学习的是第72页，共109页所以,恒等置换Is=(1)是Sn中的幺元且的逆置换 -1 =就是的逆元。即:Sn关于置换的复合构成一个群,称之为S上的n元对称群.Sn的任何子群称为S上的n元置换群.73现在学习的是第73页，共109页定义6.3.4 置换群 将n个元素的集合A上的置换全体记为Sn,那么称群 Sn,*为n次对称群，它的子群又称为n次置换群。74现在学习的是第74页，共109页例如S

28、3=(1),(12),(13),(23),(123),(132),S3的运算表如表6.1所示75现在学习的是第75页，共109页从表6.1可以看到 (13)。(12)(12)。(13)所以, S3不是阿贝尔群,在 S3中,(12),(13)和(23)都是2阶元,而(123)和(132)是3阶元.76现在学习的是第76页，共109页S3有6个子群,即 =(1), =(1),(12), =(1),(13), =(1),(23), =(1),(123),(132),所以, S3 =(1),(12),(13),(23),(123),(132).其中(1)和S3是平凡的,除S3自己以外,都是S3的真子群

29、77现在学习的是第77页，共109页因而，可证构成群，在代数中称为变换群，显然，置换群是变换群的特例。请注意，由TX中的一些变换与运算o构成的群，都称为变换群，而只不过是个特殊情形而已。78现在学习的是第78页，共109页第6章 几个典型的代数系统6.1 半群与群6.2 子群6.3 循环群和置换群6.4 陪集与拉格朗日定理6.5 正规子群、商群和同态基本定理6.6 环与域79现在学习的是第79页，共109页定义6.4.1 设为群，A,B G, ，且A,B非空，AB =a*b| a A, b B ,称为A,B的乘积。性质（AB)C=A(BC) eA=Ae=A80现在学习的是第80页，共109页定

30、义6.4.2 设为的子群，那么对任一g G ,称gH为H的左陪集，称Hg为H的右陪集，这里 gH =g*h| h H Hg =h*g| h H81现在学习的是第81页，共109页定理6.4.1 设为的子群，那么（1）对任意g G , |gH|=|H| （ |Hg|=|H|）（2）当g H 时， gH（ Hg ）82现在学习的是第82页，共109页（1）证明：令f：HaH 即f(h)=a*h, 其中hH则f是双射。满射是显然的，下面再证它是单射。若a * h1=a * h2，h1,h2H，则根据群的可约律知h1=h2，即f(h1)=f(h2)导出h1=h2。所以 |gH|=|H| (2) 含义，

31、若为群的子群，则H为中的左陪集。因为若e是的幺元，则e*H=e*h|hH|=H。83现在学习的是第83页，共109页定理定理6.4. 设为的子群，有（1） H （2）若H ，则 H证明:(1)因为eH，故a=a*eaH。 (2)若H ,b=ah, bH=(ah)H=a(hH)=aH84现在学习的是第84页，共109页定理定理6.3 6. 若是群的子群，则或者aHbH=或者aH=bH。定理定理6.4.4 若是群的子群，对任意a,b G,则a,b属于H的同一左陪集b-1*aH 即aH=bHb-1*aH85现在学习的是第85页，共109页推论 左陪集aH中的任何元素a1均可决定该陪集，或者说，陪集中

32、的每个元素都可作为陪集的代表。因为若a1aH，则存在h1H，使得a1=a*h1，于是a-1*a1=h1H。再根据定理6.4.4 知，a1H=aH。86现在学习的是第86页，共109页由于G中每个元素a必在H的左陪集aH中，从定理6.4.3又知道，G中每个元素恰好能属于H的某个左陪集中。因此H的左陪集簇构成G的划分，而且划分中每个块与H具有相同的元素个数。因此可得下面结论。 若是群的子群，则中的H的左陪集簇构成G的一种划分。并且称它为G的对于H的左陪集划分。87现在学习的是第87页，共109页假若群为有限群，其子群是，且|G|=n，|H| = m， 则G的 对 于H 的 左 陪 集 划 分 可

33、表 为G=a1Ha2HakH，其中k为不同的左陪集个数，称为H在G中的指标，由于每个左陪集皆有m个元素，故G具有km个元素，即n=mk，这便得到著名拉格朗日(J.L.Lagrange)定理：88现在学习的是第88页，共109页定理6.4.6 若是有限群的子群，那么 |H| | |G| (H的阶整除G的阶）。即：任何有限群的阶均可被其子群的阶所整除。 。89现在学习的是第89页，共109页推论1: 有限群中任何元素的阶均为G的阶因子。推论2: 质数阶的群没有非平凡子群。推论3：4阶群同构于4阶循环群或 Klein四元群90现在学习的是第90页，共109页定理6.4.5 若是群的子群，则R=|a,

