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1、高三数学（文科）专题训练二数列1. 已知数列nanN是等比数列 ,且130,2,8.naaa(1)求数列na的通项公式 ; (2)求证 :11111321naaaa；(3)设1log22nnab,求数列nb的前 100 项和 . 2.数列 an中，18a，42a，且满足21nnaa常数C(1)求常数C和数列的通项公式；(2)设201220|TaaaL，(3) 12|nnTaaaL,nN3. 已知数列nn2 ,na =2n1,n为奇数；为偶数；，求2nS4 .已知数列na的相邻两项1,nnaa是关于x的方程022nnbxxn(N)*的两根 ,且11a. (1) 求证 : 数列nna231是等比数
2、列 ; (2) 求数列nb的前n项和nS. 5.某种汽车购车费用10 万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9 千元，汽车的维修费平均为第一年2 千元，第二年4 千元，第三年6 千元，各年的维修费平均数组成等差数列，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年时，年平均费用最少）？6. 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51，本年度当地旅游业收入估计为400 万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41. (1)设n年内 (本年度为第一年)总投入为an万元，旅游
3、业总收入为bn万元，写精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页出an,bn的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？7. 在等比数列 an(n N*) 中， 已知 a11， q0 设 bn=log2an， 且 b1b3b5=6 ，b1b3b5=0 (1)求数列 an、bn的通项公式an、bn；(2)若数列 bn的前 n 项和为 Sn，试比较 Sn与 an的大小8. 已知数列 an的前n项和为Sn， 且an是Sn与 2 的等差中项， 数列 bn中，b1=1 ，点 P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上
4、。（1）求a1和a2的值；（2）求数列 an，bn的通项an和bn；（3）设cn=anbn，求数列 cn的前 n 项和Tn。9. 已知数列na的前n 项和为11,4nSa且1112nnnSSa，数列nb满足11194b且13nnbbn (2)nnN且（）求na的通项公式；（）求证：数列nnba为等比数列 ; （）求nb前n项和的最小值10. 已知等差数列an的前 9 项和为 153 （1）求5a；（2）若，82a，从数列an中，依次取出第二项、 第四项、 第八项， ， 第2n项，按原来的顺序组成一个新的数列cn，求数列cn的前 n 项和Sn. 11. 已知曲线C：xye（其中e为自然对数的底数
5、）在点1,Pe处的切线与x轴交于点1Q，过点1Q作x轴的垂线交曲线C于点1P，曲线C在点1P处的切线与x轴交于点2Q，过点2Q作x轴的垂线交曲线C于点2P，依次下去得到一系列点1P、2P、nP，设点nP的坐标为,nnxy（*nN）（）分别求nx与ny的表达式；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页（）求1niiix y12. 在数列)0,(2)2(,2111Nnaa，aannnnn中（1）求证：数列2() nnna是等差数列；（2）求数列na的前 n 项和nS；13. 在等差数列na中，公差d 0，且56a，（1）求4
6、6aa的值（2）当33a时，在数列na中是否存在一项ma（m正整数），使得3a，5a，ma成等比数列，若存在，求m的值；若不存在，说明理由（3）若自然数123t n , n , n , , n , , (t为正整数 )满足5 1n2n tn， 使得31t5nna , a ,a , ,a , 成等比数列，当32a时，用t表示tn14. 已知二次函数2( )f xaxbx满足条件 :(0)(1)ff; ( )f x的最小值为18. ()求函数( )f x的解析式 ; ()设数列na的前n项积为nT, 且()45fnnT, 求数列na的通项公式 ; () 在()的条件下 , 若5 ()nf a是nb
7、与na的等差中项 , 试问数列nb中第几项的值最小 ? 求出这个最小值. 15. 已知函数 f（x）=x24，设曲线 yf（x）在点（ xn，f（xn）处的切线与 x 轴的交点为（ xn+1, 0）（ nN +），（）用 xn表示 xn+1；（）若x1=4 ，记 an=lg22nnxx，证明数列na成等比数列，并求数列nx的通项公式；（）若 x14，bnxn2，Tn是数列 bn的前 n 项和，证明Tn3. 答案1. 解： (1)设等比数列na的公比为q.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页则由等比数列的通项公式11n
8、naa q得3 131aa q,284,2q又0,22naqL L分数列na的通项公式是12 223nnna分L L. 123231111211111112221222212nnnaaaaLL11,2n6分L L11,117,2nn分QL L123111118.naaaa分LL L2132log21219,212112,nnnnnbnbbnnb由分又常数数列是首项为 3, 公差为 2的等差数列11分L LQL L数列nb的前 100 项和是100100991003210200122S分L L2解：（ 1）C2102nan ，1256125671251256720520(2)| =(+a) =2
9、()(+a) =2SS=260nnnTaaaaaaaaaaaaaaaaaaLLLLLLL(3)229 ,5409,5nnnnTnnn12321352124621352 -12()()2(14 )( -12222)(3711)341422(41)23nnnnnnnSaaaaaaaaaaaan nnnn3. 解：）（4 .解：证法 1: 1,nnaa是关于x的方程022nnbxxn(N)*的两根 , .,211nnnnnnaabaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页由nnnaa21,得nnnnaa23123111, 故
10、数列nna231是首项为31321a,公比为1的等比数列 . 证法 2: 1,nnaa是关于x的方程022nnbxxn(N)*的两根 , .,211nnnnnnaabaannnnnnnnnaaaa23123122312311111231231nnnnaa, 故数列nna231是首项为31321a,公比为1的等比数列 . (2)解: 由(1)得1131231nnna, 即nnna1231. 111121291nnnnnnnaab1229112nn. nnaaaaS321nn11122223123221122311nn. 2220.20.40.60.2(1)0.20.10.1 .42100.90.
