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1、会计学1应力与应变状态分析应力与应变状态分析2第八章第八章 应力与应变状态分析应力与应变状态分析881 1 应力状态概述应力状态概述882 2 平面应力状态分析平面应力状态分析解析法解析法883 3 平面应力状态分析平面应力状态分析图解法图解法884 4 梁的主应力及其主应力迹线梁的主应力及其主应力迹线885 5 三向应力状态研究三向应力状态研究886 6 平面应力状态下的应变分析平面应力状态下的应变分析887 7 复杂应力状态下的应力复杂应力状态下的应力 -应变关系应变关系888 8 复杂应力状态下的变形比能复杂应力状态下的变形比能小结小结第1页/共71页3881 1 应力状态概述应力状态概
2、述一、基本概念：一、基本概念：铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？FF铸铁拉伸铸铁拉伸F铸铁压缩铸铁压缩铸铁铸铁第2页/共71页4组合变形杆将怎样破坏？F1 1、应力状态、应力状态：构件内任意一点处取一单元体，单元体上的应力。max？max？2 2、一点处应力状态、一点处应力状态：构件内通过一点各个方向的应力的总称。3 3、研究的目的、研究的目的：找出一点处沿不同方向应力的变化规律，确定 出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建立适当的强度条件。4 4、研究方法、研究方法：取单元体。第3页/共71页5FF单元体的概念单元体的概念：构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小 的几何体
3、，常用的是正六面体。单元体上应力的性质单元体上应力的性质：每个面上的应力均布，每对相平行面上的 应力大小、性质完全相同。A5 5、主平面、主平面：剪应力等于零的面。6 6、主应力、主应力：主平面上的应力（正应力）。7 7、主单元体、主单元体：由主平面组成的单元体。主应力排列规定：按代数值由大到小。第4页/共71页6301050单位：MPa1=50 MPa；2=10 MPa；3=-30 MPa。30101=10 MPa；2=0 MPa；3=-30 MPa。8 8、画原始单元体：、画原始单元体：例例：画出下列图中的 a、b、c 点的已知单元体。aaFF第5页/共71页7xyzbCbbxxyzbCF
4、L第6页/共71页8b x xxyzbc0 0二、应力状态的分类：二、应力状态的分类：1、单向应力状态：只有一个主应力不等于零，另两个主应力 都等于零的应力状态。2、二向应力状态：有两个主应力不等于零，另一个主应力 等于零的应力状态。3、三向应力状态：三向主应力都不等于零的应力状态。第7页/共71页9平面应力状态平面应力状态：单向应力状态和二向应力状态的总称。复杂应力状态复杂应力状态：二向应力状态和三向应力状态的总称。空间应力状态空间应力状态：三向应力状态简单应力状态简单应力状态：单向应力状态。纯剪切应力状态纯剪切应力状态：单元体上只存在剪应力无正应力。第8页/共71页10882 2 平面应力
5、状态分析平面应力状态分析解析法解析法一、任意斜面上的应力计算一、任意斜面上的应力计算 x xy y第9页/共71页11 x xy y图1nt设：斜截面面积为A，由分离体平衡得：第10页/共71页12考虑剪应力互等和三角变换，得：任意任意斜面应力的计算公式斜面应力的计算公式第11页/共71页13符号规定：、“”正负号同“”；、“t”正负号同“t”；、“”为斜面的外法线与轴正向的夹角，逆时针为正，顺时针为负。二、二、的极值及所在平面（主应力，主平面）的极值及所在平面（主应力，主平面）注意：用公式计算时代入相应的正负号注意：用公式计算时代入相应的正负号规律：规律：1、的极值及所在平面（主应力，主平面
