《2022年小学数学奥林匹克竞赛裂项法 2.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年小学数学奥林匹克竞赛裂项法 2.pdf（7页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、立身以立学为先，立学以读书为本裂项法（一）同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算。（一）阅读思考例如1314112，这里分母3、4 是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：1111111111nnnn nnn nnnn nn n()()()()即11111nnn n()或11111n nnn()下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。【典型例题】例 1. 计算：11985198611986198711987198811994199511995199611996199711997分析与解
2、答：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页立身以立学为先，立学以读书为本119 8 5 19 8 611 9 8 511 98 6119 8 6 1 9 8 711 98 611 9 8 7119 8 7 1 9 8811 98 711 9 8 8119 9 4 1 9 9511 9 9 411 9 9 5 11995199611995119961199619971199611997上面 12 个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来就十分方便了。1198519861198619
3、8711987198811995199611996199711997119851198611986119871198711988119951199611996119971199711985像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。例 2. 计算：1111211231123100公式的变式11221nnn()精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页立身以立学为先，立学以读书为本当n分别取 1，2，3， 100 时，就有1121211222
4、31123234112342451121002100101111121123112100212223234299100210010121121231341991001100101211212131314199110011001101211101()()()2100101200101199101例 3. 设符号（）、代表不同的自然数，问算式1611()中这两个符号所代表的数的数的积是多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页立身以立学为先，立学以读书为本分析与解： 减法是加法的逆运算，1611()就变成1611()，与前
5、面提到的等式11111nnn n()相联系，便可找到一组解，即1617142另外一种方法设nxy、 、都是自然数，且xy，当111nxy时，利用上面的变加为减的想法，得算式xnnxy1。这里1y是个单位分数，所以xn一定大于零，假定xnt0，则xnt，代入上式得tn nty()1，即yntn2。又因为y是自然数， 所以t一定能整除n2，即t是n2的约数， 有n个t就有n个y，这 一 来 我 们 便 得 到 一 个 比11111nnn n()更 广 泛 的 等 式 ， 即 当xnt，yntn2，t是n2的约数时，一定有111nxy，即11nnttn nt()上面指出当xnt，yntn2，t是n2
6、的约数时，一定有111nxy，这里nn6362,，36 共有 1， 2，3，4，6，9，12，18，36 九个约数。当t1时，x7，y42精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页立身以立学为先，立学以读书为本当t2时，x8，y24当t3时，x9，y18当t4时，x10，y15当t6时，x12，y10当t9时，x15，y10当t12时，x18，y9当t18时，x24，y8当t36时，x42，y7故（）和 所代表的两数和分别为49，32，27，25。【模拟试题】 （答题时间： 20 分钟）二.尝试体验：1. 计算：112123
7、134198991991002. 计算：1316110115121128136145155166178191110511203. 已知xy、是互不相等的自然数，当11811xy时，求xy。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页立身以立学为先，立学以读书为本【试题答案】1. 计算：1121231341989919910011212131314198199199110011100991002. 计算：131611011512112813614515516617819111051120262122202302422562722
8、902110213221562182221022402123134145156167178189191011011111121121311314114151151621211611878()()3. 已知xy、是互不相等的自然数，当11811xy时，求xy。xy的值为： 75，81，96， 121，147， 200，361。因为 18 的约数有1，2，3，6， 9，18，共 6 个，所以有118111811136136()精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页立身以立学为先，立学以读书为本118121812154127542781118131813172124722496()()118161816112612121126147()1181918191180120201802001181 1818118119134219342361()()1182318231451303045751182918291991222299121()()还有别的解法。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页