11、10.1100.1.6nnnnnnnnnn5. 解：维修费总费用分分210 100.1100.11213.9.10nnnnnn平均费用当时，汽车报废最合算分分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页6. 解： (1)第 1 年投入为 800 万元，第 2 年投入为 800 (151)万元，第n年投入为 800 (151)n1万元，所以，n年内的总投入为an=800+800(151)+ +800 (151)n1=nk 1800 (151)k1=4000 1(54)n第 1 年旅游业收入为400 万元，第 2 年旅游业收入为
12、400 (1+41)，第n年旅游业收入400 (1+41)n1万元 .所以，n年内的旅游业总收入为bn=400+400(1+41)+ +400 (1+41)k1=nk 1400 (45)k1. =1600 (45)n1(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bnan0，即：1600 (45)n1 4000 1(54)n 0，令x=(54)n，代入上式得： 5x27x+2 0.解此不等式， 得x52， 或x1(舍去 ).即(54)n52，由此得n5. 至少经过 5 年，旅游业的总收入才能超过总投入. 11121 3 515561355132131323322522111(1),1,
13、0,log,01,1,0.60,6,log6,264,164,8.81,. 16.2nnnnnnnaa qaqabab b baabbbbbbba aa aaaaa qqqaa qaaa qQ7. 解由题设 有数列是单调数列又及知 必有即由及得即即由得115214116( )2log5. (6)2()(9) (2)(1),5,.229,0,0,;12,47;168,;1 1 13 4 5 6 7 8,9 1010 9 7 4,4 2 1,2 4 8nnnnnnnnnnnnnnnnnbann bbnnbn SnSaaSnSaaSnSaaS；分由知当 时当或 时或或当时、 、 、 、 、 、.,1
14、29,;3 4 5 6 7 8,.(13)nnnnnnnaSnaS综上所述 当或 或 时 有当时 有分、8. 解：（ 1）an是Sn与 2 的等差中项Sn=2an-2 a1=S1=2a1-2 ，解得a1=2 a1+a2=S2=2a2-2 ，解得a2=4 3 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页（2）Sn=2an-2 ，Sn-1=2an-1-2 ，又SnSn-1=an，*),2(Nnnan=2an-2an-1，an0，*),2(21Nnnaann，即数列 an是等比树立a1=2 ，an=2n点P(bn，bn+1)在直
15、线 x-y+2=0上，bn-bn+1+2=0 ，bn+1-bn=2 ，即数列 bn是等差数列，又b1=1 ，bn=2n-1 ，8 分（3）cn=(2n-1)2nTn=a1b1+ a2b2+ anbn=1 2+3 22+5 23+ +(2n-1)2n，2Tn=1 22+3 23+ +(2n-3)2n+(2n-1)2n+1因此： -Tn=1 2+(2 22+2 23+ +2 2n)-(2n-1)2n+1，即： -Tn=1 2+(23+24+ +2n+1)-(2n-1)2n+1，Tn=(2n-3)2n+1+6 14 分9. 解：(1)由112221nnnSSa得1221nnaa, 112nnaa2
16、分111(1)24naandn4 分(2)13nnbbn,11133nnbbn, 1111111111113()3324364324nnnnnbabnnbnbn; 11111113(1)2424nnnnbabnbn由上面两式得1113nnnnbaba,又1111913044ba数列nnba是以 -30 为首项 ,13为公比的等比数列. 8 分(3)由(2)得1130( )3nnnba，11111130( )30( )3243nnnnban精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页12111111130( )(1)30( )
17、243243nnnnbbnn=221111130( )(1)20 ( )023323nn，nb是递增数列 11 分当n=1 时, 11194b0 ；当n=2 时, 23104b0 ；当n=3 时, 351043b0 ，所以 ,从第 4 项起的各项均大于0,故前 3 项之和最小 . 且31101(1 35)3010414312S13 分10. 解：（ 1）15392292)(955919aaaaS175a 5 分（2）设数列an的公差为 d，则35174811512dadaadaa23nan 9 分Saaaannnnn248213 2482232()26n12 分11. 解：（）xye，曲线C：
