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1、高等数学精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页一. 数列函数 : 1. 类型 : (1)数列 : *( )naf n; *1()nnaf a(2)初等函数 : (3)分段函 数: *0102( )( ),( )xxfxF xxxfx; *00( )( ),xxf xF xxxa;* (4)复合 (含f)函数 : ( ),( )yf uux(5)隐式 (方程 ): ( , )0F x y(6)参式 (数一 ,二): ( )( )xx tyy t(7)变限积分函数: ( )( , )xaF xf x t dt(8)级数和函
2、数 (数一 ,三): 0( ),nnnS xa xx2. 特征 (几何 ): (1) 单 调 性 与 有 界 性 ( 判 别 ); ( )f x单 调000, () ()() )xxxfxfx定号 ) (2)奇偶性与周期性(应用 ). 3. 反函数与直接函数: 11( )( )( )yf xxfyyfx二. 极限性质 : 1. 类 型 : *limnna; *lim( )xf x( 含x); *0lim( )xxf x(含0 xx) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量 ): 3. 未定型 : 000, 1 , 0, 0 ,04. 性质 : *有界性 , * 保号性 , *归并性三. 常用结论
3、: 11nn, 1(0)1naa, 1()m ax (,)nnnnabca b c, 00!naan1(0 )xx, 0lim1xxx, l i m0nxxxe, lnlim0nxxx, 0l i ml n0nxxx, 0,xxex四. 必备公式 : 1. 等价无穷小 : 当( )0u x时, si n()()u xu x; tan ( )( )u xu x; 211cos ( )( )2u xux; ( )1( )u xeu x; l n ( 1() )(u xux; (1( )1( )u xu x; a rc s i n()(u xu x; arctan ( )( )u xu x2. 泰勒
4、公式 : (1)2211()2!xexxo x; (2)221ln(1)()2xxxo x; (3)341sin()3!xxxo x; (4)24511cos1()2!4!xxxo x; (5)22(1)(1)1()2!xxxo x. 五. 常规方法 : 前提: (1)准确判断0,1 ,0M(其 它精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页如:00, 0, 0 ,); (2) 变量代换 (如:1tx) 1. 抓大弃小(), 2. 无穷小与有界量乘积(M) (注:1sin1,xx) 3. 1处理 (其它如 :000 ,) 4
5、. 左右极限 (包括x): (1)1(0)xx; (2)()xex; 1(0 )xex; (3)分段函数 : x, x, max( )f x5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注: 非零因子 ) 6. 洛必达法则(1) 先 ” 处 理 ” ,后 法 则 (00最 后 方 法 ); ( 注 意 对 比 : 1lnlim1xxxx与0lnlim1xxxx) (2) 幂 指 型 处 理 : ( )( )ln( )( )v xv xu xu xe( 如 : 1111111(1)xxxxxeeee) (3)含变限积分 ; (4)不能用与不便用7. 泰勒公式 (皮亚诺余项 ): 处理和式中的无穷小8.
6、 极限函数 : ( )lim( , )nf xF x n(分段函数 ) 六. 非常手段1. 收敛准则 : (1)( )lim( )nxaf nf x(2)双边夹 : *?nnnbac, *,?nnb ca(3) 单 边 挤 : 1()nnaf a*21?aa*?naM*( )0?fx2. 导数定义 (洛必达 ?): 00l i m()xffxx3. 积分和: 10112l i m()()()()nnffffx dxnnnn, 4. 中值定理 : lim()( )lim( )xxf xaf xaf5. 级数和 (数一三 ): (1)1nna收 敛l i m0nna, ( 如2!limnnnnn)
7、 (2)121lim()nnnnaaaa, (3)na与11()nnnaa同敛散七. 常见应用 : 1. 无穷小比较 (等价 ,阶): *( ),(0)?nf xkxx(1)(1)( )(0)(0)(0)0,(0)nnffffa( )()!nnnaaf xxxxnn(2)00( )xxnf t dtkt dt2. 渐近线 (含斜 ): (1)( )lim,lim( )xxf xabf xaxx( )f xaxb(2)( )fxaxb,(10 x) 3. 连续性 : (1) 间断点判别(个数 ); (2) 分段函数连续性(附:极限函数 , ( )fx连续性 ) 八. , a b上连续函数性质1.
