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1、优秀教案 欢迎下载 抛物线专题复习讲义及练习 知识梳理 1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质(0p)：标准方程 pxy22 pxy22 pyx22 pyx22 图形 yxO yxO yxO yxO 焦点)0,2(pF)0,2(pF )2,0(pF)2,0(pF 准线 2px 2px 2py 2py 范围 Ryx,0 Ryx,0 0,yRx 0,yRx 对称轴 x轴 y轴 顶点 （0，0）离心率 1e 2.抛物线的焦半径、焦点弦)0(22ppxy的焦半径PF2Px;)0(22ppyx的焦半径PF2Py；过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为 2p.AB 为抛物线pxy22的焦点弦，则
2、BAxx 42p，BAyy2p，|AB=pxxBA 重难点突破 重点:掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能通过方程研究抛物线的几何性质 难点:与焦点有关的计算与论证 重难点:围绕焦半径、焦点弦，运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质 1.要有用定义的意识 问题 1：抛物线 y=42x上的一点 M到焦点的距离为 1，则点 M的纵坐标是()A.1617 B.1615 C.87 D.0 点拨：抛物线的标准方程为yx412，准线方程为161y,由定义知，点 M到准线的距离优秀教案 欢迎下载 为 1，所以点 M的纵坐标是1615 2.求标准方程要注意焦点位置和开口方向 问题
3、2：顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点（3，2）的抛物线的条数有 点拨：抛物线的类型一共有 4 种，经过第一象限的抛物线有 2 种，故满足条件的抛物线有 2条 3.研究几何性质，要具备数形结合思想，“两条腿走路”问题 3：证明：以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切 点拨：设AB为抛物线的焦点弦，F 为抛物线的焦点，点、BA分别是点BA、在准线上的射影，弦AB的中点为 M，则 BBAABFAFAB，点 M 到准线的距离为ABBBAA21)(21，以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线相切 热点考点题型探析 考点 1 抛物线的定义 题型 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离
4、之间的转换 例 1 已知点 P在抛物线 y2=4x 上，那么点 P到点 Q（2，1）的距离与点 P到抛物线焦点距离之和的最小值为 【解题思路】将点 P到焦点的距离转化为点 P到准线的距离 解析过点 P作准线的垂线l交准线于点 R，由抛物线的定义知，PRPQPFPQ，当P点为抛物线与垂线l的交点时，PRPQ 取得最小值，最小值为点 Q到准线的距离,因准线方程为 x=-1,故最小值为 3【名师指引】灵活利用抛物线的定义，就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，一般来说,用定义问题都与焦半径问题相关【新题导练】1.已知抛物线22(0)ypx p的焦点为F，点111222()()P
5、xyP xy，333()P xy，在抛物线上，且|1FP、|2FP、|3FP成等差数列，则有 （）A321xxx B 321yyy C2312xxx D.2312yyy 解析C 由抛物线定义，2132()()(),222pppxxx即：2312xxx 2.已知点),4,3(AF 是抛物线xy82的焦点,M 是抛物线上的动点,当MFMA 最小时,M 点坐标是 ()A.)0,0(B.)62,3(C.)4,2(D.)62,3(长度为为抛物线的焦点弦则重难点突破重点掌握抛物线的定义和标准方抛物线的性质要有用定义的意识问题抛物线上的一点到焦点的距离为则顶点在原点焦点在坐标轴上且经过点的抛物线的条数有点拨
6、抛物线的类优秀教案 欢迎下载 解析 设 M 到准线的距离为MK,则MKMAMFMA|，当MKMA 最小时，M 点坐标是)4,2(，选 C 考点 2 抛物线的标准方程 题型:求抛物线的标准方程 例 2 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点(-3,2)(2)焦点在直线240 xy 上【解题思路】以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论.解析(1)设所求的抛物线的方程为22ypx 或22(0)xpy p,过点(-3,2)229)3(24pp或 2934pp或 抛物线方程为243yx 或292xy,前者的准线方程是1,3x 后者的准线方程为98y (2)令0 x 得
7、2y ，令0y 得4x，抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时,42p,8p，此时抛物线方程216yx;焦点为(0,-2)时22p 4p，此时抛物线方程28xy.所求抛物线方程为216yx或28xy,对应的准线方程分别是4,2xy.【名师指引】对开口方向要特别小心，考虑问题要全面【新题导练】3.若抛物线22ypx的焦点与双曲线2213xy的右焦点重合,则p的值 解析4132pp 4.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6；抛物线的通径的长为 5；由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.
