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1、主要公式总结第八章空间解析几何与向量代数1、二次曲面1）椭圆锥面：22222zbyax2）椭球面：1222222czbyax旋转椭球面：1222222czayax3）单叶双曲面：1222222czbyax双叶双曲面：1222222czbyax4）椭圆抛物面：zbyax2222双曲抛物面（马鞍面） ：zbyax22225）椭圆柱面：12222byax双曲柱面：12222byax6）抛物柱面：ayx2（二） 平面及其方程1、点法式方程：0)()()(000zzCyyBxxA法向量：),(CBAn，过点),(000zyx2、一般式方程：0DCzByAx截距式方程：1czbyax3、两平面的夹角：),
2、(1111CBAn，),(2222CBAn，222222212121212121cosCBACBACCBBAA210212121CCBBAA；21/212121CCBBAA4、点),(0000zyxP到平面0DCzByAx的距离：222000CBADCzByAxd（三） 空间直线及其方程名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - 1、一般式方程：0022221111DzCyBxADzCyBxA2、对称式（点向式）方程：pz
3、znyymxx000方向向量：),(pnms，过点),(000zyx3、两直线的夹角：),(1111pnms，),(2222pnms，222222212121212121cospnmpnmppnnmm21LL0212121ppnnmm；21/ LL212121ppnnmm4、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sinpnmCBACpBnAm/L0CpBnAm；LpCnBmA第九章多元函数微分法及其应用1、连续：),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx2、偏导数：xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000；yyxfyyxfyxfyy
4、),(),(lim),(00000003、方向导数：coscosyfxflf其中,为l的方向角。4、梯度：),(yxfz，则jyxfiyxfyxgradfyx),(),(),(000000。5、全微分：设),(yxfz，则dddzzzxyxy（一） 性质1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 2、微分法1）复合函数求导：链式法则若( , ),( ,),( ,)
5、zf u vuu x yvv x y，则zzuzvxuxvx，zzuzvyuyvy（二） 应用1）求函数),(yxfz的极值解方程组00yxff求出所有驻点，对于每一个驻点),(00yx，令),(00yxfAxx，),(00yxfBxy，),(00yxfCyy，若02BAC，0A，函数有极小值，若02BAC，0A，函数有极大值；若02BAC，函数没有极值；若02BAC，不定。2、几何应用1）曲线的切线与法平面曲线)()()(:tzztyytxx，则上一点),(000zyxM（对应参数为0t）处的切线方程为：)()()(000000tzzztyyytxxx法平面方程为：0)()()(000000
6、zztzyytyxxtx2）曲面的切平面与法线偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件必要条件定义1 2 2 3 4 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - 曲面0),(:zyxF，则上一点),(000zyxM处的切平面方程为：0)(,()(,()(,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法线方程为：),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx第
7、十章重积分（一） 二重积分：几何意义：曲顶柱体的体积1、定义：nkkkkDfyxf10),(limd),(2、计算：1）直角坐标bxaxyxyxD)()(),(21，21( )( )( , )d dd( , )dbxaxDf x yx yxf x yydycyxyyxD)()(),(21，21()()( , )d dd( , )ddycyDfx yx yyf x yx2）极坐标)()(),(21D，21()()( , )d d(cos , sin )dDf x yx ydf（二） 三重积分1、定义：nkkkkkvfvzyxf10),(limd),(2、计算：1）直角坐标Dyxzyxzzzyxf
8、yxvzyxf),(),(21d),(ddd),( -“先一后二 ”ZDbayxzyxfzvzyxfdd),(dd),( -“先二后一 ”2）柱面坐标zzyxsincos，( , , )d(cos ,sin , ) d d df x y zvfzz3）球面坐标名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - cossinsincossinrzryrx2( , , )d( sincos , sinsin , cos )sin d
