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1、立身以立学为先，立学以读书为本容斥原理（二）【例题分析】例 1. 有 25 人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。第一次达到优秀的有 10 人，第二次达到优秀的有13 人，第三次达到优秀的有15 人，三次都达到优秀的只有 1 人。只有两次达到优秀的有多少人？分析与解：“每人至少有一次达到优秀”说明没有三次都没达到优秀的。要求只有两次达到优秀的人数，就是求重叠两层的部分（图中阴影部分）。10人13人1人15人一次二次三次25人101315251211（人）答：只有两次达到优秀的有11 人。例 2. 在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6 人要了冰棍，
2、 6 人要了汽水， 4 人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3 人，只要冰棍和雪碧的没有，只要汽水和雪碧的有1 人；三样都要的有1 人。问：共有几个小朋友去了冷饮店？分析与解：根据题意画图。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页立身以立学为先，立学以读书为本6614冰汽?人103雪方法一：664310111110()()()（人）方法二：664311210（人）答：共有10 个小朋友去了冷饮店。例 3. 有 28 人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。已知有8 人没参加跑的项目，参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是1
3、7 人。问：只参加跑和投掷两项的有多少人？分析与解：“每人至少参加两项比赛”说明没有不参加的，也没有参加一项比赛的，我们可以在下图中参加一项的区域用0 表示。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页立身以立学为先，立学以读书为本跑跳8？投000281783（人）答：只参加跑和投掷两项的有3 人。例 4. 某校六年级二班有49 人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30 人参加，英语有20 人参加，语文小组有10 人。老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有 3 人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数
4、均为质数，而三种全参加的只有1人，求既参加英语又参加数学小组的人数。分析与解：根据已知条件画出图。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页立身以立学为先，立学以读书为本数英49人质3语3020101质三圆盖住的总体为49 人，假设既参加数学又参加英语的有x 人，既参加语文又参加英语的有y 人，可以列出这样的方程：3020103149xy整理后得：xy9由于 x、y 均为质数，因而这两个质数中必有一个偶质数2，另一个质数为7。答：既参加英语又参加数学小组的为2 人或 7 人。例 5. 某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：
5、数学 20 人，语文 20 人，英语 20 人，数学、英语两科满分者8 人，数学、语文两科满分者7 人，语文、英语两科满分者9 人，三科都没得满分者3 人。问这个班最多多少人？最少多少人？分析与解：根据题意画图。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页立身以立学为先，立学以读书为本数英98语20202073设三科都得满分者为x 全班人数2020207893x整理后：全班人数39x 39+x 表示全班人数，当x 取最大值时，全班人数就最多，当x 取最小值时，全班人数就最少。 x 是数学、语文、英语三科都得满分的同学，因而x
6、中的人数一定不超过两科得满分的人数， 即xx78，且x9，由此我们得到x7。另一方面x 最小可能是0，即没有三科都得满分的。当 x 取最大值7 时， 全班有()39746人， 当 x 取最小值0 时， 全班有()39039人。答：这个班最多有46 人，最少有39 人。【模拟试题】 （答题时间： 30 分钟）1. 六年级共有96 人，两种刊物每人至少订其中一种，有23的人订少年报，有12的人订数学报，两种刊物都订的有多少人？2. 小明和小龙两家合住一套房子，门厅、厨房和厕所为公用，在登记住房面积时，两家登记表如下表（单位：平方米）姓名居室门厅厨房厕所总面积精选学习资料 - - - - - - -
7、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页立身以立学为先，立学以读书为本小明14 12 8 4 38 小龙20 12 8 4 44 他们住的一套房子共有多少平方米？3. 某班 45 名同学参加体育测试，其中百米得优者20 人，跳远得优者18 人，又知百米、跳远都得优者7 人，跳高、百米得优者6 人，跳高、跳远均得优者8 人，跳高得优者22人，全班只有1 名同学各项都没达优秀，求三项都是优秀的人数。4. 某班四年级时，五年级时和六年级时分别评出10 名三好学生，又知四、五年级连续三好生 4 人，五、 六年级连续三好生3 人，四年级、 六年级两年评上三好生的有5 人，
8、 四、五、六三年没评过三好生的有20 人，问这个班最多有多少名同学，最少有多少名同学？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页立身以立学为先，立学以读书为本【试题答案】1. 六年级共有96 人，两种刊物每人至少订其中一种，有23的人订少年报，有12的人订数学报，两种刊物都订的有多少人？962396129616962312116()()()人或人答：两种刊物都订的有16 人。2. 小明和小龙两家合住一套房子，门厅、厨房和厕所为公用，在登记住房面积时，两家登记表如下表（单位：平方米）姓名居室门厅厨房厕所总面积小明14 12 8
9、 4 38 小龙20 12 8 4 44 他们住的一套房子共有多少平方米？38441284582014128458()()平方米或平方米答：这套房子共有58 平方米。3. 某班 45 名同学参加体育测试，其中百米得优者20 人，跳远得优者18 人，又知百米、跳远都得优者7 人，跳高、百米得优者6 人，跳高、跳远均得优者8 人，跳高得优者22人，全班只有1 名同学各项都没达优秀，求三项都是优秀的人数。4 5 14 42 0 1 8 2 27683 9()()人人44395()人4. 某班四年级时，五年级时和六年级时分别评出10 名三好学生，又知四、五年级连续三好生 4 人，五、 六年级连续三好生3 人，四年级、 六年级两年评上三好生的有5 人， 四、五、六三年没评过三好生的有20 人，问这个班最多有多少名同学，最少有多少名同学？设三年连续三好生人数为x 人全班人数10354320 x全班人数38x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页立身以立学为先，立学以读书为本x 最大是 3，最小是0 所以这个班最多有()38341名同学，最少有()38038 名同学。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页