8、 连通性 : ( , ),fa bm M(注 :01, “ 平均” 值:0( )(1)( )()f af bf x) 2. 介值定理 : (附: 达布定理 ) (1)零点存在定理: ( )( )0f a f b0()0f x(根的个数 ); (2)( )0( )0 xafxf x dx.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页一. 基本概念 : 1. 差 商 与 导 数 : ( )fx0()( )limxf xxf xx; 0()fx000( )()limxxf xf xxx(1)0( )(0)(0)limxf xffx
9、(注 :0( )lim(xf xA fx连续 )(0)0,(0)ffA) (2)左右导 : 00(),()fxfx; (3)可导与连续 ; (在0 x处, x连续不可导 ; x x可导 ) 2. 微分与导数: ()( )( )()( )ff xxf xfxxoxdffx dx(1)可微可导 ; (2)比较,fdf与0的大小比较(图示); 二. 求导准备 : 1. 基本初等函数求导公式; (注: ( )f x) 2. 法 则 : (1) 四 则 运 算 ; (2) 复 合 法 则 ; (3) 反 函 数1dxdyy三. 各类求导 (方法步骤 ): 1. 定义导 : (1)( )fa与( )xaf
10、x; (2)分段函数左右导; (3)0()()limhf xhf xhh( 注 : 00( )( ),xxF xf xxxa, 求 :0(),( )fxfx及( )fx的连续性 ) 2. 初等导 (公式加法则 ): (1)( )uf g x, 求:0()u x(图形题 ); (2)( )( )xaF xf t dt, 求:( )Fx( 注: ( , ), ( , ), ( )xbbaaaf x t dtf x t dtf t dt) (3)0102( ),( )xxfxyxxfx,求00(),()fxfx及0()fx(待定系数 ) 3. 隐式 ( , )0f x y)导: 22,dyd ydx
11、dx(1)存在定理 ; (2)微分法 (一阶微分的形式不变性). (3)对数求导法 . 4. 参式导 (数一 ,二): ( )( )xx tyy t, 求:22,dyd ydxdx5. 高阶导( )( )nfx公式 : ( )()axnnaxea e; ( )11!()()nnnb nabxabx; ( )(sin)sin()2nnaxaaxn; ( )(cos)cos()2nnaxaaxn( )( )1(1)2(2)()nnnnnnuvuvC uvC uv注: ( )(0)nf与泰勒展式: 2012( )nnf xaa xa xa x( )(0)!nnfan四. 各类应用 : 1. 斜率与切
12、线(法线 ); (区别 : ( )yfx上点0M和过点0M的切线 ) 2. 物理 : (相对 )变化率速度 ; 3. 曲率 (数一二 ): 23( )( 1 ( )fxfx(曲率半径 , 曲率中心 , 曲率圆 ) 4. 边际与弹性 (数三 ): (附: 需求 , 收益 , 成本 , 利润 )五. 单调性与极值(必求导 ) 1. 判别 (驻点0()0fx): (1) ( )0( )fxf x; ( )0( )fxf x; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页(2)分段函数的单调性(3)( )0fx零点唯一; ( )0f
13、x驻点唯一(必为极值 ,最值 ). 2. 极值点 : (1)表格( )fx变号); (由0002( )( )( )lim0, lim0, lim00 xxxxxxfxfxfxxxxx的特点 ) (2)二阶导 (0()0fx) 注(1)f与,ff的匹配 (f图形中包含的信息); (2) 实 例 : 由( )( )( )( )fxx f xg x确 定 点“0 xx” 的特点 . (3) 闭域上最值(应用例 : 与定积分几何应用相结合, 求最优 ) 3. 不等式证明 ( )0f x) (1)区别 : * 单变量与双变量? * , xa b与 ,),(,)xax? (2)类型: *0,( )0ff
14、a; *0,( )0ff b*0,( ),( )0ff af b; *00( )0,()0,()0fxfxf x(3) 注意 : 单调性端点值极值凹凸性 . (如 : max( )( )f xMfxM) 4. 函数的零点个数: 单调介值六. 凹凸与拐点 (必求导 !): 1. y表格 ; (0()0fx) 2. 应用 : (1)泰勒估计 ; (2)f单调 ; (3)凹凸 . 七. 罗尔定理与辅助函数: (注: 最值点必为驻点) 1. 结论 : ( )( )( )( )0F bF aFf2. 辅助函数构造实例: (1)( )f( )( )xaF xf t dt(2)( ) ( )( )( )0(
