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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 精品学问点第一讲 : 极限与连续 一. 数列函数 : 1. 类型 : 1数列 : *anf n ; *an1f a n2初等函数 : 3分段函数 : *F x f x ,xx 0; n*F x f x ,xx 0;* f2 xx 0axx 04复合 含 f 函数 : yf u ,u 5隐式 方程 : F x y , 06参式 数一 ,二: xx t yy t ,x7变限积分函数 : F x xf , x t dta8级数和函数 数一 ,三: S x a xn02. 特点 几何 : 1单调性与有界性判别 ; f x 单调fx 0, xx
2、 0f x f x0定号 2奇偶性与周期性应用 . f x x1 yf1 : y3. 反函数与直接函数二. 极限性质 : 1. 类型 : * lim na ; * lim xf x 含 x; *x lim xf x 含 0xx 0 2. 无穷小与无穷大注: 无穷量 : 03. 未定型 : 0 , 0, 1 , 00 , 0 ,4. 性质 : *有界性 , *保号性 , *归并性三. 常用结论 : 名师归纳总结 11, a101, xanxbnc1 nn nm a x a b c, nana, 00第 1 页,共 22 页nnnan.1 xx0 , lim x 0x1, x l i mx e0x
3、 limlnx0xxl i m xx 0n l n x, 0x e0,x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 精品学问点四. 必备公式 : 1. 等价无穷小 : 当u x 0时, 1cos 1u2 x ; tan u x ; s i n u xu x; 2u x e1u x ; ln1u x u x ; 1u x 1u x ; a r c si n u x u x; arctan u x 2. 泰勒公式 : 1xe1x12 x2 o x; 0 , 0 ,0; 2变量代换 如:1 xt 2.2ln1x x1x2o x2; 231sinxxo x4;
4、 x33.4cos x11x21x45 o x; 2.4.51x 1x2.12 xo x2. 五. 常规方法 : 前提 : 1 精确判定0 , 0,1 ,M 其它如 :, 01. 抓大弃小 , 2. 无穷小与有界量乘积M 注:sin11,xx3. 1处理 其它如 :0 0 ,0 3分段函数 : x , x , maxf x 4. 左右极限 包括 x: 11 xx0; 2exx; 1x0 ; e x5. 无穷小等价替换因式中的无穷小注 : 非零因子 6. 洛必达法就1先” 处理 ” ,后法就 0 0最终方法 ; 留意对比 : lim x 1xlnx与lim x 0xlnx 1x1x2幂指型处理
5、: u x v xv x lneu x如: e11e11e111 xxexx1x3含变限积分 ; 4不能用与不便用名师归纳总结 7. 泰勒公式 皮亚诺余项 : 处理和式中的无穷小第 2 页,共 22 页8. 极限函数 : f x lim nF x n 分段函数 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 精品学问点六. 特别手段 1. 收敛准就 : 1a nf n lim xf x , *b n,c na.a nfM.*f 0.2双边夹 : *b nanc n.3单边挤 : an1f an*a 2a 1.*2. 导数定义 洛必达 .: l i m x
6、0f x 2 nf x 1 0x d x fnn3. 积分和 : 1 l i mn nf 1 nf4. 中值定理 : lim xf xa f x alim xf 5. 级数和 数一三 : 1a收敛anlim na n0, 如lim n2nn. 2lim na 1a2ann1a , n nn13 an与a n1同敛散n1七. 常见应用 : 1. 无穷小比较 等价 ,阶: *f x kxn,x0.af x an xn xaxn1f0f0fn100,f 0n.n .2xf t dtxn kt dt002. 渐近线 含斜 : 1alim xf x ,blim xf x ax f axbf x 连续性