6、）第12页/共71页14主平面的位置主平面的位置主应力的大小主应力的大小00最大正应力（最大正应力（max）与）与X轴的夹角规定用轴的夹角规定用“0”表示。表示。简易判断规律：由简易判断规律：由的方向判断。的方向判断。第13页/共71页152、的极值及所在平面最大剪应力最大剪应力 所在的位置所在的位置xyxy面内的最大剪应力面内的最大剪应力整个单元体内的最大剪应力整个单元体内的最大剪应力最大剪应力与最大剪应力与X轴的夹角规定为轴的夹角规定为“1”第14页/共71页16 xy yx例例：如图所示单元体，求主应力及主平面。解解：1、主应力2、主平面134503020单位：MPa1、2、3？第15页
7、/共71页17例例：如图所示单元体，求斜面的应力及主应力、主平面。（单位：MPa）300405060解解：1、斜面的应力第16页/共71页182、主应力、主平面1=80.7（MPa）；）；2=0；3=-60.7（MPa）。）。4050601301；2；3？90405060（单位：MPa）第17页/共71页19883 3 平面应力状态分析平面应力状态分析图解法图解法对上述方程消参（2），得：应力圆方程（莫尔圆）应力圆方程（莫尔圆）一、基本一、基本原理：原理：圆心：圆心：半径：半径：第18页/共71页20二、应力圆的绘制：二、应力圆的绘制：1、取直角坐标系。2、取比例尺（严格按比例做图）。3、找点
8、4、连 交轴于C点，以C为圆心，CD为半径画圆应力圆。toD/B1B2D第19页/共71页21三、证明：三、证明：既圆心：既圆心：既半径：既半径：toDD/B1B2A1A2第20页/共71页22四、计算：四、计算：1 1、以D为基点，转2的圆心角 至E点，转向同单元体上的 方向。toDD/B1B2A1A2E2202 2、主应力、主应力3 3、主平面、主平面 以D为基点，转到 A1点，其圆心角为 20，逆时针时0为“”；顺时针时 0 为“”。（0主平面的位置)。第21页/共71页23toDD/B1B2A1A24、剪应力的极值及所在位置、剪应力的极值及所在位置G1G221以D为基点，转到G1点，其
9、圆心角为21。由应力圆可证明由应力圆可证明 最大正应力与最大剪应力 所在平面相差450第22页/共71页24toDD/B1B2A1A220E2F证明：（证明：（22角的关系）角的关系）证毕证毕第23页/共71页251 1、应力圆上的点与单元体上的面相对应，点的坐标即为单元体、应力圆上的点与单元体上的面相对应，点的坐标即为单元体 面上的应力值。面上的应力值。2 2、应力圆上两点对应的圆心角为、应力圆上两点对应的圆心角为“2”2”，单元体上两面的，单元体上两面的 夹角夹角“”，且两者转向相同。，且两者转向相同。五、注意五、注意第24页/共71页26408060例：例：求=300斜面的应力及主应力、
10、主平面（单位：MPa）。20600E（300；300）FA1A2ODD/C2、量出所求的物理量、量出所求的物理量解：解：1、按比例画此单元体对应的应力圆、按比例画此单元体对应的应力圆第25页/共71页27例例：求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：M P a)CAB2 0 1 2 02、量出所求的物理量、量出所求的物理量解：解：1、按比例画此单元体对应的应力圆、按比例画此单元体对应的应力圆第26页/共71页28解析法：解析法：（分析思路）（分析思路）xyo60第27页/共71页29884 4 梁的主应力及其主应力迹线梁的主应力及其主应力迹线Fqx12345yo x y3 x x y2 x
11、1tototo123 1 3 1 3第28页/共71页30 x5 x x y4to4to5 1 3 1 3主应力迹线（Stress Trajectories)：主应力方向线的包洛线曲线上每一点的切线都指示着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。1 3实线表示拉主应力迹线；虚线表示压主应力迹线。第29页/共71页31xy主应力迹线的画法：主应力迹线的画法：11截面截面22截面截面33截面截面44截面截面ii截面截面nn截面截面bacd 1 3 1 3第30页/共71页32885 5 三向应力状态研究三向应力状态研究toXY平面平面内任一斜面的应力与与12圆周圆周上的点对应。YZ平面平面内任一斜面
