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1、学习必备欢迎下载抛物线专题复习讲义及练习知识梳理1. 抛物线的标准方程、类型及其几何性质 (0p) ：标准方程pxy22pxy22pyx22pyx22图形yxOyxOyxOyxO焦点)0 ,2(pF)0,2(pF)2, 0(pF)2, 0(pF准线2px2px2py2py范围Ryx,0Ryx, 00, yRx0, yRx对称轴x轴y轴顶点（0，0）离心率1e2. 抛物线的焦半径、焦点弦)0(22ppxy的焦半径PF2Px;)0(22ppyx的焦半径PF2Py； 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径. 其长度为2p. AB 为抛物线pxy22的焦点弦，则BAxx42p，BAyy2p，| AB=
2、pxxBA重难点突破重点 :掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能通过方程研究抛物线的几何性质难点 : 与焦点有关的计算与论证重难点 :围绕焦半径、焦点弦，运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质1.要有用定义的意识问题 1：抛物线y=42x上的一点 M到焦点的距离为1，则点 M的纵坐标是 ( ) A. 1617 B. 1615 C.87 D. 0 点拨：抛物线的标准方程为yx412，准线方程为161y, 由定义知，点M到准线的距离精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页学习必备欢迎下载为 1，所
3、以点M的纵坐标是16152.求标准方程要注意焦点位置和开口方向问题 2：顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点（3，2）的抛物线的条数有点拨：抛物线的类型一共有4 种，经过第一象限的抛物线有2 种，故满足条件的抛物线有2条3.研究几何性质，要具备数形结合思想，“两条腿走路”问题 3：证明：以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切点拨： 设AB为抛物线的焦点弦，F 为抛物线的焦点，点、 BA分别是点BA、在准线上的射影，弦AB的中点为M，则 BBAABFAFAB，点 M 到准线的距离为ABBBAA21) (21，以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线相切热点考点题型探析考点 1 抛物线的定义题型
4、利用定义 , 实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换例 1 已知点 P在抛物线y2 = 4x 上，那么点P到点 Q （2， 1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为【解题思路】将点P到焦点的距离转化为点P到准线的距离解析 过点 P作准线的垂线l交准线于点R，由抛物线的定义知，PRPQPFPQ，当P点为抛物线与垂线l的交点时，PRPQ取得最小值，最小值为点Q到准线的距离,因准线方程为x=-1,故最小值为3 【名师指引】 灵活利用抛物线的定义，就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，一般来说, 用定义问题都与焦半径问题相关【新题导练】1. 已知抛物线22(0)
5、ypx p的焦点为F，点111222()()P xyP xy，333()P xy，在抛物线上，且|1FP、|2FP、|3FP成等差数列，则有（）A321xxx B321yyyC2312xxx D. 2312yyy解析 C 由抛物线定义，2132()()(),222pppxxx即：2312xxx2.已知点),4,3(AF是抛物线xy82的焦点 ,M 是抛物线上的动点,当MFMA最小时 , M 点坐标是( ) A. )0,0(B. )62,3(C. )4,2(D. )62,3(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页学习必备
6、欢迎下载解析 设 M 到准线的距离为MK,则MKMAMFMA|，当MKMA最小时，M 点坐标是)4, 2(，选 C考点 2 抛物线的标准方程题型 : 求抛物线的标准方程例 2 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1) 过点 (-3,2) (2)焦点在直线240 xy上【解题思路】以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论. 解析 (1)设所求的抛物线的方程为22ypx或22(0)xpy p, 过点 (-3,2) 229)3(24pp或2934pp或抛物线方程为243yx或292xy, 前者的准线方程是1,3x后者的准线方程为98y (2)令0 x得2y，令0y得4x，