7、x2f x axb,1 x0 3. 连续性 : 1间断点判别 个数 ; 2分段函数连续性附:极限函数 , 八. , a b 上连续函数性质f b f x 01. 连通性 : f , m M注:01, “ 平均 ”值 :f a 12. 介值定理 : 附: 达布定理 名师归纳总结 1零点存在定理 : xf a f b 0fx 00根的个数 ; 第 3 页,共 22 页2f x 0f x dx 0. a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 精品学问点其次讲 :导数及应用 一元 含中值定理 一. 基本概念 : 1. 差商与导数 : f lim x0fxx
8、f ; fx 0x lim x 0f x f x 0A xxx01f0lim x 0f x xf0注:lim x 0f x A f连续 f00,f0x2左右导 : fx0,fx0; 3可导与连续 ; 在x0处, x 连续不行导 ; x x 可导 2. 微分与导数 : ff xxf x f xox dff x dx1可微可导 ; 2比较f df 与 0 的大小比较 图示 ; 二. 求导预备 : 1. 基本初等函数求导公式; 注: f x dx12. 法就 : 1四就运算 ; 2 复合法就 ; 3反函数dyy三. 各类求导 方法步骤 : 1. 定义导 : 1f a 与f x a; 2分段函数左右导
9、; 3lim h 0f xh hf xh注: f x F x a,xx 0x 0, 求:fx0,f x 及f x 的连续性 x2. 初等导 公式加法就 : 1uf g x , 求:ux 0图形题 ; xf x t dt, bf x t dt, bf t dt 2F x xf t dt , 求:F 注: aaaa3yf 1 ,xx 0,求fx0,fx 0及fx 0待定系数 f2 xx 03. 隐式 f , 0导 : dy,2 d ydxdx21存在定理 ; 2微分法 一阶微分的形式不变性 . 3对数求导法 . 名师归纳总结 4. 参式导 数一 ,二: xx t , 求:dy,2 d y第 4 页
10、,共 22 页yy t dx2dx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5. 高阶导f x 公式 : 名师总结精品学问点ax e n a eax; 2n ; va1 n b n.1; fn nabxnbxsinax n asin axcos ax ancos ax2uvnu v1 C un1v2 C un2注: f 0与泰勒展式 : f x a 0a xa x2n a xan 0n.四. 各类应用 : 1. 斜率与切线 法线 ; 2. 物理 : 相对 变化率3. 曲率 数一二 : 4. 边际与弹性 数三 : 区分 : yf x 上点M0和过点M0的切线 速
11、度 ; 1f 3曲率半径 , 曲率中心 , 曲率圆 f2 附: 需求 , 收益 , 成本 , 利润 五. 单调性与极值 必求导 1. 判别 驻点fx 00: ; f 0f x ; 1 f 0f x 2分段函数的单调性3f 0零点唯独 ; f 0驻点唯独 必为极值 ,最值 . 2. 极值点 : 名师归纳总结 1表格 f x 变号 ; 由lim x x 0f 0, lim x x 0f 0, lim x x 0f 0x,0的特点 第 5 页,共 22 页xxx22二阶导 fx00 x. 注1 f 与f,f的匹配 f图形中包含的信息; 2实例 : 由f x f x g x 确定点 “xx ” 的特点
12、 . 3闭域上最值 应用例 : 与定积分几何应用相结合, 求最优 3. 不等式证明 f x 0 1区分 : * 单变量与双变量. *x , a b 与x ,2类型 : *f0,f a 0; *f0,f b 0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - *f0,f a ,f b 名师总结*f精品学问点0,fx 00,f x000; 3留意 : 单调性端点值极值凹凸性 . 如: f x Mfmax M 4. 函数的零点个数: 单调介值六. 凹凸与拐点 必求导 .: 1. y表格 ; fx00 x 待定 c2. 应用 : 1泰勒估量 ; 2f单调 ; 3凹凸 . 七.