12、的应力与与13圆周圆周上的点对应。ZX平面平面内任一斜面的应力与与12圆周圆周上的点对应。第31页/共71页33：弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。图图a图图b：整个单元体内的最大剪应力为：231 t t-=maxt tmax结论结论第32页/共71页34例例：求图示单元体的主应力和最大剪应力。（M P a）解解：、由单元体知：xy 面为 主面之一、建立应力坐标系如图，画yz应力圆及三向应力圆得:xyz305040CBA t o (M Pa)（M Pa）1010DD/C 1 3 2 max第33页/共71页35解析法解析法1、由单元体知：
13、x 面为主面之一。2、求yz面内的最大、最小正应力。xyz305040CBA单位：（M P a）3、主应力4、最大剪应力231 t t-=max第34页/共71页3620030050ot tmax第35页/共71页37O2005030050第36页/共71页38O30050第37页/共71页39886 6 平面应力状态下的应变分析平面应力状态下的应变分析一一、应应变变计计算算公公式式规定：线段伸长线应变为正；直角增大剪应变为正。条件：弹性、小变形。已知：x、y、xy。求：、。（设OB=dS）分析：1、在x作用下BC OADB1 1A1xdx xyodxdy第38页/共71页40BC OADB2
14、 2C2ydy2、在y作用下xyB3C3xy3D3、在xy作用下BCOA 第39页/共71页414、叠加XYBB0CDD01=1第40页/共71页42第41页/共71页43二二、主主应应变变数数值值及及其其方方位位第42页/共71页44三、应变分析图解法三、应变分析图解法应变圆应变圆具体作法同应力圆四、应变分析的应用：四、应变分析的应用：一点处贴一应变花第43页/共71页4588887 7 7 7 复杂应力状态下的应力复杂应力状态下的应力复杂应力状态下的应力复杂应力状态下的应力 -应变关系应变关系应变关系应变关系 （广义虎克定律广义虎克定律广义虎克定律广义虎克定律）一、单向应力状态：一、单向应
15、力状态：二、二向应力状态：二、二向应力状态：1 2 1 2=+第44页/共71页46三、三向应力状态：三、三向应力状态：1 2 3 1 2=+3+（广义虎克定律）（广义虎克定律）第45页/共71页47四、注意：四、注意：1、与 相对应，方向一致 （代数值大小排列）。2、“”连同符号代入，“”得“”值时为拉应变；“”得“”值时为压应变。3、“”、“”同时存在时，“”对“”无影响，“”对“”无影响。“123”可由“xyz”替换。4、使用条件：弹性、小变形、各向同性材料。第46页/共71页48主应力与主应变主应力与主应变方向一致方向一致?x xy yz z x x x y x y z z y y-=
16、900 x xy y第47页/共71页49五、体积应变五、体积应变a3 1 2 3a1a2体积应变：体积应变：体积应变与应力分量间的关系体积应变与应力分量间的关系:体积虎克定律体积虎克定律第48页/共71页50888 8 复杂应力状态下的变形比能复杂应力状态下的变形比能一、概念：一、概念：1、变形能：变形固体在外力作用下由变形而储存的能量。弹性变形能：变形固体在外力作用下产生的弹性变形而储存 的能量。2、变形能的计算：利用能量守恒原理能量守恒原理：变形固体在外力作用下产生的变形而储存的 能量，在数值上等于外力所作的外力功。V=W3、变形比能（能密度）：单位体积的变形能。v=V/V第49页/共7
17、1页51二、弹性变形能、比能的计算公式：二、弹性变形能、比能的计算公式：1、单向拉压应力状态：2、扭转纯剪切应力状态：3、三向应力状态：2 3 1第50页/共71页52 2 3 1图图 a m m m图图 b 2 3 1-m-m-m图图 c图图 b 体积改变，形状不变；图体积改变，形状不变；图 c 形状改变，体积不变。形状改变，体积不变。第51页/共71页53 2 3 1-m-m-m图图 c称为形状改变比能、畸形能或歪形能称为形状改变比能、畸形能或歪形能 m m m图图 b第52页/共71页54例：例：已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：1=24010-6，3=-16010
