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1、个性化辅导讲义杭州龙文教育科技1 课题解三角形专题1 教学目标理解正玄定理、余弦定理的基本内容会应用正玄定理、余弦定理解决有关三角形的问题重点、难点正玄定理、余弦定理的基本内容及其简单应用考点及考试内容本章中的有关三角形的一些实际问题，往往动笔计算比较复杂，象这样的问题的计算就要求大家能用计算器或电脑来帮助计算，能根据精确度的需要保留相应的位数。尽管科学技术发展很快，但必要的计算能力对于一个现代人还是有必要的，所以平时大家还要注意训练自己的运算速度与准确性，时刻注意锻炼自己的意志力。教学内容一、正弦定理及其证明正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sinsinsinabcAB
2、C正弦定理揭示的是一般三角形中的重要边角关系，它们是解三角形的两个重要定理之一。对于正弦定理，课本首先引导学生回忆任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，引导学生思考是否能得到这个边、角关系准确量化表示的问题。由于涉及边角之间的数量关系，就比较自然地引导到三角函数。在直角三角形中，边之间的比就是锐角的三角函数。研究特殊的直角三角形中的正弦，就很快证明了直角三角形中的正弦定理。分析直角三角形中的正弦定理，考察结论是否适用于锐角三角形，可以发现asinB 和 bsinA 实际上表示了锐角三角形边AB上的高。这样，利用高的两个不同表示，就容易证明锐角三角形中的正弦定理。钝角三角形中定理的证明
3、要应用正弦函数的诱导钝角三角形中定理的证明要应用正弦函数的诱导公式，教科书要求学生自己通过探究来加以证明。可以考虑采用向量的知识来证明。二、 余弦定理及其证明余弦定理在一个三角形中，任一边的平方都等于其它两边的平方和减去这两边与其夹角的余弦的积的2倍，即2222cosabcbcA；2222cosbacacB；2222coscababC；余弦定理同样揭示的是一般三角形中的重要边角关系，它们是解三角形的两个重要定理之一。由直角三角形三边间的关系，归纳猜想任意三角形的边角间的关系。自己学会探索、并试着去从理论上去解决。通过这个定理的探索并去从理论上证明，作为一个现代中学生，要掌握一些研究事物的方法、
4、要学会学习，善于提出问题，并且试着去解决问题。同样这个定理的证明也是采用了向量的相关知识很容易得到解决，向量知识在数学上的一个具体应用，这也表达了数学科学的特点之一：前后知识间联系紧密。这也要求大家能够将前后知识联系起来，而不应该是孤立地来学习某部分知识，而不善于将所学恰当地应用，这也要求大家能够活学活用。当然这两个定理的证明证明方法，自己还可以考虑采用比方平面几何知识等其它的方法，以锻炼自己的能力。三、正弦定理和余弦定理的应用正弦定理的应用：1用正弦定理解三角形是正弦定理的一个直接应用，正弦定理可以用于两类解三角形的问题：已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角。精选学习资料 - -
5、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页个性化辅导讲义杭州龙文教育科技2 已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角 . 三角形解的个数一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形已知a, b 和 A ，用正弦定理求B时的各种情况：假设 A为锐角时 : sinsin()sin(,)3()abAabAbAabab无解一解 直角二解 一锐一钝一解 锐角，如以下图所示：babababaa已知边 a,b 和A仅有一个解有两个解仅有一个解无解a bCH=bsinAaba=CH=bsinAaCH=bsinAACBACB1AB
6、ACB2CHHH假设 A为直角或钝角时:ab ()ab无解一解 锐角余弦定理的应用：利用余弦定理可以解决两类解斜三角形问题：（1）已知三边，求各角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角。考点知识点一：正弦定理典型例题1. 定理：2sinsinsinabcRABC. R为三角形外接圆半径2. 例题：例 1：在ABC中，已知045A，060B，2a，求b. 例 2：06,45 ,2,ABCcAabB C中，求 和. 针对性练习1、03,60 ,1,ABCbBcaA C中，求 和. 2、023,60 ,2 2,ABCaAbB中，求精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳
7、总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页个性化辅导讲义杭州龙文教育科技3 3. 已知ABC中，A=60，3a，求sinsinsinabcABC. 4、ABC中，假设:1: 2:3A B C则:a b c5、ABC中，假设2 sinbaB则A= 6. 已知a、b为ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且sin2sin3AB，求abb的值7、002,30 ,135 ,ABCbBCa中，求考点二：余弦定理1. 定理：2222cosbacacB推论222cos2bcaAbc2222cosabcbcA222cos2acbBac2222coscababC222cos2bacCba典型例题例