18、xye在点1,Pe处的切线方程为1yee x，即yex此切线与x轴的交点1Q的坐标为0,0，点1P的坐标为0,12 分点nP的坐标为,nnxy（*nN），曲线C：xye在点nP,nnxy处的切线方程为nnxxnyeexx，4 分令0y，得点1nQ的横坐标为11nnxx数列nx是以 0 为首项，1为公差的等差数列1nxn，1 nnye（*nN）8 分（）1122331.niinnix yx yx yx yx y1234101232122112234.(1) (1)234.(1) (2)(1)(2)(1)1.(1)1(1)1(1)(1nnnnnnSeeeen eeSeeeen ee Seeen e
19、en eSee 得到： )e14 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页12. 解：（ 1）由1*1(2)2 ,(,0)nnnnaanN，可得11122()()1nnnnnnaa所以2() nnna是首项为 0，公差为 1 的等差数列 . （2）解：因为2()1nnnan即*(1)2 ,()nnnannN设2312(2)(1)nnnTnn3412(2)(1)nnnTnn当1时，得2341(1)(1)nnnTn211(1)(1)1nnn21121222(1)(1)(1)1(1)nnnnnnnnT13. 解：（ 1）在等
20、差数列na中，公差d 0，且56a，则546462aaa , aa12 3 分（2）在等差数列na中，公差d 0，且56a，33a则11233014621nad3 d= , a ,anad2nN又235m aa aQ则3631m3a , 12=m , m=927 分（3）在等差数列na中，公差d 0，且56a，3a2则1124461nad2 d=2 , a2 ,a2n ,nNad又因为公比53632aq , a首项32a，12 3ttn a又因为112442 332tttntttan , 2n , nnN 12 分14. 解: (1) 由题知 : 200148ababa, 解得1212ab,
21、故211( )22f xxx. 2 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页(2) 221245nnnnTa aaL, 2(1)(1)211214(2)5nnnnTa aanL, 114(2)5nnnnTanT, 又111aT满足上式 . 所以14()5nnanN 7 分(3) 若5()nf a是nb与na的等差中项 , 则25 ()nnnf aba, 从而21110()22nnnnaaba, 得2239565()55nnnnbaaa. 因为14()5nnanN是n的减函数 , 所以当35na, 即3()nnN时, n
22、b随n的增大而减小 , 此时最小值为3b; 当35na, 即4()nnN时, nb随n的增大而增大 , 此时最小值为4b. 又343355aa, 所以34bb, 即数列nb中3b最小 , 且2223442245655125b. 12 分15. 解：（）由题可得( )2fxx所以曲线( )yf x在点(,()nnxfx处的切线方程是：()()()nnnyf xfxxx即2(4)2()nnnyxxxx令0y，得21(4)2()nnnnxxxx即2142nnnxx x显然0nx，122nnnxxx（）由122nnnxxx，知21(2)22222nnnnnxxxxx，同理21(2)22nnnxxx故2
23、1122()22nnnnxxxx从而1122lg2lg22nnnnxxxx，即12nnaa所以，数列na成精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页等比数列故111111222lg2lg 32nnnnxaax即12lg2lg 32nnnxx从而12232nnnxx所以11222(31)31nnnx（）由（）知11222(31)31nnnx，1242031nnnbx1111 12122223111113313133nnnnnnbb当1n时，显然1123Tb当1n时，21121111( )( )333nnnnbbbbL12nnTbbbL111111( )33nbbbL111 ( ) 3113nb133 ( )33n综上，3nT(*)nN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页