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1、优秀学习资料欢迎下载兰州一中 20112012-1 学期高三期末考试数学试卷（文）注意：该试卷总分150 分，考试时间120 分钟，交卷时只交答题卡. 一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请把答案直接涂在答题卡相应位置上1. 已知集合 1,1,|124,xABxR则AB（）A0,2)B 1 C 1,1 D0,12. 下列命题中错误的是（）A如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C如果平面平面，平面平面，1，那么直线l平面D如果平面平面，那么平面内所有直线都
2、垂直于平面3. 已知na为等差数列， 其公差为2，且7a是3a与9a的等比中项，nS为na的前 n 项和，*Nn，则10S的值为（）A110B90C90D1104. 若实数 a， b 满足0,0ab， 且0ab， 则称 a 与 b 互补，记22( , )a babab，那么( , )0a b是 a 与 b 互补的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件5. 若,a bR，且0ab，则下列不等式中，恒成立的是（）A222ababB2ababC112ababD2baab6.已知在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组0222xyxy给定。若( , )M x y为 D精
3、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页优秀学习资料欢迎下载上的动点，点A 的坐标为( 2,1)，则zOMOA的最大值为（）A3B4 C3 2D.427. 函数( )f x在定义域R内可导，若( )(2)f xfx， 且当(,1)x时，/(1)( )0 xfx，设1(0),(),(3)2afbfcf，则（）AabcBcbaCcabDbca8.sin(2)3yx的图像经过怎样的平移后所得的图像关于点(,0)12中心对称（）A向左平移12个单位B向左平移6个单位C向右平移12个单位D向右平移6个单位9. 已知( )f x是 R
4、上的奇函数，且当0 x时，1( )( )12xf x，则( )f x的反函数的图像大致是（）10. 有编号分别为1， 2，3，4，5 的 5 个红球和5 个黑球，从中取出4 个，则取出的编号互不相同的概率为（）A521B27C13D82111.已知12(,0),( ,0)FcFc为椭圆22221xyab的两个焦点，P为椭圆上一点且212,PFPFc则此椭圆的离心率的取值范围是（）A3,13B1 1,3 2C32,32D2(0,212. 已知球的直径SC= 4，A，B 是该球球面上的两点，3AB，30ASCBSC，则棱锥 S- ABC 的体积为（）精选学习资料 - - - - - - - - -
5、 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页优秀学习资料欢迎下载A19 B3C2 3D3 3二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把答案填在答题卡相应位置上13. 已知| | 2ab，(2 )()2abab，则a与b的夹角为.14. 已知1sincos2，且(0,)2，则cos2sin()4的值为. 15.若一个圆的圆心在抛物线24yx的焦点处， 且此圆与直线10 xy相切， 则这个圆的标准方程是. 16函数)(xf的定义域为A，若Axx21,且)()(21xfxf时总有21xx，则称)(xf为单函数例如，函数)(12)(Rxxxf是单函数下列命题：
6、函数)()(2Rxxxf是单函数；若)(xf为单函数，Axx21,且21xx则)()(21xfxf；若 f：AB 为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象；函数)(xf在某区间上具有单调性，则)(xf一定是该区间上的单函数其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共6 小题，共 70 分，解答时应写出文字说明、证明过程17 （本小题满分10 分）在ABC中，角,A B C所对应的边分别为, ,a b c，2 3a，tantan4,22ABC2sincossinBCA，求,A B及,b c. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
7、 -第 3 页，共 12 页优秀学习资料欢迎下载18 （本小题满分12 分）如图，已知正三棱柱111ABCA B C的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱1CC上，且不与点C重合（I）当1CF时，求证：1EFAC；（II）设二面角CAFE的大小为，求tan的最小值19 （本小题满分12 分）某会议室用5 盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同，假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1 年以上的概率为1p，寿命为 2 年以上的概率为2p，从使用之日起每满1 年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换. （I）在第一次灯泡更换工作中，求不需要更换灯泡的概率和
8、更换2 只灯泡的概率；（II） ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；（）当120.8,0.3pp时，求在第二次灯泡更换工作中，至少需要更换4 只灯泡的概率（结果只保留两个有效数字）. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页优秀学习资料欢迎下载20 （本小题满分12 分）已知关于x 的函数321( )3f xxbxcxbc，其导函数( )fx. （）如果函数4( ),3f x 在x=1处有极值 -试确定 b、 c 的值；（） 设当(0,1)x时， 函数( )()yf xc xb图象
9、上任一点P处的切线斜率为k， 若1k，求实数 b 的取值范围 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页优秀学习资料欢迎下载21 （本小题满分12 分）已知数列na的前 n 项和为nS，若naSnn2，且11nnnnaaab，数列nb的前 n 项和为nT.（I）求证： 1na为等比数列；（）求nT. 22（本小题满分12 分）)(,(000axyxP是双曲线)00(1:2222babyaxE，-上一点，M、N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM、PN的斜率之积为.51（I）求双曲线的离心率；（II）过双曲线E的右焦点且