7、抛物线的焦点为(4,0) 或(0,-2),当焦点为 (4,0)时,42p, 8p，此时抛物线方程216yx; 焦点为 (0,-2)时22p4p，此时抛物线方程28xy. 所求抛物线方程为216yx或28xy, 对应的准线方程分别是4,2xy. 【名师指引】对开口方向要特别小心，考虑问题要全面【新题导练】3. 若抛物线22ypx的焦点与双曲线2213xy的右焦点重合, 则p的值 解析 4132pp4. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为1 的点到焦点的距离等于6；抛物线的通径的长为5；由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）. 能使这抛
8、物线方程为y2=10 x的条件是 _. （要求填写合适条件的序号）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页学习必备欢迎下载 解析 用排除法，由抛物线方程y2=10 x 可排除，从而满足条件. 5. 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点， M为准线与Y轴的交点， A为抛物线上一点, 且3| ,17|AFAM，求此抛物线的方程 解析 设点A是点A在准线上的射影，则3| | AA，由勾股定理知22| | MA，点 A的横坐标为)23 ,22(p， 代入方程pyx22得2p或 4， 抛物线的方程yx42或yx82考点 3
9、抛物线的几何性质题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证例 3 设 A、B 为抛物线pxy22上的点 ,且90AOB(O 为原点 ),则直线 AB 必过的定点坐标为 _. 【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置解析设直线OA 方程为kxy,由pxykxy22解出 A 点坐标为)2,2(2kpkppxyxky212解出 B 点坐标为)2,2(2pkpk，直线 AB 方程为221)2(2kpkxkpky,令0y得px2，直线 AB 必过的定点)0,2( p【名师指引】 （1）由于是填空题，可取两特殊直线AB, 求交点即可； （2）B 点坐标可由A点坐标用k1换 k 而得。【新题导练】6. 若直线10a
10、xy经过抛物线24yx的焦点，则实数a 解析 -1 7. 过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于两点A、B,若 A、B 在抛物线准线上的射影为11,BA,则11FBA( ) A. 45B. 60C. 90D. 120 解析 C 基础巩固训练1.过抛物线xy42的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于)(422Raaa，则这样的直线（）A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.1条或 2 条 D.不存在 解析 C 44)1(52|22aaapxxABBA，而通径的长为4精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11
11、页学习必备欢迎下载2.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线24xy上的点P到该抛物线焦点的距离为5，则点P 的纵坐标为（）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析 B 利用抛物线的定义，点P 到准线1y的距离为5，故点 P 的纵坐标为43.两个正数a、b的等差中项是92，一个等比中项是2 5，且,ba则抛物线2()yba x的焦点坐标为( ) A1(0,)4B1(0,)4C1(,0)2D1(,0)4 解析 D. 1,4,5abba4. 如果1P，2P，8P是抛物线24yx上的点，它们的横坐标依次为1x，2x，8x，F 是抛物线的焦点， 若)(,21Nnxxxn成等差数列且45921xxx，
12、则|5FP=（） A5 B6 C 7 D 9 解析 B 根据抛物线的定义，可知12iiipPFxx（1i，2， n） ，)(,21Nnxxxn成等差数列且45921xxx,55x,|5FP=6 5、抛物线,42Fxy的焦点为准线为 l，l 与 x 轴相交于点E，过 F 且倾斜角等于60的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A，ABl，垂足为 B，则四边形ABEF 的面积等于（）A33B34C36D38 解析 C. 过 A 作 x 轴的垂线交x 轴于点 H，设),(nmA，则1, 1mOFOHFHmABAF，32, 3) 1(21nmmm四边形 ABEF 的面积 =32)13(221366、设
13、O是坐标原点，F是抛物线24yx的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正向的夹角为60，则OA为 解析 21. 过 A 作ADx轴于 D，令FDm，则mFA2即mm22，解得2m)32, 3(A21)32(322OA综合提高训练精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页学习必备欢迎下载7.在抛物线24yx上求一点，使该点到直线45yx的距离为最短，求该点的坐标 解析 解法 1：设抛物线上的点)4,(2xxP，点P到直线的距离17|544|2xxd1717417|4)21(4|2x，当且仅当21x时取等号，故所求的点为），（