13、 罗尔定理与帮助函数: 注 : 最值点必为驻点 1. 结论 : F b F a F f 02. 帮助函数构造实例: 1f F x xf t dta2f f g 0F x f x g x 3f f g 0F x f x g x 4f f 0F x e x dxf x ; 3. f 0f x 有n1个零点fn1 x 有 2 个零点4. 特例 : 证明f a 的常规方法 :令F x f x P n x 有n1个零点 P n5. 注: 含1,2时,分家 .柯西定理 6. 附达布定理 : f x 在 , a b 可导 ,cf ,f , , a b ,使:f 八. 拉格朗日中值定理1. 结论 : f b
14、f a f ba ; x 0, 0 x 03 ; 2. 估量 : ff xf之间的桥梁 x 0x21f x九. 泰勒公式 连接f,f,fx 0xx 01f1. 结论 : f x f x 02.3.2. 应用 : 在已知f a 或f b 值时进行积分估量十. 积分中值定理 附:广义 : 注:有定积分 不含变限 条件时使用 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 精品学问点第三讲 : 一元积分学一. 基本概念 : 1. 原函数F x : 3f x dxF x c1F f x ; 2f x dxdF x ; 注1F
15、x xf t dt 连续不肯定可导; a2xxt f t dtxf t dtf x f x 连续 aa2. 不定积分性质 : 1 ff x dx f x ; df x dxf f x dx2 x dxf x c ; d fx x c二. 不定积分常规方法1. 熟识基本积分公式2. 基本方法 : 拆线性性 k f k g x d x1k f x d xkg x d x2dx3. 凑微法 基础 : 要求巧 ,简,活 1sin2x2 cosx 如: dx1d axb ,xdx1dx2,dxdlnx ,dxa2xx1xx2dxd1x2,1lnx dxd x lnx 4. 变量代换 : 1常用 三角代换
16、 ,根式代换 ,倒代换 : xsin ,axbt,1t,ex1tx2作用与引伸 化简 : x21xt5. 分部积分 巧用 : 名师归纳总结 1含需求导的被积函数如 lnx ,arctanx,xf t dt ; 第 7 页,共 22 页a2“ 反对幂三指 ”: n axx e dx ,xnlnxdx ,3特殊 : xf x dx*已知f x 的原函数为F x ; *已知f F x 6. 特例 : 1a 1sinxb 1 cos xdxb cos x; 2kx p x e dx,p x sinaxdx快速法 ; 3v x dx u asinx- - - - - - -精选学习资料 - - - -
17、- - - - - 名师总结 精品学问点三. 定积分 : 1. 概念性质 : 1积分和式 可积的必要条件 :有界 , 充分条件 :连续 2几何意义 面积 ,对称性 ,周期性 ,积分中值 *aaxx dx a 208a ; 2*bxa2bdx0xa f x 0a3附: b af x dxM ba , bf x g x dxMbg x dx aa4定积分与变限积分, 反常积分的区分联系与侧重2: 变限积分 xf t dt的处理 重点 a1 f 可积连续 , f 连续可导2 x af t dtf x ; xxt f t dtxf t dt ; x af x dtaa3由函数F x xf t dt参加
18、的求导 , 极限 , 极值 , 积分 方程 问题a3. NL 公式 : b af x dxF b F a F x 在 , a b 上必需连续 . 注: 1 分段积分 , 对称性 奇偶 , 周期性 2有理式 , 三角式 , 根式3含b af t dt 的方程 . 2如:41xdx 4. 变量代换 : b afx d xf u t d t1af x dxaf ax dx xat , 002af x dxafx dx xtaf x fx dxaa041 sin3In2sinnxdxnn1In2, fsin x dx , 042fsin x dx2fcos x dx ; 0fsin x dx20005
19、0xfsin x dx20fsin x dx , 5. 分部积分 1预备时 “凑常数 ”名师归纳总结 2已知f x 或f x x时, 求b af x dx第 8 页,共 22 页a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6. 附: 三角函数系的正交性: 名师总结精品学问点2s i n n x d x2 0c o s n x d x2s i nn xc o s m x d x0002sinnxsinmxdx2cosnxcosmxdx nm 0002sin2nxdx2cos2nxdx00四. 反常积分 : 1. 类型 : 1af x dx,af x dx,a,f
20、 x dx f x 连续 2b af x dx : f x 在xxb ,xc acb 处为无穷间断 2. 敛散 ; 3. 运算 : 积分法N; L 公式1极限 可换元与分部 4. 特例 : 111 x pdx1 x pdx20五. 应用 : 柱体侧面积除外 1. 面积 , 1Sbf x g x dx ;2SdfS1 y dy ; f x 1f2 x dxac3S1r2 d; 4侧面积 :b a222. 体积 : 1V xbf2 g2 x dx ; 2V y2 df1 2dy2bxf x dxaca3V x x 0与Vy y 0b1fx d x3. 弧长 : ds2 dx dy 21yf x ,