8、能使这抛物线方程为y2=10 x的条件是_.（要求填写合适条件的序号）长度为为抛物线的焦点弦则重难点突破重点掌握抛物线的定义和标准方抛物线的性质要有用定义的意识问题抛物线上的一点到焦点的距离为则顶点在原点焦点在坐标轴上且经过点的抛物线的条数有点拨抛物线的类优秀教案 欢迎下载 解析 用排除法，由抛物线方程 y2=10 x 可排除，从而满足条件.5.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与 Y轴的交点，A为抛物线上一点,且3|,17|AFAM，求此抛物线的方程 解析 设点A是点A在准线上的射影，则3|AA，由勾股定理知22|MA，点 A的横坐标为)23,22(p，代入方程pyx22得2
9、p或 4，抛物线的方程yx42或yx82 考点 3 抛物线的几何性质 题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证 例 3 设 A、B 为抛物线pxy22上的点,且90 AOB(O 为原点),则直线 AB 必过的定点坐标为_.【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置 解析设直线 OA 方程为kxy,由pxykxy22解出A 点坐标为)2,2(2kpkp pxyxky212解出 B 点坐标为)2,2(2pkpk，直线 AB 方程为221)2(2kpkxkpky,令0y得px2，直线 AB 必过的定点)0,2(p【名师指引】（1）由于是填空题，可取两特殊直线 AB,求交点即可；（2）B 点坐标可由 A点坐标
10、用k1换 k 而得。【新题导练】6.若直线10axy 经过抛物线24yx的焦点，则实数a 解析-1 7.过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于两点 A、B,若 A、B 在抛物线准线上的射影为11,BA,则11FBA ()A.45 B.60 C.90 D.120 解析C 基础巩固训练 1.过抛物线xy42的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B两点，它们的横坐标之和等于)(422Raaa，则这样的直线（）A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.1条或 2 条 D.不存在 解析C 44)1(52|22aaapxxABBA，而通径的长为 4 长度为为抛物线的焦点弦则重难点突破重点掌握抛物线的定义和标准方
11、抛物线的性质要有用定义的意识问题抛物线上的一点到焦点的距离为则顶点在原点焦点在坐标轴上且经过点的抛物线的条数有点拨抛物线的类优秀教案 欢迎下载 2.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线24xy上的点P到该抛物线焦点的距离为 5，则点P 的纵坐标为（）A.3 B.4 C.5 D.6 解析 B 利用抛物线的定义，点 P 到准线1y的距离为 5，故点 P 的纵坐标为 4 3.两个正数 a、b 的等差中项是92，一个等比中项是2 5，且,ba 则抛物线2()yba x的焦点坐标为()A1(0,)4 B1(0,)4 C1(,0)2 D1(,0)4 解析 D.1,4,5abba 4.如果1P，2P，8P是抛
12、物线24yx上的点，它们的横坐标依次为1x，2x，8x，F 是抛物线的焦点，若)(,21Nnxxxn成等差数列且45921xxx，则|5FP=（）A5 B6 C 7 D9 解析B 根据抛物线的定义，可知12iiipPFxx （1i，2，n），)(,21Nnxxxn成等差数列且45921xxx,55x,|5FP=6 5、抛物线,42Fxy的焦点为准线为 l，l 与 x 轴相交于点 E，过 F 且倾斜角等于 60的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A，ABl，垂足为 B，则四边形 ABEF 的面积等于（）A33 B34 C36 D38 解析 C.过 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 H，
13、设),(nmA，则1,1mOFOHFHmABAF，32,3)1(21nmmm 四边形 ABEF 的面积=32)13(22136 6、设O是坐标原点，F是抛物线24yx的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正向的夹角为60，则OA为 解析21.过 A 作ADx轴于 D，令FDm，则mFA2即mm22，解得2m)32,3(A21)32(322OA 综合提高训练 长度为为抛物线的焦点弦则重难点突破重点掌握抛物线的定义和标准方抛物线的性质要有用定义的意识问题抛物线上的一点到焦点的距离为则顶点在原点焦点在坐标轴上且经过点的抛物线的条数有点拨抛物线的类优秀教案 欢迎下载 7.在抛物线24yx上求一点，使该
14、点到直线45yx的距离为最短，求该点的坐标 解析 解法 1：设抛物线上的点)4,(2xxP，点P到直线的距离17|544|2xxd1717417|4)21(4|2x，当且仅当21x时取等号，故所求的点为），（121 解法 2：当平行于直线45yx且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求，设该直线方程为bxy 4，代入抛物线方程得0442bxx，由01616b得21,1xb，故所求的点为），（121 9.设抛物线22ypx（0p）的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点点 C 在抛物线的准线上，且 BCX轴证明直线 AC 经过原点 O 证明:因为抛物线22ypx（0p）的焦点为
15、,02pF，所以经过点 F 的直线 AB 的方程可设为2pxmy，代人抛物线方程得2220ypmyp 若记11,A x y，22,B xy，则21,yy是该方程的两个根，所以212y yp 因为 BCX轴，且点 C 在准线2px 上，所以点 C 的坐标为2,2py，故直线 CO 的斜率为21112.2yypkpyx 即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O 10.椭圆12222byax上有一点 M（-4，59）在抛物线pxy22（p0）的准线 l 上，抛物线的焦点也是椭圆焦点.（1）求椭圆方程；（2）若点 N 在抛物线上，过 N 作准线 l 的垂线，垂足为 Q 距离，求|MN|+|NQ|
16、的最小值.解：（1）12222byax上的点 M 在抛物线pxy22（p0）的准线 l 上，抛物线的焦点也是椭圆焦点.长度为为抛物线的焦点弦则重难点突破重点掌握抛物线的定义和标准方抛物线的性质要有用定义的意识问题抛物线上的一点到焦点的距离为则顶点在原点焦点在坐标轴上且经过点的抛物线的条数有点拨抛物线的类优秀教案 欢迎下载 c=-4，p=8 M（-4，59）在椭圆上 125811622ba 222cba 由解得：a=5、b=3 椭圆为192522yx 由 p=8 得抛物线为xy162 设椭圆焦点为 F（4，0），由椭圆定义得|NQ|=|NF|MN|+|NQ|MN|+|NF|=|MF|=541)0
17、59()44(22，即为所求的最小值.参考例题：1、已知抛物线 C 的一个焦点为 F（21，0），对应于这个焦点的准线方程为 x=-21.（1）写出抛物线 C 的方程；（2）过 F 点的直线与曲线 C 交于 A、B 两点，O 点为坐标原点，求AOB 重心 G 的轨迹方程；解：（1）抛物线方程为：y2=2x.（4 分）（2）当直线不垂直于 x 轴时，设方程为 y=k(x-21)，代入 y2=2x，得：k2x2-(k2+2)x+042k.设 A（x1，y1），B(x2，y2)，则 x1+x2=222kk，y1+y2=k(x1+x2-1)=k2.设AOB 的重心为 G（x，y）则kyyykkxxx3
18、2303230212221，消去 k得 y2=9232x为所求，（6 分）长度为为抛物线的焦点弦则重难点突破重点掌握抛物线的定义和标准方抛物线的性质要有用定义的意识问题抛物线上的一点到焦点的距离为则顶点在原点焦点在坐标轴上且经过点的抛物线的条数有点拨抛物线的类优秀教案 欢迎下载 当直线垂直于 x 轴时，A（21，1），B（21，-1），（8 分）AOB 的重心 G（31，0）也满足上述方程.综合得，所求的轨迹方程为 y2=9232x，（9 分）抛物线专题练习 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）1如果抛物线 y 2=ax 的准线是直线 x=-1，那么它的焦点坐标为
19、（）A（1,0）B（2,0）C（3,0）D（1,0）2圆心在抛物线 y 2=2x 上，且与 x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）Ax2+y 2-x-2 y-41=0 Bx2+y 2+x-2 y+1=0 Cx2+y 2-x-2 y+1=0 Dx2+y 2-x-2 y+41=0 3抛物线2xy 上一点到直线042yx的距离最短的点的坐标是（）A（1，1）B（41,21）C)49,23(D（2，4）4一抛物线形拱桥，当水面离桥顶 2m 时，水面宽 4m，若水面下降 1m，则水面宽为（）A6m B 26m C4.5m D9m 5平面内过点 A（-2，0），且与直线 x=2 相切的动圆圆心的
20、轨迹方程是（）A y 2=2x B y 2=4x Cy 2=8x Dy 2=16x 6抛物线的顶点在原点，对称轴是 x 轴，抛物线上点（-5，m）到焦点距离是 6，则抛物线的方程是 （）A y 2=-2x B y 2=-4x C y 2=2x D y 2=-4x 或 y 2=-36x 7过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于 A(x1,y 1)，B(x2,y 2)两点，如果 x1+x2=6，那么|AB|=（）A8 B10 C6 D4 8 把与抛物线y 2=4x关于原点对称的曲线按向量a)3,2(平移，所得的曲线的方程是（）A)2(4)3(2xy B)2(4)3(2xy C)2(4)3
21、(2xy D)2(4)3(2xy 长度为为抛物线的焦点弦则重难点突破重点掌握抛物线的定义和标准方抛物线的性质要有用定义的意识问题抛物线上的一点到焦点的距离为则顶点在原点焦点在坐标轴上且经过点的抛物线的条数有点拨抛物线的类优秀教案 欢迎下载 9过点 M（2，4）作与抛物线 y 2=8x 只有一个公共点的直线 l 有 （）A0 条 B1 条 C2 条 D3 条 10过抛物线 y=ax2(a0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p、q，则qp11等于 （）A2a B a21 C4a D a4 二、填空题 11抛物线 y 2=4x 的弦 AB 垂直于 x
22、 轴，若 AB 的长为 43，则焦点到 AB 的距离为 12抛物线 y=2x2的一组斜率为 k 的平行弦的中点的轨迹方程是 13P 是抛物线 y 2=4x 上一动点，以 P 为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定点 Q，点 Q 的坐标是 14抛物线的焦点为椭圆14922yx的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 一选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A B C B A C C C 二填空题（本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分）112 124kx 13（1，0）14xy542 三
23、、解答题 15已知动圆 M 与直线 y=2 相切，且与定圆 C：1)3(22yx外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程 解析：设动圆圆心为 M（x，y），半径为 r，则由题意可得 M 到 C（0，-3）的距离与到直线 y=3 的距离相等，由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以 C（0，-3）为焦点，以 y=3 为准线的一条抛物线，其方程为yx122 16已知抛物线的顶点在原点，对称轴是 x 轴，抛物线上的点 M（3，m）到焦点的距离等于 5，求抛物线的方程和 m 的值（12 分）长度为为抛物线的焦点弦则重难点突破重点掌握抛物线的定义和标准方抛物线的性质要有用定义的意识问题抛物线上的一点到焦点的距离为
24、则顶点在原点焦点在坐标轴上且经过点的抛物线的条数有点拨抛物线的类优秀教案 欢迎下载 解析：设抛物线方程为)0(22ppyx，则焦点 F（0,2p），由题意可得 5)23(6222pmpm，解之得462pm或462pm，故所求的抛物线方程为yx82，62的值为m 17动直线 y=a，与抛物线xy212相交于 A 点，动点 B 的坐标是)3,0(a，求线段 AB 中点 M 的轨迹的方程(12 分)解析：设 M 的坐标为（x，y），A（22a，a），又 B)3,0(a得 ayax22 消去a，得轨迹方程为42yx，即xy42 19如图，直线 l1和 l2相交于点 M，l1l2，点 Nl1以 A、B
25、为端点的曲线段 C 上的任一点到 l2的距离与到点 N 的距离相等若AMN 为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6建立适当的坐标系，求曲线段 C 的方程(14 分)解析：如图建立坐标系，以 l1为 x 轴，MN 的垂直平分线为 y 轴，点 O 为坐标原点由题意可知：曲线 C 是以点 N 为焦点，以 l2为准线的抛物线的一段，其中 A、B 分别为 C的端点 设曲线段 C 的方程为)0,(),0(22yxxxppxyBA，其中BAxx,分别为 A、B 的横坐标，MNp 所以，)0,2(),0,2(pNpM 由17AM，3AN得 172)2(2AApxpx 92)2(2AApxpx
26、联立解得pxA4将其代入式并由 p0 解得14Axp，或22Axp 因为AMN 为锐角三角形，所以Axp2，故舍去22Axp p=4，1Ax 长度为为抛物线的焦点弦则重难点突破重点掌握抛物线的定义和标准方抛物线的性质要有用定义的意识问题抛物线上的一点到焦点的距离为则顶点在原点焦点在坐标轴上且经过点的抛物线的条数有点拨抛物线的类优秀教案 欢迎下载 由 点 B在 曲 线 段 C上，得42pBNxB 综 上 得 曲 线 段 C的 方 程 为)0,41(82yxxy 20已知抛物线)0(22ppxy过动点 M（a，0）且斜率为 1 的直线l与该抛物线交于不同的两点 A、B，pAB2|（）求a的取值范围
27、；（）若线段 AB的垂直平分线交x轴于点 N，求NABRt面积的最大值(14 分)解析：（）直线l的方程为axy，将pxyaxy22代入，得 0)(222axpax 设直线l与抛物线两个不同交点的坐标为),(11yxA、),(22yxB，则.),(2,04)(42212122axxpaxxapa 又axyaxy2211,，221221)()(|yyxxAB 4)(221221xxxx)2(8app 0)2(8,2|0apppAB，papp2)2(80 解得 42pap （）设 AB的垂直平分线交 AB于点 Q，令坐标为),(33yx，则由中点坐标公式，得 paxxx2213，paxaxyyy2)()(221213 22222)0()(|ppapaQM 又 MNQ为等腰直角三角形，pQMQN2|，|21QNABSNAB|22ABp pp 222 22p 即NAB面积最大值为22p 长度为为抛物线的焦点弦则重难点突破重点掌握抛物线的定义和标准方抛物线的性质要有用定义的意识问题抛物线上的一点到焦点的距离为则顶点在原点焦点在坐标轴上且经过点的抛物线的条数有点拨抛物线的类