34、b H ， a-1*bH是G上的一个等价关系，且aR=aR, 称R为群G上H的左陪集等价关系。91现在学习的是第91页，共109页6.6 环与域定义6.6.1 环 设是代数系统,R为集合,+,为二元运算,如果 (1)为阿贝尔群（加群）, (2)为半群, (3)乘法对加法+适合分配律,则称是环约定：定义中的约定：定义中的+,表示一般二元运算，称为环中的加表示一般二元运算，称为环中的加法和乘法运算，不一定是数乘和数加法和乘法运算，不一定是数乘和数加92现在学习的是第92页，共109页 例 如,和都是环,+和表示普通加法和乘法.是环,其中Mn (R)是n阶实矩阵的集合,+,分别是矩阵加法和乘法.是模

35、n的整数环,其中Zn0,1,n1, 和 分别表示模n的加法和乘法.是环，其中Mnn 是 nn阶实矩阵的全体，与是矩阵的加法和乘法.93现在学习的是第93页，共109页定理6.6.1 设是环,0为加法幺元, -a为a的逆元，那么对 (1) aR, a00a0. (2) a,bR, (-a)ba(-b)-(ab). (3) a,bR, (-a)(-b)ab. (4) a,b,cR, a(b-c)=abac, (b-c)abaca.94现在学习的是第94页，共109页 (1) aR,a00a0.证明 a0a(0+0)a0+a0,由加法消去律得 0a0.同理可证 0a0.(2) a,bR,(-a)ba

36、(-b)-(ab).证明 (-a)b+ab=(-a+a)b0.b0类似地有 ab+(-a)b0,所以(-a)b是ab的加法逆元,即-(ab). 同理可证 a(-b)=-(ab)95现在学习的是第95页，共109页(3) a,bR,(-a)(-b)ab.证明: (-a)(-b)-(a(b)-(-(ab)ab,(4) a,b,cR,a(b-c)=ab-ac, (b-c)abaca.证明: a(b-c)=a(b+(-c)=ab+a(-c)=ab-ac 同理有 (b-c)a=ba-ca96现在学习的是第96页，共109页定义6.6.2 ：交换环、含幺环 在环中,如果乘法适合交换律,则称R是交换环. 如

37、果对于乘法有幺元,则称R是含幺环. 为了区别含幺环中加法幺元和乘法幺元,通常把加法幺元记作0,乘法幺元记作1.可以证明加法幺元0恰好是乘法的零元.97现在学习的是第97页，共109页定义6.6.3 : 零因子环在环中,如果存在a,bR,a0,b0,但ab0,则称a,b为R的零因子，并称R为零因子环，否则称R为无零因子环.98现在学习的是第98页，共109页 ,和都是无零因子环,不一定是无零因子环.例:中有230,但2和3都不是0.不是无零因子环,是无零因子环.99现在学习的是第99页，共109页定理6.6.2 设是环，那么R中无零因子当且仅当R中乘法运算满足消去率。100现在学习的是第100页

38、，共109页整环、域定义6.6.4 :整环: 若环是交换、含幺和无零因子的,则称R为整环.定义6.6.5 :子环 设设是环，如果有集合是环，如果有集合S S满足满足 1. 1. 为为的子群；的子群； 2. 2. 为为的子半群；的子半群； 则称则称 为为 的的子环。101现在学习的是第101页，共109页 定义定义 设设是一个代数系统，若满足是一个代数系统，若满足 1.1.是阿贝尔群；是阿贝尔群； 2.2.是阿贝尔群；是阿贝尔群； 3.3.运算运算对运算对运算+ +是可分配的是可分配的 则称则称是域。是域。 域（域（FieldField）102现在学习的是第102页，共109页例6.5 设S为下

39、列集合,+和.为普通加法和乘法. (1)Sxx2nnZ. (2)Sxx2n+1nZ. (3)SxxZx0N, (4)Sxxa+b ,a,bQ.问S和+,能否构成域？为什么？3103现在学习的是第103页，共109页解 (1) 不是域,因为乘法幺元是1,1S.(2) 也不是域,因为S不是环,普通加法的幺元是0,0S, (3)S不是环,因为除0以外任何正整数x的加法逆元是-x,而-xS当然也不是域.104现在学习的是第104页，共109页(4)S是域.对任意x1,x2S有x1a1+b1 ,x2=a2+b2 ,x1+x2=a1+a2+(b1+b2) S.x1x2=(a1a2+3b1b2)+(a1b2

40、+a2b1) S3333105现在学习的是第105页，共109页S对+和.是封闭的.又乘法么元1S,易证是整环,xS,x0,x=a+b 有所以是域.22222211333333xabababababab3106现在学习的是第106页，共109页 域都是整环域都是整环定理6.6.3 有限整环都是域。定理6.6.4 设是域, 那么F中的非零元素在中有相同的阶。107现在学习的是第107页，共109页定义6.6.5 :子域 设设是域，是域， 为为F F的子环，且的子环，且 S,+, 为一域，则称为一域，则称 为为 的的子域。定理6.6.5 : 设设是域，是域，FF是是F F的子集，且的子集，且FF中至少有两个中至少有两个元素，那么元素，那么为为的子域当且仅当的子域当且仅当FF满满足足 (1) (1) 为为的子群；的子群； (2) (2) 为为 的子群；的子群； 108现在学习的是第108页，共109页6.1.1 半群感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第109页，共109页