15、 )( )( )fgfgF xf x g x(3)( )( ) ( )( )( )0( )( )f xfgfgF xg x(4)( )( )( )0ff( )( )( )x dxF xef x; 3. ()( )0( )nff x有1n个零点(1)( )nfx有2个零点4. 特 例 : 证 明( )( )nfa的 常 规 方 法 : 令( )( )( )nF xf xPx有1n个零点 ( )nPx待定 ) 5. 注: 含12,时,分家 !(柯西定理 ) 6. 附(达布定理): ( )f x在 , a b可导,( ),( )cfafb, , a b,使:( )fc八. 拉格朗日中值定理1. 结论
16、: ( )( )( )()f bf afba; ( )( ),( )0ab) 2. 估计 : ( )ffx九. 泰勒公式 (连接,fff之间的桥梁 ) 1. 结论: 20000011( )()()()()()( )2!3!f xf xfxxxfxxxf; 2. 应用 : 在已知( )f a或( )f b值时进行积分估计十 . 积分中值定理(附 :广义 ): 注 :有定积分 (不含变限 )条件时使用 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页一. 基本概念 : 1. 原函数( )F x: (1)( )( )Fxf x; (2
17、)( )( )f x dxdF x; (3)( )( )f x dxF xc注(1)( )( )xaF xf t dt(连续不一定可导); (2)()( )( )( )xxaaxt f t dtf t dtf x( )f x连续 ) 2. 不定积分性质: (1)( )( )f x dxf x; ( )( )df x dxf x dx(2)( )( )fx dxf xc; ()( )d fxfxc二. 不定积分常规方法1. 熟悉基本积分公式2. 基本方法 : 拆 (线性性 ) 1212( )() )()()k fxk g xd xkfx d xkg x d x3. 凑微法 (基础 ): 要求巧
18、,简 ,活(221sincosxx) 如: 211(),ln ,2dxdxd axbxdxdxdxax2dxdxx221,(1ln)( ln)1xdxdxx dxd xxx4. 变量代换 : (1) 常 用 ( 三 角 代 换 , 根 式 代 换 , 倒 代 换 ): 1sin ,1xxtaxbttetx(2)作用与引伸 (化简 ): 21xxt5. 分部积分 (巧用 ): (1)含需求导的被积函数(如ln,arctan,( )xaxxf t dt); (2)“ 反对幂三指 ” : ,ln,naxnx e dxxxdx(3)特别 : ( )xf x dx(* 已知( )f x的原函数为( )F
19、 x; *已知( )( )fxF x) 6. 特例: (1)11sincossincosaxbxdxaxbx; (2)( ),( )sinkxp x e dxp xaxdx快速法 ; (3)( )( )nv xdxux三. 定积分 : 1. 概念性质 : (1)积分和式 (可积的必要条件:有界 , 充分条件 :连续 ) (2)几何意义 (面积 ,对称性 ,周期性 ,积分中值 ) *220(0)8aaxx dx aa; *()02baabxdx(3)附: ( )()baf x dxM ba, ( ) ( )( )bbaaf x g x dxMg x dx) (4)定积分与变限积分, 反常积分的区
20、别联系与侧重2: 变限积分( )( )xaxf t dt的处理 (重点 ) (1)f可积连续 , f连续可导(2)( )xaf t dt( )f x; ()( )( )xxaaxt f t dtf t dt; ( )()( )xaf x dtxa f x(3)由函数( )( )xaF xf t dt参与的求导, 极限 , 极值 , 积分 (方程 )问题3. NL公式 : ( )( )( )bafx dxF bF a( )F x在 , a b上必须连续 !) 注: (1)分段积分 , 对称性 (奇偶 ), 周期性(2) 有理式 , 三角式 , 根式(3) 含( )baf t dt的方程 . 精选
21、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页4. 变量代换 : ()( ) ) ( )bafx d xfu tut d t(1)00( )()()aaf x dxf ax dx xat, (2)0( )()()( )()aaaaafx dxfx dx xtf xfx dx(如:4411 sindxx) (3)2201sinnnnnIxdxIn, (4)2200(sin )(cos )fx dxfx dx; 200(sin )2(sin )fx dxfx dx, (5)00(sin )(sin )2xfx dxfx dx, 5.