9、d df x y zvf rrrrr（三） 应用曲面DyxyxfzS),(,),(:的面积：yxyzxzADdd)()(122第十一章曲线积分与曲面积分（一） 对弧长的曲线积分1、定义：01( , )dlim(,)niiiLif x ysfs2、计算：设),(yxf在 曲 线 弧L上 有 定 义 且 连 续 ，L的参数 方 程为)(),(),(ttytx， 其 中)(),(tt在,上具有一阶连续导数，且0)()(22tt，则22( ,)d( ),( )( )( )d ,()Lfx ysfttttt（二） 对坐标的曲线积分1、定义：设 L为xoy面内从A 到B 的一条有向光滑弧，函数),(yxP
10、，),(yxQ在L 上有界，定义nkkkkLxPxyxP10),(limd),(，nkkkkLyQyyxQ10),(limd),(. 向量形式：LLyyxQxyxPrFd),(d),(d2、计算：设),(, ),(yxQyxP在有向光滑弧L上有定义且连续,L的参数方程为):(),(),(ttytx，其中)(),(tt在,上具有一阶连续导数，且0)()(22tt，则( ,)d( ,)d ( ),( )( )( ),( )( )dLP x yxQ x yyPtttQtttt3、两类曲线积分之间的关系：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -
11、- - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - 设平面有向曲线弧为)()(tytxL：，L上点),(yx处的切向量的方向角为：,，)()()(cos22ttt，)()()(cos22ttt，则dd(coscos)dLLP xQ yPQs. （三） 格林公式1、格林公式：设区域D是由分段光滑正向曲线L 围成，函数),(, ),(yxQyxP在D 上具有连续一阶偏导数, 则有LDyQxPyxyPxQdddd2、G为一个单连通区域，函数),(, ),(yxQyxP在G上具有连续一阶偏导数，则yPxQ曲线积分ddLP xQ y在G
12、内与路径无关（四） 对面积的曲面积分1、定义：设为光滑曲面，函数),(zyxf是定义在上的一个有界函数，定义iiiiniSfSzyxf),(limd),(102、计算：“一单二投三代入”),(:yxzz，xyDyx),(，则yxyxzyxzyxzyxfSzyxfyxDyxdd),(),(1),(,d),(22（五） 对坐标的曲面积分1、定义：设为 有 向 光 滑 曲 面 ， 函 数),(),(),(zyxRzyxQzyxP是 定 义 在上 的 有 界 函 数 ， 定 义01( , , )d dlim(,)()niiiixyiR x y zx yRS同理，01( , , )d dlim(,)()
13、niiiiyziP x y zy zPS；01( , , )d dlim(,)()niiiizxiQ x y zz xRS2、性质：1）21，则名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - 12d dd dd dd dd dd dd dd dd dP y zQ z xR x yP y zQ z xR x yP y zQ z xR x y计算：“ 一投二代三定号”),(:yxzz，xyDyx),(，),(yxzz在xyD上 具
14、 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ，),(zyxR在上 连 续 ， 则( , , )d d , , ( , )d dx yDR x y zx yR x y z x yx y,为上侧取“ + ” ，为下侧取“ - ”. 3、两类曲面积分之间的关系：SRQPyxRxzQzyPdcoscoscosdddddd其中,为有向曲面在点),(zyx处的法向量的方向角。（六） 高斯公式1、高斯公式： 设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成 , 的方向取外侧 , 函数,P Q R在上有连续的一阶偏导数,则有yxRxzQzyPzyxzRyQxPddddddddd或SRQPzyxzRyQxPdcoscoscosddd
15、2、通量与散度通量：向量场),(RQPA通过曲面指定侧的通量为：yxRxzQzyPdddddd散度：zRyQxPAdiv（七） 斯托克斯公式1、斯 托 克 斯 公 式 ： 设 光 滑 曲 面的 边 界是 分 段 光 滑 曲 线 , 的 侧 与的 正 向 符 合 右 手 法 则 , ),(),(),(zyxRzyxQzyxP在包含在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数,则有zRyQxPyxyPxQxzxRzPzyzQyRddddddddd为便于记忆 , 斯托克斯公式还可写作: zRyQxPRQPzyxyxxzzyddddddddd2、环流量与旋度环流量：向量场),(RQPA沿着有向闭曲线的环流量为