10、斜率为1 的直线交双曲线E于BA，两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足OCOAOB，求的值 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页优秀学习资料欢迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页优秀学习资料欢迎下载数学试卷（文）参考答案一、1.B 2. D 3. D 4.C 5.D 6.B 7.C 8.C 9. A 10. D 11.C 12. B 二、13.314.14215.22(1)2xy16.三、17由tantan422ABC得cot
11、tan422CC，cossin224sincos22CCCC，14sincos22CC，1sin2C，又(0,)C，566CC，或. 由2sincossinBCA得2sincossin()BBBC，即sin()0BC，BC，6BC，2()3ABC. 由正弦定理sinsinsinabcABC,得1sin22 32sin32BbcaA.18解法一：过E 作ENAC于 N，连结 EF. （I）如图 1，连结 NF、1AC，由直棱柱的性质知，底面ABC侧面1AC. 又底面ABC侧面1AC=AC，且EN底面 ABC，所以EN侧面1AC，NF 是 EF 在侧面1AC内的射影，在Rt CNE中，cos601
12、,CNCE则由1CFCNCCCA14，得 NF/1AC，又11ACAC，故1NFAC，由三垂线定理知1EFA C. （II）如图 2，连结 AF，过 N 作NMAF于 M，连结 ME，由（ I）知EN侧面1AC，根据三垂线定理得EMAF,所以EMN是二面角CAFE 的平面角，即EMN. 设,045FAC则，在Rt CNE中，sin603,NEEC在RT AMN中，sin3sin,MNAN故3tan3sinNEMN. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页优秀学习资料欢迎下载又20,0sin42，故当2sin,2即当45
13、时，tan达到最小值，36tan233，此时 F 与1C重合 . 解法二：（I）建立如图3 所示的空间直角坐标系，则由已知可得1(0,0,0),(2 3,2,0),(0,4,0),(0,0,4),( 3,3,0),(0,4,1),ABCAEF于是1(0, 4,4),(3,1,1).CAEF1(0, 4,4) (3,1,1)0440,CA EF故1.EFAC（II）设(04)CF平面 AEF 的一个法向量为( , )mx y z，则由（ I）得(0,4,)F，( 3,3,0),(0,4,),AEAF于是由,mAE mAF可得0,330,40.0,m AExyyzm AF即取(3 ,4).m又由直
14、三棱柱的性质可取侧面1AC的一个法向量为(1,0,0)n，于是由为锐角可得|cos| | |m nmn222316,sin2424，2216116tan333，由04，得114，即116tan,333故当4，即点 F 与点1C重合时，tan取得最小值6.319解： （I）在第一次灯泡更换工作中，不需要更换灯泡的概率为51p，需要更换2 只灯泡的概率为232511(1) .C pp精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页优秀学习资料欢迎下载（II）对该盏灯来说，在第一、二次都更换了灯泡的概率为21(1)p；在第一次未更换灯
15、泡而在第二次需要更换灯泡的概率为12(1),pp故所求概率为2112(1)(1).pppp（）至少换4 只灯泡包括换4 只和换 5 只两种情况 . 换 5 只的概率为5p（其中p为（ II）中所求，下同） ，换 4 只的概率为145(1),C pp故至少换 4 只灯泡的概率为51435(1).ppC pp又当120.8,0.3pp时，22112(1)(1)0.20.80.70.6.pppp5430.650.60.40.34.p即满 2 年至少需要换4 只灯泡的概率为0.34.20解：2( )2fxxbxc（）因为函数( )f x在1x处有极值43所以(1)12014(1)33fbcfbcbc,
16、解得11bc或13bc. （i）当1,1bc时，2( )(1)0fxx, 所以( )f x在R上单调递减，不存在极值. （ii）当1,3bc时，( )(3)(1)fxxx, ( 3,1)x时，( )0fx，( )f x单调递增 ;(1,)x时，( )0fx，( )f x单调递减 ; 所以( )f x在1x处存在极大值，符合题意. 综上所述，满足条件的值为1,3bc. . （）当(0,1)x时，函数321( )()3yf xc xbxbx, 设图象上任意一点00(,)P xy，则02000|2,(0,1)xxkyxbx x，因为1k，所以对任意0(0,1)x，20021xbx恒成立，精选学习资料
17、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页优秀学习资料欢迎下载所以对任意0(0,1)x，不等式20012xbx恒成立 . 设2111( )()22xg xxxx，故( )g x在区间(0,1)上单调递减，所以对任意0(0,1)x，0()(1)1g xg,所以1b. 21解：（I） 由112,(2)2(1),nnnnSannSan，得112(1)nnaa，又因为1121Sa，所以111,120aa，所以1na是以 - 2 为首项， 2 为公比的等比数列，所以11222nnna. (II) 由（ I）知，11211(12 )(12)21
18、21nnnnnnb, 故223111111111()()()121212121212121nnnnT. 22解：点)(,(000axyxP在双曲线12222byax-上，.1220220byax-由题意510000axyaxy，可得22222255bbacba，则.530e（II）由，cxybyx22255-得.03510422bcxx设),(),(2211yxByxA，则.4352522121bxxcxx，设31233312,(,),.xxxOCxyOCOAOByyy又 C 为双曲线12222byax-上一点，2223355xyb， 即2221212()5 ()5 .xxyyb精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页优秀学习资料欢迎下载化简得，22222211221212(5)(5)2 (5)5.xyxyx xy yb又),(),(2211yxByxA，在双曲线上，所以222222112255,55.xybxyb由式得，2212121212121255()()45 ()510 x xy yx xxcxcx xc xxcb，240，解得0或4.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页