22、分部积分(1)准备时 “ 凑常数 ”(2)已知( )fx或( )xaf x时, 求( )baf x dx6. 附: 三角函数系的正交性: 222000sincossincos0nxdxnxdxnxmxdx2200sinsincoscos()0nxmxdxnxmxdx nm222200sincosnxdxnxdx四. 反常积分 : 1. 类型 : (1)( ),( ),( )aaf x dxf x dxf x dx( )f x连续 ) (2)( )bafx dx: ( )f x在,()xaxbxc acb处为无穷间断) 2. 敛散 ; 3. 计算 : 积分法NL公式极限 (可换元与分部) 4.
23、特例 : (1)11pdxx; (2)101pdxx五. 应用 : (柱体侧面积除外) 1. 面积 , (1)( )( );baSf xg x dx(2)1( )dcSfy dy; (3)21( )2Srd; (4) 侧 面积:22( ) 1 ( )baSf xfx dx2. 体积 : (1)22( )( )bxaVfxgx dx; (2)12( )2( )dbycaVfydyxf x dx(3)0 xxV与0yyV3. 弧长 : 22()()dsdxdy(1)( ), , yf xxa b21 ( )basfx dx(2)12( ), ,( )xx ttt tyy t2122 ( ) ( )
24、ttsxtyt dt(3)( ),rr: 22( ) ( )srrd4. 物理 (数一 ,二)功,引力 ,水压力 ,质心 , 5. 平均值 (中值定理 ): (1)1 , ( )baf a bf x dxba; (2)0( )0)limxxf t dtfx, (f以T为 周期:0( )Tf t dtfT) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页一. 基本概念1. 常识 : 通解 , 初值问题与特解(注 : 应用题中的隐含条件) 2. 变换方程 : (1)令( )xx tyDy(如欧拉方程 ) (2)令( , )( ,
25、)uu x yyy x uy(如伯努利方程) 3. 建立方程 (应用题 )的能力二. 一阶方程 : 1. 形式: (1)( ,)yf x y; (2)( ,)( , )0M x y dxN x y dy; (3)( )y ab2. 变量分离型 : ( )( )yf x g y(1)解法 : ()()()()dyfxdxGyFxCgy(2)“ 偏” 微分方程 : (,)zfxyx; 3. 一阶线性 (重点 ): ( )( )yp x yq x(1)解法(积分因子法): 00( )01( )( ) ( )( )xxp x dxxxM xeyM x q x dxyM x(2)变化 : ( )( )x
26、p y xq y; (3)推广 : 伯努利 (数一 ) ( )( )yp x yq x y4. 齐次方程 : ()yyx(1)解法 : ( ),( )ydudxuuxuuxuux(2)特例 : 111222a xb ycdydxa xb yc5. 全微分方程( 数一 ): ( , )( ,)0M x y dxN x y dy且NMxydUMdxNdyUC6. 一阶差分方程(数三): 1*0()()xxxxxnxxycayaybpxyxQxb三. 二阶降阶方程1. ( )yf x: 12( )yF xc xc2. ( ,)yf x y: 令( )( , )dpyp xyf x pdx3. ( ,
27、)yf y y: 令( )( , )dpyp yypf y pdy四. 高阶线性方程: ( ) ( ) ( )( )a x yb x yc x yf x1. 通解结构 : (1)齐次解 : 01122( )( )( )yxc yxc yx(2)非齐次特解 : 1122( )( )( )*()y xc yxc yxyx2. 常系数方程 : ( )aybycyf x(1)特征方程与特征根: 20abc(2) 非 齐 次 特 解 形 式 确 定 : 待 定 系 数 ; ( 附 : ( )axf xke的算子法 ) (3)由已知解反求方程. 3. 欧 拉 方 程 ( 数 一 ): 2( )ax ybx
