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1、学习必备欢迎下载2013 高考数学专题十九：圆锥曲线一考试内容：椭圆及其标准方程. 椭圆的简单几何性质. 椭圆的参数方程. 双曲线及其标准方程. 双曲线的简单几何性质. 抛物线及其标准方程. 抛物线的简单几何性质. 二考试要求：(1) 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程. (2) 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. (3) 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. (4) 了解圆锥曲线的初步应用. 【注意】 圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型的试题： 考查圆锥曲线的概念与性质；求曲线方程和轨迹；关于直
2、线与圆锥曲线的位置关系的问题 .三基础知识 : ( 一) 椭圆及其标准方程1.椭圆的定义： 椭圆的定义中， 平面内动点与两定点1F、2F的距离的和大于|1F2F|这个条件不可忽视. 若这个距离之和小于|1F2F| ，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F2F| ，则动点的轨迹是线段1F2F. 2. 椭圆的标准方程：12222byax（ab0） ，12222bxay（ab0）. 3. 椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2x项的分母大于2y项的分母，则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上 . 4. 求椭圆的标准方程的方法： 正确判断焦点的位置； 设出标准方程后，运
3、用待定系数法求解 . ( 二) 椭圆的简单几何性质1. 椭圆的几何性质：设椭圆方程为12222byax（ab0）. 范围： -a x a， -b xb， 所以椭圆位于直线x=a和 y=b所围成的矩形里. 对称性：分别关于x 轴、 y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. 顶点：有四个1A（ -a ，0） 、2A（a， 0）1B（0，-b ） 、2B（0，b）. 线段1A2A、1B2B分别叫做椭圆的长轴和短轴. 它们的长分别等于2a 和 2b，a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点. 离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比
4、ace叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度 .0 e 1.e 越接近于1 时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0 时，椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第二定义 定义：平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数ace（e1时，这个动点的轨迹是椭圆. 准线：根据椭圆的对称性，12222byax（ab0）的准线有两条，它们的方程为cax2. 对于椭圆12222bxay（ab0）的准线方程，只要把x 换成 y 就可以了，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载即cay2. 3. 椭圆的焦半径：由椭
5、圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径. 设1F（-c ，0） ，2F（c，0）分别为椭圆12222byax（ab0）的左、右两焦点，M（x，y）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为exaMF1，exaMF2. 椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便. 椭圆的四个主要元素a、b、c、e 中有2a=2b+2c、ace两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件. 4. 椭圆的参数方程椭圆12222byax（ab0）的参数方程为cossinxayb（ 为参数） . 说明 这里参数 叫做椭圆的离心角. 椭圆上点P的离心角 与直线 OP的倾斜角 不同：tantanab； 椭圆的参
6、数方程可以由方程12222byax与三角恒等式1sincos22相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换. 92. 椭圆22221(0)xyabab的参数方程是cossinxayb. 5. 椭圆的的内外部（1）点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的内部2200221xyab. （2）点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的外部2200221xyab. 6. 椭圆的切线方程(1) 椭圆22221(0)xyabab上一点00(,)P xy处的切线方程是00221x xy yab. （2）过椭圆22221(0)xyabab外一点00(,)P xy所引两条切线
7、的切点弦方程是00221x xy yab. （3）椭圆22221(0)xyabab与直线0AxByC相切的条件是22222A aB bc( 三) 双曲线及其标准方程1. 双曲线的定义：平面内与两个定点1F、2F的距离的差的绝对值等于常数2a（小于|1F2F| ）的动点M的轨迹叫做双曲线. 在这个定义中，要注意条件2a|1F2F| ，这一条件可以用 “三角形的两边之差小于第三边”加以理解 . 若 2a=|1F2F| ，则动点的轨迹是两条射线；若2a|1F2F| ，则无轨迹 . 若1MF2MF时，动点M的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF2MF时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的
