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1、首页上一页下一页结束线性代数 (第四版)教学课件23 几种特殊的矩阵 (一)对角矩阵 (二)数量矩阵 (三)单位矩阵 (四)三角形矩阵 (五)对称矩阵 线性代数 (第四版)教学课件首页上一页下一页结束(一)对角矩阵 对角矩阵 如果n阶矩阵A(aij)中的元素满足条件 aij0 ij (i, j1, 2, , n)则称A为n阶对角矩阵 即 1122nnaaaA 线性代数 (第四版)教学课件首页上一页下一页结束提示 (一)对角矩阵 对角矩阵 1122nnaaaA 对角矩阵的性质 如果A B为同阶对角矩阵 则kA AB AB仍为同阶对角矩阵 1122nnakaakakaka 线性代数 (第四版)教学
2、课件首页上一页下一页结束提示 (一)对角矩阵 对角矩阵 1122nnaaaA 对角矩阵的性质 如果A B为同阶对角矩阵 则kA AB AB仍为同阶对角矩阵 11112222nnnnabababababab 线性代数 (第四版)教学课件首页上一页下一页结束提示 (一)对角矩阵 对角矩阵 1122nnaaaA 对角矩阵的性质 如果A B为同阶对角矩阵 则kA AB AB仍为同阶对角矩阵 111 1222 2nnn nabababa baba b 线性代数 (第四版)教学课件首页上一页下一页结束(一)对角矩阵 对角矩阵 1122nnaaaA 对角矩阵的性质 如果A B为同阶对角矩阵 则kA AB A
3、B仍为同阶对角矩阵 显然 如果A是对角矩阵 则ATA 线性代数 (第四版)教学课件首页上一页下一页结束(二)数量矩阵 数量矩阵 如果n阶对角矩阵A中的元素a11a22 anna 则称A为n阶数量矩阵 即 aaaA 线性代数 (第四版)教学课件首页上一页下一页结束(二)数量矩阵 数量矩阵 aaaA 数量矩阵的性质 以数量矩阵A左乘或右乘(如果可乘)一个矩阵B 其乘积等于以数a乘矩阵B 提示 00000 0aaa 111212122212llnnnlbbbbbbbbb111212122212llnnnlababababababababab00000 0aaa 111212122212llnnnlb
4、bbbbbbbb111212122212llnnnlababababababababab 线性代数 (第四版)教学课件首页上一页下一页结束(二)数量矩阵 数量矩阵 aaaA 数量矩阵的性质 以数量矩阵A左乘或右乘(如果可乘)一个矩阵B 其乘积等于以数a乘矩阵B 提示 00000 0aaa 111212122212llnnnlbbbbbbbbb111212122212llnnnlababababababababab111212122212llnnnlbbbbbbabbb 线性代数 (第四版)教学课件首页上一页下一页结束(三)单位矩阵 单位矩阵 如果n阶数量矩阵A中元素a1 则称A为n阶单位矩阵
5、记作In(或En) 有时简记为I(或E) 即 111nI 单位矩阵的性质 ImAmnAmn AmnInAmn 对于n阶矩阵A 规定A0I 单位矩阵I在矩阵乘法中与数1在数的乘法中的性质类似 线性代数 (第四版)教学课件首页上一页下一页结束(四)三角形矩阵 上三角形矩阵 如果n阶矩阵A(aij)中元素满足条件 aij0 ij (i, j1, 2, , n)则称A为n阶上三角形矩阵 即 11121222nnnnaaaaaaA 线性代数 (第四版)教学课件首页上一页下一页结束(四)三角形矩阵 上三角形矩阵 11121222nnnnaaaaaaA 下三角形矩阵 如果n阶矩阵B(bij)中元素满足条件
6、bij0 ij (i, j1, 2, , n)则称B为n阶下三角形矩阵 即 11212212nnnnbbbbbbB 线性代数 (第四版)教学课件首页上一页下一页结束(四)三角形矩阵 上三角形矩阵 11121222nnnnaaaaaaA 下三角形矩阵 三角形矩阵的性质 若A B为同阶同结构三角形矩阵 容易验证kA AB AB仍为同阶同结构三角形矩阵 11212212nnnnbbbbbbB 线性代数 (第四版)教学课件首页上一页下一页结束举例 (五)对称矩阵 对称矩阵 如果n阶矩阵A(aij)中满足aijaji (i, j1, 2, , n) 则称A为对称矩阵 例如 111 0 110202111
7、 32均为对称矩阵 对称矩阵A的元素关于主对角线对称 因此有ATA 对称矩阵的性质 数乘对称矩阵及同阶对称矩阵之和仍为对称矩阵 但对称矩阵乘积未必对称 线性代数 (第四版)教学课件首页上一页下一页结束(五)对称矩阵 对称矩阵 如果n阶矩阵A(aij)中满足aijaji (i, j1, 2, , n) 则称A为对称矩阵 对称矩阵A的元素关于主对角线对称 因此有ATA 对称矩阵的性质 数乘对称矩阵及同阶对称矩阵之和仍为对称矩阵 但对称矩阵乘积未必对称 对任意矩阵A ATA和AAT都是对称矩阵 线性代数 (第四版)教学课件首页上一页下一页结束 例1 设A与B是两个n阶对称矩阵 证明 当且仅当A与B可交换时 AB是对称的 由于A与B都是对称矩阵 所以ATA BTB 如果ABBA 则有 证 所以AB是对称的 (AB)T BTAT BA AB 反之 如果AB是对称的 即(AB)TAB 则有即A与B可交换 AB(AB)T BTAT BA