18、-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为=0.3，试求该点处的主应力及另一主应变。yx，所以该点处的平面应力状态第53页/共71页55第54页/共71页56例例：已知二向应力状态10，2 0，3=0，1，2。问：3=-（1+2）？解解：由广义虎克定律知F例例：如图所示，立方体边长为10cm，F=6kN，E=70GPa，=0.33，假设钢槽不发生变形。求：立方体的主应力。解解：1、分析立方体的应力状况 y x z第55页/共71页57 y x z2、立方体的主应力3、讨论：立方体各边的改变量第56页/共71页58例例：如图所示拉杆，横截面为圆形D=2cm，E=2.1*106MPa，=0.28，6
19、00=4.1*10-4。求：F。600XAFyA解解：1、取单元体2、应力与应变的关系3、外力的确定F=3980（kN）第57页/共71页59例例：如图所示空心圆轴，外经D=120mm，内经d=80mm，E=2.0*105MPa，=0.28，450=2.0*10-4。求：m。解解：1、取单元体2、应力与应变的关系3、外力的确定X450450450mm=8504（Nm）第58页/共71页60例：例：图示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变 t=350l06，若已知容器平均直径 D=500 mm，壁厚=10 mm，容器材料的 E=210GPa，=0.
20、25。试求:1导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式；2.计算容器所受的内压力.lm t p第59页/共71页61 p D 2解解：1、容器的轴向应力和纵向应力表达式用横截面将容器截开，受力如图所示（1）、轴向应力 m m)D(m 第60页/共71页62pDl用纵截面将容器截开，受力如图所示（2）、环向应力 t(2 l)t tpL第61页/共71页63 2 3 12、求内压（以应力应变关系求之）pm t 第62页/共71页64 x y13用能量法证明三个弹性常数间的关系。、纯剪单元体的比能为：、纯剪单元体比能的主应力表示为：用广义虎克定律证明三个弹性常数间的关系。（思路）？第63页/共71页6
21、5小结小结一、基本概念：一、基本概念：1 1、应力状态、应力状态：构件内任意一点处取一单元体，单元体上的应力。2 2、一点处应力状态、一点处应力状态：构件内通过一点各个方向的应力的总称。3 3、研究的目的、研究的目的：找出一点处沿不同方向应力的变化规律，确定 出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建立适当的强度条件。4 4、研究方法、研究方法：取单元体。5 5、主平面、主平面：剪应力等于零的面。6 6、主应力、主应力：主平面上的应力（正应力）。7 7、主单元体、主单元体：由主平面组成的单元体。第64页/共71页66二、应力状态的分类：二、应力状态的分类：1、单向应力状态：只有一个主应力不等于
22、零，另两个主应力 都等于零的应力状态。2、二向应力状态：有两个主应力不等于零，另一个主应力 等于零的应力状态。3、三向应力状态：三向主应力都不等于零的应力状态。（一）、解析法（一）、解析法三、平面应力状态的计算：三、平面应力状态的计算：1、任意斜面上的应力计算第65页/共71页672、主应力，主平面3、的极值及所在平面第66页/共71页681、应变计算公式四、平面应力状态下的应变分析四、平面应力状态下的应变分析第67页/共71页692、主应变数值及其方位五、广义虎克定律五、广义虎克定律第68页/共71页70注意：注意：1、与 相对应，方向一致 （代数值大小排列）。2、“”连同符号代入，“”得“”值时为拉应变；“”得“”值时为压应变。3、“”、“”同时存在时，“”对“”无影响，“”对“”无影响。“123”可由“xyz”替换。4、使用条件：弹性、小变形、各向同性材料。第69页/共71页71第70页/共71页