8、，故在定义中应为“差的绝对值”. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备欢迎下载2.双曲线的标准方程：12222byax和12222bxay（a0， b0） . 这里222acb，其中 |1F2F|=2c. 要注意这里的a、b、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同. 3. 双曲线的标准方程判别方法是：如果2x项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y项的系数是正数，则焦点在y 轴上 . 对于双曲线， a 不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 4.求双曲线的标准方程，应注意
9、两个问题： 正确判断焦点的位置； 设出标准方程后，运用待定系数法求解. ( 四) 双曲线的简单几何性质1. 双曲线12222byax的实轴长为2a，虚轴长为2b，离心率ace1，离心率 e 越大，双曲线的开口越大. 2. 双曲线12222byax的渐近线方程为xaby或表示为02222byax. 若已知双曲线的渐近线方程是xnmy，即0nymx，那么双曲线的方程具有以下形式：kynxm2222，其中 k 是一个不为零的常数. 3. 双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于 1 的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线12222byax，它的焦点坐标是（
10、 -c ， 0） 和 （ c ， 0） ， 与 它 们 对 应 的 准 线 方 程 分 别 是cax2和cax2. 双 曲 线22221(0,0)xyabab的焦半径公式21| () |aPFe xc，22| ()|aPFexc. 4. 双曲线的内外部(1) 点00(,)P xy在双曲线22221(0,0)xyabab的内部2200221xyab. (2) 点00(,)P xy在双曲线22221(0,0)xyabab的外部2200221xyab. 5. 双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222byax渐近线方程：22220 xyabxaby. (2) 若渐近线方程为xaby
11、0byax双曲线可设为2222byax. (3) 若双曲线与12222byax有公共渐近线，可设为2222byax（0，焦点在x 轴上，0，焦点在y 轴上） . 6. 双曲线的切线方程(1)双 曲 线22221(0,0)xyabab上 一 点00(,)P xy处 的 切 线 方 程 是00221x xy yab. （2）过双曲线22221(0,0)xyabab外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学习必备欢迎下载方程是00221x xy yab. （ 3）双曲线22221(0,
12、0)xyabab与直 线0AxByC相切的条件是22222A aB bc. ( 五) 抛物线的标准方程和几何性质1抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F 叫抛物线的焦点，这条定直线l 叫抛物线的准线。需强调的是，点F 不在直线 l 上，否则轨迹是过点F 且与 l 垂直的直线，而不是抛物线。2抛物线的方程有四种类型：pxy22、pxy22、pyx22、pyx22. 对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x 轴或 y 轴的正方向； 一次项前面是负号则曲线的开口方向
13、向x 轴或 y 轴的负方向。3抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px 为例（1）范围： x0；（2）对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出；（3）顶点： O（0，0） ，注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；（4）离心率： e=1，由于 e 是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p 决定的；（5）准线方程2px；（6）焦半径公式：抛物线上一点P（x1，y1） ，F 为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p0） ：221122112:;2:222:;2:22ppypxPFxypxPFxppxpyPFyxpyPFy（7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径
14、公式推导出弦长公式。设过抛物线y2=2px （pO）的焦点F 的弦为 AB ，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，AB 的倾斜角为 ，则有 |AB|=x1+x2+p 以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦， 只能用“弦长公式”来求。（ 8）直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x2+bx+c=0 ，当 a0 时，两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可；但如果 a=0，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时，直线和抛物线相交，但只有一个公共点。4. 抛物线pxy22上的动点可设为P),2(2ypy或或)2 ,2(2ptptP P(