14、121解法 2：当平行于直线45yx且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求，设该直线方程为bxy4，代入抛物线方程得0442bxx，由01616b得21, 1 xb，故所求的点为），（1219.设抛物线22ypx（0p）的焦点为F，经过点F 的直线交抛物线于A、B 两点点C 在抛物线的准线上，且BCX 轴证明直线AC 经过原点 O证明 :因为抛物线22ypx（0p）的焦点为,02pF，所以经过点F 的直线 AB 的方程可设为2pxmy，代人抛物线方程得2220ypmyp若记11,A x y，22,B xy，则21, yy是该方程的两个根，所以212y yp因为 BCX 轴，且点C 在准线2
15、px上，所以点C 的坐标为2,2py，故直线 CO 的斜率为21112.2yypkpyx即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O10.椭圆12222byax上有一点M（-4，59）在抛物线pxy22（p0）的准线l 上，抛物线的焦点也是椭圆焦点. （1）求椭圆方程；（2）若点 N 在抛物线上，过N 作准线 l 的垂线，垂足为Q 距离，求 |MN|+|NQ| 的最小值 . 解： （1）12222byax上的点 M 在抛物线pxy22（p0）的准线l 上，抛物线的焦点也是椭圆焦点. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11
16、 页学习必备欢迎下载c=-4，p=8M（ -4，59）在椭圆上125811622ba222cba由解得：a=5、b=3 椭圆为192522yx由 p=8 得抛物线为xy162设椭圆焦点为F（4，0） ，由椭圆定义得 |NQ|=|NF| |MN|+|NQ| |MN|+|NF|=|MF| =541)059()44(22，即为所求的最小值. 参考例题：1、已知抛物线C 的一个焦点为F（21，0） ，对应于这个焦点的准线方程为x=-21. （1）写出抛物线C 的方程；（2）过 F 点的直线与曲线C 交于 A、B 两点， O 点为坐标原点，求AOB 重心 G 的轨迹方程；解： （1）抛物线方程为：y2=
17、2x. （4 分）（2）当直线不垂直于x 轴时，设方程为y=k(x-21)，代入 y2=2x，得： k2x2-(k2+2)x+042k. 设 A（x1，y1） ，B(x2， y2)，则 x1+x2=222kk，y1+y2=k(x1+x2-1)=k2. 设 AOB 的重心为G（x，y）则kyyykkxxx32303230212221，消去 k 得 y2=9232x为所求，（6 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页学习必备欢迎下载当直线垂直于x 轴时， A（21，1） ，B（21，-1） ，（8 分）AOB 的重心
18、G（31，0）也满足上述方程. 综合得，所求的轨迹方程为y2=9232x，（9 分）抛物线专题练习一、选择题（本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分）1如果抛物线y 2=ax 的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为（）A （1, 0）B （2, 0）C （3, 0）D （ 1, 0）2圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）Ax2+ y 2-x-2 y -41=0 Bx2+ y 2+x-2 y +1=0Cx2+ y 2-x-2 y +1=0 Dx2+ y 2-x-2 y +41=0 3抛物线2xy上一点到直线042yx的距离最短的点的坐标是（
19、）A （1，1）B （41,21） C)49,23(D （2，4）4一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m 时，水面宽 4m，若水面下降1m，则水面宽为 （）A6m B 26m C4.5m D 9m 5平面内过点A（-2，0） ，且与直线x=2 相切的动圆圆心的轨迹方程是（）A y 2=2x B y 2=4x Cy 2=8xDy 2=16x6抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上点（-5，m）到焦点距离是6，则抛物线的方程是（）A y 2=-2xB y 2=-4xC y 2=2xD y 2=-4x 或 y 2=-36x7过抛物线y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于A( x1, y 1) ，B
20、(x2, y 2)两点，如果x1+ x2=6，那么|AB|= （）A8 B10 C6 D4 8 把与抛物线y 2=4x关于原点对称的曲线按向量a)3,2(平移，所得的曲线的方程是 （）A)2(4)3(2xyB)2(4)3(2xyC)2(4)3(2xyD)2(4)3(2xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页学习必备欢迎下载9过点 M（2，4）作与抛物线y 2=8x 只有一个公共点的直线l 有（）A0 条 B1 条C2 条 D3 条10过抛物线y =ax2(a0)的焦点 F 作一直线交抛物线于P、Q 两点，若线段PF与
21、 FQ 的长分别是 p、q，则qp11等于（）A2aBa21C4a D a4二、填空题11抛物线y2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为43，则焦点到AB 的距离为12抛物线y =2x2的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是13P是抛物线y 2=4x 上一动点，以P为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定点Q，点 Q 的坐标是14抛 物线 的焦 点为椭圆14922yx的 左 焦点 ，顶 点在椭圆中心 ，则 抛物线方程为一选择题（本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案A D A B C B A C C C 二
22、填空题（本大题共4 小题，每小题6 分，共 24 分）11 2 124kx13 （1，0）14xy542三、解答题15已知动圆M 与直线 y =2 相切，且与定圆C：1)3(22yx外切，求动圆圆心M 的轨迹方程解析 ：设动圆圆心为M（x， y） ，半径为r，则由题意可得M 到 C（0， -3）的距离与到直线 y=3 的距离相等，由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C（0，-3）为焦点，以 y=3 为准线的一条抛物线，其方程为yx12216已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M（ 3，m）到焦点的距离等于 5，求抛物线的方程和m 的值 （12 分）精选学习资料 - - - -
23、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页学习必备欢迎下载解析 ：设抛物线方程为)0(22ppyx，则焦点F（0 ,2p） ，由题意可得5)23(6222pmpm，解之得462pm或462pm，故所求的抛物线方程为yx82，62的值为m17动直线y =a，与抛物线xy212相交于 A 点，动点B 的坐标是)3,0(a，求线段AB 中点 M 的轨迹的方程(12 分) 解析 ：设 M 的坐标为（ x，y） ，A（22a，a） ，又 B)3,0(a得ayax22消去a，得轨迹方程为42yx，即xy4219如图，直线l1和 l2相交于点M，l1l2，点 Nl
24、1以 A、B 为端点的曲线段C 上的任一点到 l2的距离与到点N 的距离相等若AMN 为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6 建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程 (14 分 ) 解析 ：如图建立坐标系，以l1为 x 轴， MN 的垂直平分线为y 轴，点 O 为坐标原点由题意可知：曲线C 是以点 N 为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A、B 分别为 C的端点设曲线段 C 的方程为)0,(),0(22yxxxppxyBA，其中BAxx ,分别为 A、B 的横坐标，MNp所以，)0,2(),0,2(pNpM 由17AM，3AN得172)2(2AApxpx92)2(2AApxp
25、x联立解得pxA4将其代入式并由p0 解得14Axp，或22Axp因为 AMN 为锐角三角形，所以Axp2，故舍去22Axp p=4，1Ax精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页学习必备欢迎下载由 点B在 曲 线 段C上 ， 得42pBNxB 综 上 得 曲 线 段C的 方 程 为)0, 41(82yxxy20已知抛物线)0(22ppxy过动点M（a，0）且斜率为1 的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，pAB2|（）求a的取值范围；（）若线段AB 的垂直平分线交x轴于点 N，求NABRt面积的最大值(14 分 )
26、 解析 ： （）直线l的方程为axy，将pxyaxy22代入，得0)(222axpax设直线l与抛物线两个不同交点的坐标为),(11yxA、),(22yxB，则.),(2,04)(42212122axxpaxxapa又axyaxy2211,，221221)()(|yyxxAB4)(221221xxxx)2(8app0)2(8,2|0apppAB，papp2)2(80解得42pap（）设AB 的垂直平分线交AB 于点 Q，令坐标为),(33yx，则由中点坐标公式，得paxxx2213，paxaxyyy2)()(22121322222)0()(|ppapaQM又MNQ为等腰直角三角形，pQMQN2|，|21QNABSNAB|22ABppp 22222p即NAB面积最大值为22p精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页