28、ycyf x, 令2(1) ,txex yD Dy xyDy五. 应用 (注意初始条件): 1. 几何应用 (斜率 , 弧长 , 曲率 , 面积 , 体积 ); 注: 切线和法线的截距2. 积分等式变方程(含变限积分 ); 可设( )( ),( )0 xaf x dxF xF a3. 导数定义立方程: 含双变量条件()fxy的方程4. 变化率 (速度 )5. 22dvdxFmadtdt6. 路径无关得方程(数一 ): QPxy7. 级数与方程 : (1) 幂 级 数 求 和 ; (2) 方 程 的 幂 级 数 解法:201201,(0),(0)yaa xa xayay8. 弹性问题 (数三 )
29、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页一. 二元微分学概念1. 极限 , 连续 , 单变量连续 , 偏导 , 全微分 , 偏导连续 (必要条件与充分条件), (1)000000(,),(,),( ,)xyff xx yyff xx yff x yy(2)lim,lim,limyxxyfffffxy(3)22, lim()()xyfdffxfydfxy( 判 别可微性 ) 注: (0,0)点处的偏导数与全微分的极限定义: 00( ,0)(0,0)(0,)(0,0)(0,0)lim,(0,0)limxyxyf xffyff
30、fxy2. 特例 : (1)22(0, 0)(,)0,(0, 0)xyxyfxy: (0,0)点处可导不连续 ; (2)22(0, 0)(,)0,(0, 0)xyfxyxy: (0,0)点处连续可导不可微 ; 二. 偏导数与全微分的计算: 1. 显函数一 ,二阶偏导 : ( ,)zf x y注: (1)yx型; (2)00(,)xxyz; (3)含变限积分2. 复合函数的一, 二阶偏导(重点): ( , ),( , )zf u x yv x y熟练掌握记号12111222,fffff的准确使用3. 隐函数 (由方程或方程组确定): (1) 形 式 : *( , , )0F x y z; *(
31、, , )0( , , )0F x y zG x y z(存在定理 ) (2) 微 分 法 ( 熟 练 掌 握 一 阶 微 分 的 形 式 不 变 性 ): 0 xyzF dxF dyF dz(要求 : 二阶导 ) (3)注: 00(,)xy与0z的及时代入(4)会变换方程 . 三. 二元极值 (定义 ?); 1. 二元极值 (显式或隐式 ): (1)必要条件 (驻点 ); (2)充分条件 (判别 ) 2. 条件极值 (拉格朗日乘数法) (注: 应用 ) (1)目标函数与约束条件: ( , )( ,)0zf x yx y, (或 : 多条件 ) (2)求解步骤: ( , , )( , )( ,
32、 )L x yf x yx y, 求驻点即可 . 3. 有界闭域上最值(重点 ). (1)( ,)( , )( , )0zf x yMDx yx y(2)实例 : 距离问题四. 二重积分计算:1. 概念与性质 (“ 积” 前工作 ): (1)Dd, (2)对称性 (熟练掌握 ): *D域轴对称 ; *f奇偶对称 ; *字母轮换对称; *重心坐标 ; (3)“ 分块 ” 积分 : *12DDD; *( ,)f x y分片定义 ; *( , )f x y奇偶2. 计算 (化二次积分 ): (1)直角坐标与极坐标选择(转换 ): 以“D” 为主 ; (2)交换积分次序(熟练掌握 ). 3. 极坐标使
33、用 (转换 ): 22()f xy附: 222:()()Dx ay bR; 2222:1xyDab; 双纽线22 2222()()xya xy:1Dxy4. 特例 : (1)单变量 : ( )f x或( )fy(2)利用 重心 求积分 : 要求 : 题型12()Dk xk y dxdy, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页且已知D的面积DS与重心( ,)x y5. 无界域上的反常二重积分(数三 ) 五: 一类积分的应用():;f M dDL): 1. “ 尺寸 ” : (1)DDdS; (2) 曲面面积 (除柱体侧