15、,)xy，其中22ypx. 5. 二次函数2224()24bacbyaxbxca xaa(0)a的图象是抛物线： （1）顶点坐标为24(,)24bacbaa； （2）焦点的坐标为241(,)24bacbaa； （3）准线方程是2414acbya. 6. 抛物线的内外部精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页学习必备欢迎下载(1) 点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx p的内部22(0)ypx p. 点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx p的外部22(0)ypx p. 7. 抛物线的切线方程(1) 抛物线px
16、y22上一点00(,)P xy处的切线方程是00()y yp xx. （ 2 ） 过 抛 物 线pxy22外 一 点00(,)P xy所 引 两 条 切 线 的 切 点 弦 方 程 是00()y yp xx. （3）抛物线22(0)ypx p与直线0AxByC相切的条件是22pBAC. ( 六). 两个常见的曲线系方程(1) 过曲线1( ,)0fx y,2( ,)0fx y的交点的曲线系方程是12( , )( , )0f x yfx y(为参数 ). (2) 共焦点的有心圆锥曲线系方程22221xyakbk, 其中22max,kab. 当22min,kab时, 表示椭圆 ; 当2222min,
17、max,abkab时, 表示双曲线 . ( 七) 直线与圆锥曲线相交的弦长公式221212()()ABxxyy或2222211212(1)()| 1tan|1tABkxxxxyyco（ 弦 端 点A),(),(2211yxByx，由方程0)y, x(Fbkxy消去 y 得到02cbxax，0,为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率）. ( 八). 圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线( , )0F x y关于点00(,)P xy成中心对称的曲线是00(2- ,2)0Fx xyy. （2）曲线( ,)0F x y关于直线0AxByC成轴对称的曲线是22222 ()2 ()(,)0A AxByCB AxB
18、yCF xyABAB.四基本方法和数学思想1.椭圆焦半径公式： 设 P （x0,y0） 为椭圆12222byax（ab0） 上任一点， 焦点为 F1(-c,0),F2(c,0),则0201,exaPFexaPF（ e为离心率）；2.双曲线焦半径公式：设P（x0,y0）为双曲线12222byax（a0,b0）上任一点，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则: （1）当 P点在右支上时，0201,exaPFexaPF；（2）当 P点在左支上时，0201,exaPFexaPF； （ e为离心率）；另：双曲线12222byax（a0,b0）的渐进线方程为02222byax；3.抛物线焦半径公式：设
19、P（x0,y0）为抛物线y2=2px(p0) 上任意一点，F 为焦点，则20pxPF；y2=2px(p 0)上任意一点， F 为焦点，20pxPF；4.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题；5.共渐进线xaby的双曲线标准方程为(2222byax为参数，0） ；6.计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载一般地，若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ， A、B 两点分别为A(x1，y1)、B(x2,y2)，则弦长4)(1(1212212122xxxxkxxkAB4)(
20、)11(11212212122yyyykyyk,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想；7.椭圆、双曲线的通径（最短弦）为ab22，焦准距为p=cb2，抛物线的通径为2p，焦准距为p; 双曲线12222byax（a0，b0）的焦点到渐进线的距离为b; 8.中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为Ax2+Bx21；9.抛物线 y2=2px(p0) 的焦点弦（过焦点的弦）为AB ，A（x1,y1） 、B(x2,y2),则有如下结论：（1）ABx1+x2+p;（2）y1y2=p2，x1x2=42p; 10.过椭圆12222byax（ab0）左焦点的焦点弦为AB，则)(221xxeaAB，
21、过右焦点的弦)(221xxeaAB；11.对于 y2=2px(p 0)抛物线上的点的坐标可设为（py220，y0）,以简化计算 ; 12.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x1，y1)、B(x2,y2)为椭圆12222byax（ab0）上不同的两点，M(x0,y0)是 AB 的中点，则KABKOM=22ab；对于双曲线12222byax（a0，b0） ，类似可得： KAB.KOM=22ab；对于 y2=2px(p0)抛物线有KAB212yyp13.求轨迹的常用方法：（1）直接法：直接通过建立x、y 之间的关系，构成F(x,y) 0，是求轨迹的最基本的方法；（2）待定系数