16、zRyQxPddd名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - 旋度：yPxQxRzPzQyRArot,第十二章无穷级数（一） 常数项级数1、定义：1）无穷级数：nnnuuuuu3211部分和：nnkknuuuuuS3211，正项级数：1nnu，0nu交错级数：1) 1(nnnu，0nu2）级数收敛：若SSnnlim存在，则称级数1nnu收敛，否则称级数1nnu发散3）条件收敛：1nnu收敛，而1nnu发散；绝对收敛：1nn
17、u收敛。2、性质：1）改变有限项不影响级数的收敛性；2）级数1nna，1nnb收敛，则1)(nnnba收敛；3）级数1nna收敛，则任意加括号后仍然收敛；4）必要条件：级数1nnu收敛0limnnu.（注意：不是充分条件！）3、审敛法正项级数：1nnu，0nu1）定义：SSnnlim存在；2）1nnu收敛nS有界；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - 3）比较审敛法：1nnu，1nnv为正项级数，且), 3,2, 1
18、(nvunn若1nnv收敛，则1nnu收敛；若1nnu发散，则1nnv发散 . 4）比较法的推论：1nnu，1nnv为正项级数， 若存在正整数m，当mn时，nnkvu，而1nnv收敛，则1nnu收敛；若存在正整数m，当mn时，nnkvu，而1nnv发散，则1nnu发散 . 5）比较法的极限形式：1nnu，1nnv为正项级数，若)0(limllvunnn，而1nnv收敛，则1nnu收敛；若0limnnnvu或nnnvulim，而1nnv发散，则1nnu发散 . 6）比值法：1nnu为正项级数，设luunnn1lim，则当1l时，级数1nnu收敛；则当1l时，级数1nnu发散；当1l时，级数1nn
19、u可能收敛也可能发散. 7）根值法：1nnu为正项级数， 设lunnnlim，则当1l时，级数1nnu收敛；则当1l时，级数1nnu发散；当1l时，级数1nnu可能收敛也可能发散. 8）极限审敛法：1nnu为正项级数，若0limnnun或nnunlim，则级数1nnu发散；若存在1p，使得)0(limllunnpn，则级数1nnu收敛 . 交错级数：莱布尼茨审敛法：交错级数：1) 1(nnnu，0nu满足：), 3 ,2, 1(1nuunn，且0limnnu，则级数1) 1(nnnu收敛。任意项级数：1nnu绝对收敛，则1nnu收敛。常见典型级数：几何级数：110qqaqnn发散，收敛，；p
20、- 级数：1p111发散，收敛，pnnp（二） 函数项级数1、定义：函数项级数1)(nnxu，收敛域，收敛半径，和函数；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - 2、幂级数：0nnnxa3、收敛半径的求法：nnnaa1lim，则收敛半径0,00,1R4、泰勒级数nnnxxnxfxf)(!)()(000)(0)(! ) 1()(lim)(lim10) 1(nnnnnxxnfxR展开步骤：（直接展开法）1）求出,3 ,2,
21、1),()(nxfn；2）求出,2, 1 ,0),(0)(nxfn；3）写出nnnxxnxf)(!)(000)(；4）验证0)(! ) 1()(lim)(lim10) 1(nnnnnxxnfxR是否成立。间接展开法：（利用已知函数的展开式）1）),(,!10 xxnennx；2）),(,! )12(1)1(sin0121xxnxnnn；3）),(,)!2(1)1(cos021xxnxnnn；4）) 1, 1(,110 xxxnn；5）)1, 1(,)1(110 xxxnnn6） 1, 1(,1) 1()1ln(01xxnxnnn7）)1,1(,)1(11022xxxnnn8）)1, 1(,!)
22、1()1(1)1(1xxnnmmmxnnm5、傅里叶级数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - 1）定义：正交系：nxnxxxxxcos,sin,2cos,2sin,cos,sin, 1函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间,上积分为零。傅里叶级数：)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn系数：), 3,2, 1(dsin)(1), 2, 1,0(dcos)(1nxnxxfbnxnxxfann2）收敛定理：
23、 ( 展开定理 ) 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 ,并满足狄利克雷( Dirichlet )条件 : 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有为间断点为连续点xxfxfxxfnxbnxaannn,2)()(),(sincos2103）傅里叶展开：求出系数：),3,2,1(dsin)(1),2,1,0(dcos)(1nxnxxfbnxnxxfann；写出傅里叶级数)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn；根据收敛定理判定收敛性。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -