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1、高中数学必修二第一章 空间几何体1、棱柱定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱EDCBAABCDE几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。2、棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥
2、EDCBAP几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页3、棱台定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如四棱台ABCDABCD 几何特征：上下底面是相似的平行多边形侧面是梯形侧棱交于原棱锥的顶点4、圆柱定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：底面是全等的圆；母线与轴平行；
3、轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。5、圆锥精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。6、圆台定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形。球体定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。空间几何体的结构特征：面
4、侧面、上底面、下底面、棱、顶点、轴1、中心投影与平行投影中心投影：把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影。平行投影：在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影。2、三视图正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等3、直观图：斜二测画法斜二测画法的步骤：1.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；2.平行于 y 轴的线长度变半，平行于x，z 轴的线长度不变；3.画法要写好。用斜二测画法画出长方体的步骤：1画轴 2画底面 3画侧棱4成图1几何体的外
5、表积为几何体各个面的面积的和。2特殊几何体外表积公式c 为底面周长， h 为高，h为斜高， l 为母线chS直棱柱侧面积rhS2圆柱侧21chS正棱锥侧面积rlS圆锥侧面积)(2121hccS正棱台侧面积lRrS)(圆台侧面积lrrS2圆柱表2rrlS圆锥表22RRlrlrS圆台表3柱体、锥体、台体的体积公式VSh柱2VShr h圆柱13VSh锥hrV231圆锥1()3VSS SS h台2211()()33VSSSS hrrRRh圆台（4）球体的外表积和体积公式：V球=343R； S球面=24 R精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4
6、页，共 11 页点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系平面：公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线线线关系： 1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设 a、b、c 是三条直线ab cb 强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、
7、空间这个性质都适用。公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据线面位置关系1直线在平面内 有无数个公共点2直线与平面相交 有且只有一个公共点3直线在平面平行 没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a 来表示共面直线=ac精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页a a=A a面面关系平行没有公共点；相交有一条公共直线。b 2.2 直线、平面平行的判定及其性质1、线面平行判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。作用：直线与平面的判定定理2、面面平行定理：一个平面内的
8、两条相交直线与另一平面平行，则这两个平面平行。作用：证面面平行2.3 直线、平面垂直的判定及其性质1、线面垂直定理：一条直线与一个平面内的两条直线都垂直，则该直线与此平面垂直。作用：证线面垂直线面角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：1斜线上一点到面的垂线； 2过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。2、面面垂直1定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。作用：证面面垂直2二面角：从一条直线出发的两
9、个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。3二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。4直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角5求二面角的方法定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面两个面的交线所成的角为二面角的平面角3、垂直关系的性质定理线面垂直性质定理：如果两条直线同垂直
10、于一个平面，那么这两条直线平行。面面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页直线与方程1直线的倾斜角定义： x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时 ,我们规定它的倾斜角为0 度。因此，倾斜角的取值范围是0 1802直线的斜率定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即tank。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当90,0时，0k；当180,9
11、0时，0k；当90时，k不存在。过两点的直线的斜率公式：)(211212xxxxyyk注意： (1) 当21xx时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90；(2)k与 P1、P2 的顺序无关； (3) 以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。点斜式：)(11xxkyy直线斜率 k，且过点11,yx注意：当直线的斜率为0时，k=0，直线的方程是 y=y1。当直线的斜率为90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因l 上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式：bkxy，直线斜率为 k，直线在
12、y 轴上的截距为 b 两点式：112121yyxxyyxx1212,xxyy直线两点11,yx，22, yx截矩式：1xyab其中直线l与x轴交于点( ,0)a,与y轴交于点(0, )b,即l与x轴、y轴的截距分别为,a b。一般式：0CByAxA，B 不全为 0注意： 1 各式的适用范围 2 特殊的方程如：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页平行于 x 轴的直线：byb 为常数；平行于y 轴的直线：axa为常数；5直线系方程：即具有某一共同性质的直线一平行直线系平行于已知直线0000CyBxA00,BA是不全为 0
13、 的常数的直线系：000CyBxAC 为常数二过定点的直线系斜率为 k 的直线系：00 xxkyy，直线过定点00, yx；过两条直线0:1111CyBxAl，0:2222CyBxAl的交点的直线系方程为0222111CyBxACyBxA为参数，其中直线2l不在直线系中。6两直线平行与垂直当111:bxkyl，222:bxkyl时，212121,/bbkkll；12121kkll注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。1、两条直线的交点0:1111CyBxAl0:2222CyBxAl相交交点坐标即方程组00222111CyBxACyBxA的一组解。方程组无解21/ ll；方
14、程组有无数解1l与2l重合2、两点间距离公式：设1122(,),A xyB xy，（）是平面直角坐标系中的两个点，则222121|()()ABxxyy3、点到直线距离公式：一点00, yxP到直线0:1CByAxl的距离2200BACByAxd4、两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。第二章 圆与方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。2、圆的方程1标准方程222rbyax，圆心ba,，半径为 r；
15、2一般方程022FEyDxyx当0422FED时 ，方 程 表 示圆 ， 此 时圆 心 为2,2ED，半 径 为FEDr42122当0422FED时，表示一个点；当0422FED时，方程不表示任何图形。3求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，假设利用圆的标准方程，需求出 a，b，r；假设利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。4.2 直线、圆的位置关系1、直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由以下两种方法判断：1设直线0:CByAxl，圆222:rbyaxC，圆心baC,
16、到 l的 距 离 为22BACBbAad， 则 有相离与Clrd；相切与Clrd；相交与Clrd（2）设直线0:CByAxl，圆222:rbyaxC，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为，则有相离与Cl0；相切与Cl0；相交与Cl0注：如果圆心的位置在原点，可使用公式200ryyxx去解直线与圆相切的问题，其中00, yx表示切点坐标， r 表示半径。(3)过圆上一点的切线方程： 圆x2+y2=r2 ， 圆 上 一 点 为 (x0， y0) ， 则 过 此 点 的 切 线方 程 为200ryyxx圆 (x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的
17、切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 2、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和差，与圆心距d之间的大小比较来确定。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页设圆221211:rbyaxC，222222:RbyaxC两圆的位置关系常通过两圆半径的和差，与圆心距d之间的大小比较来确定。当rRd时两圆外离，此时有公切线四条；当rRd时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当rRdrR时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当rRd时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；
18、当rRd时，两圆内含；当0d时，为同心圆。1定义：如图，,OBCDD A B C是单位正方体 .以 A 为原点，分别以 OD,O,A,OB 的方向为正方向，建立三条数轴x轴.y 轴.z 轴。这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz. 1）O 叫做坐标原点2）x 轴，y 轴，z 轴叫做坐标轴 . 3）过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。（2）右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指向为x 轴正方向，食指指向为y 轴正向，中指指向则为 z 轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。3任意点坐标表示：空间一点M 的坐标可以用有序实数组( , , )x y z来表示，有序实数组( , , )x y z叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作( , , )M x y zx 叫做点 M 的横坐标， y 叫做点 M 的纵坐标， z 叫做点 M 的竖坐标4空间两点距离坐标公式：212212212)()()(zzyyxxd精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页