34、面 ); 2. 质量 , 重心 (形心 ), 转动惯量 ; 3. 为三重积分 , 格林公式 , 曲面投影作准备.第六讲 : 无穷级数 (数一 ,三) 一. 级数概念1. 定 义 : (1)na, (2)12nnSaaa; (3)limnnS(如1(1)!nnn) 注 : (1)limnna; (2)nq(或1na); (3)“ 伸缩 ” 级数:1()nnaa收敛na收敛 . 2. 性质 : (1)收敛的必要条件: lim0nna; (2)加括号后发散, 则原级数必发散(交错级数的讨论); (3)221,0nnnnss assss; 二. 正项级数1. 正项级数 : (1) 定义 : 0na;
35、(2)特征 : nS; (3)收敛nSM(有界 ) 2. 标准级数 : (1)1pn, (2)lnknn, (3)1lnknn3. 审敛方法 : (注:222abab,lnlnbaab) (1) 比 较 法 ( 原 理 ):npkan(估 计 ), 如10( )nf x dx; ( )( )P nQ n(2)比值与根值: *1limnnnuu*limnnnu(应用: 幂级数收敛半径计算) 三. 交错级数 (含一般项 ): 1( 1)nna(0na) 1. “ 审 ” 前考察 : (1)0?na(2)0?na; (3) 绝对(条件 )收敛 ? 注: 若1lim1nnnaa,则nu发散2. 标准级
36、数 : (1)11( 1)nn; (2)11( 1)npn; (3)11( 1)lnnpn3. 莱布尼兹审敛法(收敛 ?) (1)前提 : na发散 ; (2)条件 : ,0nnaa; (3)结论 : 1( 1)nna条件收敛 . 4. 补充方法 : (1) 加 括 号后 发 散, 则 原 级 数 必发 散 ; (2)221,0nnnnss assss. 5. 注意事项: 对比na; ( 1)nna; na; 2na之间的敛散关系四. 幂级数 : 1. 常见形式 : (1)nna x, (2)0()nnaxx, (3)20()nnaxx2. 阿贝尔定理 : (1) 结 论 : *xx敛*0Rx
37、x; *xx散*0Rxx(2)注: 当*xx条件收敛时*Rxx3. 收敛半径 ,区间 ,收敛域 (求和前的准备) 注(1),nnnnana xxn与nna x同收敛半径(2)nna x与20()nnaxx之间的转换4. 幂级数展开法: (1)前提 : 熟记公式 (双向 ,标明敛域 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页23111,2!3!xexxxR24111()1,22!4!xxeexxR35111(),23!5!xxeexxxR3511sin,3!5!xxxxR2411cos1,2!4!xxxR; 211,(
38、 1,1)1xxxx; 211,( 1,1)1xxxx2311ln(1),( 1,123xxxxx2311ln(1), 1,1)23xxxxx3511arctan, 1,135xxxxx(2)分解 : ( )( )( )f xg xh x(注 :中心移动 ) (特别 : 021,xxaxbxc) (3)考察导函数: ( )( )g xfx0( )( )(0)xfxg x dxf(4)考察原函数 : 0( )( )xg xf x dx( )( )f xg x5. 幂级数求和法(注: *先求收敛域 , *变量替换 ): (1)( ),S x(2)( )S x,(注意首项变化) (3)( )()S