8、1. 在ABC中，已知3a，4b，060C，求c. 练习：在ABC中，已知2 3a，62c，060B，求b及A. 答案：22b，060A例 2：在ABC中，已知a3，b4，c6，求cosC. 知识点方法总结小结： 余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；余弦定理的应用范围：已知三边求三角；已知两边及它们的夹角，求第三边. 针对性练习1. 三角形ABC中，A120，b3，c5，求a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页个性化辅导讲义杭州龙文教育科技4 2. 在ABC中，假设222abcbc，求
9、角A. 答案：A=1200变式：在ABC中，()()3abcbcabc，则A3. 三角形ABC中，3,2,10ABACBC，求AB AC正弦定理和余弦定理的综合问题例 1三角形ABC中， cosC1314，a 7，b8，求最大角的余弦变式：在ABC中，已知sinAsinBsinC=654，求最大角的余弦. 例 2：在ABC中，已知a7，b10，c6，判断三角 形的类型 . 222222222是直角是直角三角形是钝角是钝角三角形是锐角abcAABCabcAABCabcA是锐角三角形ABC练习： 1. 在ABC中，已知a3，b5，c7，判断三角形的类型. 2. 在ABC中，假设2cosBsinA
10、sinC ，则ABC的形状一定是A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形3. 已知ABC中，coscosbCcB，试判断ABC的形状 . 4. 三角形ABC中，C60，a3，c7，求b5. 在ABC中，已知12,3,cos4acB，求 1b的值 2求sinC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页个性化辅导讲义杭州龙文教育科技5 6. 已知ABC三个顶点的直角坐标分别为(3 4)A，(0 0)B，(0)C c，1假设5c，求sinA的值 (2) 假设A是钝角，求c的取值范围 7. 在ABC中，已
11、知54cos,sin135AB，求cosC. 应用问题一、面积问题公式： S=21absinC，S=21bcsinA, S=21acsinB例 1：已知在ABC中，B=30 ,b=6,c=63, 求 a 及ABC的面积 S 练习： 1. 已知在ABC中，B=30 ,AB=2 3,AC=2, 求ABC的面积2. 三角形ABC中，a5，b7，c 8 求ABCS3. 在锐角ABC中，角ABC， ，所对的边分别为abc， ，已知2 2sin3A，假设2a，2ABCS，求b的值。课后练习1 ABC中， a3，b7，c2，那么 B等于A 30 B45C60D1202. 已知 ABC中，sinA:sinB:
12、sinC 132，则 ABC等于 ( ) A12 3 B231 C13 2 D312 3. 在ABC中，60B，2bac，则ABC一定是A、锐角三角形 B、钝角三角形 C 、等腰三角形 D、等边三角形4假设三条线段的长为5、6、7，则用这三条线段 A、能组成直角三角形 B、能组成锐角三角形C、能组成钝角三角形 D、不能组成三角形5在 ABC中，假设8,3,7cba，则其面积等于A12 B 221 C 28 D 366在 ABC中，假设)()(cbbcaca，则 A=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页个性化辅导讲义杭州
13、龙文教育科技6 A090 B 060 C 0120 D 01507在 ABC中，假设1413cos,8,7Cba，则最大角的余弦是A51 B 61 C 71 D 818三角形的两边分别为5 和 3，它们夹角的余弦是方程06752xx的根，则三角形的另一边长为 A. 52 B. 2 13C. 16 D. 4 9如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为A、锐角三角形 B、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、由增加的长度决定10在 ABC中，周长为7.5cm，且 sinA ：sinB ：sinC 4：5：6, 以下结论：6:5:4:cba6:5:2:cbacmccmbcma3
14、,5.2,26:5:4:CBA其中成立的个数是 ( ) A0 个B1 个C2 个D3 B组稳固提高11已知锐角三角形的边长分别是2,3, x，则x的取值范围是A、15x B、513x C、05x D、135x13在ABC中，假设AB5，AC5，且 cosC109，则BC_14在 ABC中，6:5:4:baaccb，则 ABC的最大内角的度数是15在ABC中，C60，a、b、c分别为A、B、.C的对边，则cabcba_16假设平行四边形两条邻边的长度分别是46 cm 和 43 cm，它们的夹角是45，则这个平行四边形的两条对角线的长度分别为 . 17 A BC中，,26ABC=300，则 AC+BC 的最大值是 _。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页