21、x , sa2xx t ,y t t , t t 1 2st2x2 y2 t dtyt 13rr ,: sr2 r2 d4. 物理 数一 ,二功,引力 ,水压力 ,质心 , 5. 平均值 中值定理 : 名师归纳总结 1f a b , b1bf x dx; fTf t dt 第 9 页,共 22 页aa2f0lim xx 0f t dt, f 以 T 为周期 :0xT- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 精品学问点第四讲 : 微分方程一. 基本概念1. 常识 : 通解 , 初值问题与特解注: 应用题中的隐含条件 2. 变换方程 : 1令xx t y
22、yDy如欧拉方程 2令uu x yy x u , y 如伯努利方程3. 建立方程 应用题 的才能二. 一阶方程 : 名师归纳总结 1. 形式 : 1yf x y ; 2M , x y dxN x y dy0; 3y a b第 10 页,共 22 页2. 变量分别型 : yf x g y C1解法 : dyf x dxG y F x g y 2“ 偏”微分方程 : zf x y , ; 1xM x q x dxy 0x3. 一阶线性 重点 : yp x yq x 1解法 积分因子法 : M x exp x dxyx0M x x 02变化 : xp y xq y ; dx3推广 : 伯努利 数一
23、yp x yq x y4. 齐次方程 : yyx1解法 : uyuxu ,dux ux2特例 : dya xb yc 1dxa x 2b y 2c 20且NM5. 全微分方程 数一 : M , x y dxN x y dyxydUMdxNdyUCy xcax6. 一阶差分方程 数三 : yx1ay x0x b p x * y xn x Q x bx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 精品学问点三. 二阶降阶方程1. yf x : yF x c xc 2ydpf x p 2. yf x y: 令yp x dx3. yf y y: 令yp y yp
24、dpf , y pdy四. 高阶线性方程 : a x y b x y c x yf1. 通解结构 : 1齐次解 : y 0 c y x c y 2 y*x ax ke的算子法 1 , y xyDy2非齐次特解 : y x c y x c y 22. 常系数方程 : aybycyf x 0f x 1特点方程与特点根: a2bc2非齐次特解形式确定: 待定系数 ; 附: 3由已知解反求方程. f x x y 2 D D, 令xt e3. 欧拉方程 数一 : 2 ax ybxycy五. 应用 留意初始条件: 1. 几何应用 斜率 , 弧长 , 曲率 , 面积 , 体积 ; 注: 切线和法线的截距2.
25、 积分等式变方程 含变限积分 ; x可设 af x dx F x F a 03. 导数定义立方程 : 含双变量条件 f x y 的方程4. 变化率 速度 5. Fmadv2 d xQPdtdt26. 路径无关得方程数一 : xy7. 级数与方程 : 1幂级数求和 ; 2方程的幂级数解法:ya0a xa x2,a 0y0,a 1y08. 弹性问题 数三 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 精品学问点第五讲 : 多元微分与二重积分一. 二元微分学概念1. 极限 , 连续 , 单变量连续 , 偏导 , 全微分
26、, 偏导连续 必要条件与充分条件, y 1ff x 0x y 0y,xff x0x y0,yff x0,y 02 limf,fxlimxf,fylimyfxy3fxxfyydf, limf2dfy 2判别可微性 x 注: 0,0 点处的偏导数与全微分的极限定义: fx0,0lim x 0f ,0xf0,0,fy0,0lim y 0f0,yyf0,02. 特例 : 1f x y , x2xy20,0: 0,0 点处可导不连续; 0要求 : 二阶导 y0,0,02f x y , xxyy20,0: 0,0 点处连续可导不行微; 20,0,0二. 偏导数与全微分的运算: 1. 显函数一 ,二阶偏导
27、: zf x y , 注: 1y x 型; 2z xx 0,y 0; 3 含变限积分2. 复合函数的一 ,二阶偏导 重点 : zf u x y , ,v x y娴熟把握记号f 1,f,f 11 ,f,f的精确使用212223. 隐函数 由方程或方程组确定: 1形式 : *F x y z0; *F x y z0存在定理 G x y z , , 02微分法 娴熟把握一阶微分的形式不变性: F dxF dyF dz3注: x0,y 0与0z 的准时代入4会变换方程 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 精品学问点三. 二元极值 定义 .; 1. 二元极值 显式或