39、x, (4)( )( )S xS x的微分方程(5)应用 :( )(1)nnnnaa xS xaS. 6. 方程的幂级数解法7. 经济应用 (数三 ): (1)复利 : (1)nAp; (2)现值 : (1)nAp五. 傅里叶级数 (数一 ): (2T) 1. 傅氏级数(三角级数): 01( )cossin2nnnaS xanxbnx2. Dirichlet充分条件 (收敛定理 ): (1)由( )( )f xS x(和函数 ) (2)1( )()()2S xf xf x3. 系数公式: 01( )cos1( ),1,2,3,1( )sinnnaf xnxdxaf x dxnbf xnxdx4
40、. 题型 : (注: ( )( ),?f xS xx) (1)2T且( ),(,f xx(分段表示 ) (2)(,x或0,2x(3)0,x正弦或余弦*(4)0,x(T) *5. 2Tl6. 附产品: ( )f x01( )cossin2nnnaS xanxbnx00001()cossin2nnnaS xanxbnx001()()2f xf x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页一. 向量基本运算1. 12k ak b; (平行ba) 2. a; (单位向量(方向余弦) 01( co s, co s, c os)aa
41、a) 3. a b; (投影:( )aa bba; 垂直:0aba b; 夹角 :( , )a ba ba b) 4. a b; (法向 :,naba b; 面积 :Sab) 二. 平面与直线1.平面(1)特征 (基本量 ): 0000(,)( , ,)MxyznA B C(2)方程(点法式): 000:()()()00A xxByyCzzA xB yC zD(3)其它 : *截距式1xyzabc; * 三点式2.直线L(1)特征 (基本量 ): 0000(,)(, ,)Mxyzsm n p(2)方程 (点向式 ): 000:xxyyzzLmnp(3)一般方程 (交面式 ): 11112222
42、00AxB yC zDA xB yC zD(4)其它 : * 二点式 ; * 参数式 ;(附: 线段AB的参数表示:121121121()() ,0,1()xaaa tybbb t tzccc t) 3. 实用方法 : (1)平面束方程: 11112222:()0A xB yC zDA xB yC zD(2) 距 离 公 式 : 如 点000(,)Mxy到 平 面 的 距 离000222A xB yC zDdABC(3)对称问题 ; (4)投影问题 . 三. 曲面与空间曲线(准备 ) 1. 曲面(1)形式: ( , , )0F x y z或( , )zf x y; (注 : 柱面( , )0f
43、 x y) (2)法向(,)(cos,cos, cos )xyznFFF(或(,1)xynzz) 2. 曲线(1)形式( ):( )( )xx tyy tzz t, 或( , , )0( , , )0F x y zG x y z; (2)切向 : ( ),( ),( )sx ty tz t(或12snn) 3. 应用(1)交线 , 投影柱面与投影曲线; (2)旋转面计算 : 参式曲线绕坐标轴旋转; (3)锥面计算 . 四. 常用二次曲面1. 圆柱面 : 222xyR2. 球面 : 2222xyzR变形: 2222xyRz, 222()zRxy, 2222xyzaz, 2222000()()()
44、xxyyzzR3. 锥面 : 22zxy变形 : 222xyz, 22z axy4. 抛物面 : 22zxy, 变形 : 22xyz, 22()zaxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页5. 双曲面 : 2221xyz6. 马鞍面 : 22zxy, 或zxy五. 偏导几何应用1. 曲面(1) 法 向 : ( , , )0(,)xyzF x y znFFF, 注 : ( , )(,1)xyzf x ynff(2)切平面与法线: 2. 曲线(1)切向: ( ),( ),( )( ,)xx tyy tzz tsx yz
45、(2)切线与法平面3. 综合 : :00FG, 12snn六. 方向导与梯度(重点 ) 1. 方向导 (l方向斜率 ): (1)定义(条件): (, ,)(cos,cos,cos)lm n p(2)计算(充分条件:可微): coscoscosxyzuuuul附: 0( , ),cos ,sin zf x ylcossinxyzffl(3)附: 2222cos2sincossinxxxyyyffffl2. 梯度 (取得最大斜率值的方向) G: (1)计算 : ( )( , )(,)xya zf x yGgradzff; ( )( , , )(,)xyzb uf x y zGgraduu uu(2
46、)结论( )aul0G l; ( )b取lG为最大变化率方向; ( )c0()G M为最大方向导数值. 第八讲 : 三重积分与线面积分(数一 ) 一. 三重积分 (fdV) 1. 域的特征 (不涉及复杂空间域): (1)对称性 (重点 ): 含: 关于坐标面 ; 关于变量 ; 关于重心(2)投影法: 22212( , )( , )( , )xyDx y xyRz x yzz x y(3)截面法: 222( )( , )( )D zx y xyRzazb(4)其它 : 长方体 , 四面体 , 椭球2. f的特征 : (1)单变量( )f z, (2)22()f xy, (3)222()f xyz
47、, (4)faxbyczd3. 选择最适合方法: (1)“ 积” 前: *dv; *利用对称性 (重点 ) (2)截面法 (旋转体 ): ( )baD zIdzfdxdy(细腰或中空, ( )f z, 22()f xy) (3)投影法 (直柱体 ): 21( ,)( , )xyzx yzx yDIdxdyfdz(4)球坐标(球或锥体): 22000sin()RIddfd, (5)重心法(faxbyczd): ()Iaxbyczd V4. 应用问题 : 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页(1)同第一类积分: 质量
48、, 质心 , 转动惯量 , 引力(2)Gauss公式二. 第一类线积分(Lfds) 1. “ 积” 前准备 : (1)LdsL; (2)对称性 ; (3) 代入 “L” 表达式2. 计算公式: 22( ) , ( ( ), ( ) ( ) ( )( )baLxx tta bfdsf x ty txtyt dtyy t3. 补充说明 : (1)重心法 : ()()Laxbyc dsaxbyc L; (2)与第二类互换: LLAdsA dr4. 应用范围(1)第一类积分(2)柱体侧面积,Lz x y ds三. 第一类面积分(fdS) 1. “ 积” 前工作 (重点 ): (1)dS; (代入:(
49、, , )0F x y z) (2)对称性 (如: 字母轮换 , 重心 ) (3)分片2. 计算公式 : (1)22( ,),(, )( , , ( , )1xyxyxyDzz x yx yDIf x y z x yzz dxdy(2)与第二类互换: A ndSA dS四 : 第二类曲线积分(1): ( , )( , )LP x y dxQ x y dy(其中L有向 ) 1. 直接计算: ( )( )xx tyy t,2112:( )( )ttt ttIPx tQy t dt常见 (1) 水平线与垂直线; (2)221xy2. Green 公式 : (1)()LDQPPdxQdydxdyxy;
50、 (2)()L AB: *PQyy换路径; *PQyy围路径(3)L(xyQP但D内有奇点 ) *LL(变形 ) 3. 推广 (路径无关性 ):PQyy(1)PdxQdydu(微分方程 )()BAL ABu(道路变形原理 ) (2)( , )( , )LP x y dxQ x y dy与 路 径 无 关 (f待 定 ): 微分方程 . 4. 应用功(环流量):IF dr(有向,(,)FP Q R,(,)d rdsdx dy dz) 五. 第二类曲面积分: 1. 定义: Pdydz QdzdxRdxdy, 或( , , )R x y z dxdy(其中含侧 ) 2. 计算 : (1) 定 向 投