22、法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可；（3）代入法（相关点法或转移法）：若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x1,y1)的变化而变化，并且 Q(x1,y1)又在某已知曲线上，则可先用x、y 的代数式表示x1、y1，再将 x1、y1带入已知曲线得要求的轨迹方程；（4）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程；（5）参数法：当动点P（x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将 x、y 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程。五高
23、考题回顾一、利用圆锥曲线的定义求相关距离：1.（全国卷一） 椭圆2214xy的两个焦点为F1、F2，过 F1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则2|PF=（）. A32B3C72D4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页学习必备欢迎下载2.（辽宁卷）已知点1(2,0)F、2(2,0)F，动点 P 满足21| 2PFPF. 当点 P 的纵坐标是12时，点 P到坐标原点的距离是（）. A62B32C3D 2 3.（辽宁卷）已知双曲线的中心在原点，离心率为3.若它的一条准线与抛物线xy42的 准 线 重 合 ，
24、则 该 双 曲 线 与 抛 物 线xy42的 交 点 到 原 点 的 距 离 是A23+6B21C21218D 21 二、利用方程思想讨论直线与圆锥曲线的公共点：4.（全国卷一）设抛物线y2=8x 的准线与x 轴交于点 Q，若过点Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（）. A1 1,2 2B 2，2 C1，1 D4， 4 5.（上海 ）过抛物线xy42的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）A有且仅有一条B有且仅有两条C有无穷多条D不存在6.（山东卷） 设直线: 220lxy关于原点对称的直线为l，若l与椭圆2214yx的交
25、点为 A、B、 ，点P为椭圆上的动点，则使PAB的面积为12的点P的个数为（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 三、熟练运用圆锥曲线的几何性质解题：7.（全国卷二）设中心在原点的椭圆与双曲线2222xy=1 有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是. 8.（ 天 津 卷 文 ） 设P 是 双 曲 线22219xya上 一 点 ， 双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 方 程 为1320,xyF、F2分别是双曲线的左、右焦点，若1|3PF，则2|PF（）A. 1 或 5 B. 6 C. 7 D. 9 9. (全国卷 III) 设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过 F2作椭圆长轴
26、的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）（A）22（B）212（C）22（D）2110.（江苏卷）(11)点 P(-3,1)在椭圆22221(0)xyabab的左准线上.过点P 且方向为a=(2,-5) 的 光 线 , 经 直 线y=-2反 射 后 通 过 椭 圆 的 左 焦 点 ,则 这 个 椭 圆 的 离 心 率 为( ) ( A ) 33( B ) 31( C ) 22( D ) 2111.（湖南卷）已知双曲线22ax22by 1（a0，b0）的右焦点为F，右准精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7
27、页，共 8 页学习必备欢迎下载线与一条渐近线交于点A， OAF 的面积为22a（O 为原点），则两条渐近线的夹角为（）A30oB45oC60oD90o四、利用圆锥曲线的定义解答相关三角形问题：12(湖北卷 .）已知椭圆221169xy的左、右焦点分别为12,F F，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个项点，则点P到x轴的距离为（）. A.95B. 3 C. 9 77D. 9413.（山东卷） 设双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点为F，右准线l与两条渐近线交于 P、Q两点，如果PQF是直角三角形，则双曲线的离心率14.（福建卷）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且
28、与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B 两点，若 ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（）. A. 32B. 33C. 22D. 23五、利用圆锥曲线中的焦半径公式解题：15.（重庆卷）已知双曲线22221,(0,0)xyabab的左，右焦点分别为12,F F,点 P 在双曲线的右支上，且12|4|PFPF,则此双曲线的离心率e的最大值为 ( ). A. 43B. 53C. 2D. 7316. （ 湖 南 卷 ） 设F 是 椭 圆22176xy的 右 焦 点 , 且 椭 圆 上 至 少 有 21 个 不 同 的 点),3,2, 1(1iP使123,FP FPFP组成公差为d 的等差数列 ,则
29、d 的取值范围为. 六.轨迹问题 . 17.（江西卷）以下四个关于圆锥曲线的命题中：设A、 B 为两个定点，k 为非零常数，|PAPBk，则动点P 的轨迹为双曲线；过定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若1(),2OPOAOB则动点P 的轨迹为椭圆；18. (重庆卷 )已知0,21A，B 是圆 F：42122yx(F 为圆心 )上一动点，线段 AB 的垂直平分线交 BF 于 P，则动点 P 的轨迹方程为19.（上海 ）直角坐标平面xoy 中，若定点A(1,2) 与动点 P(x,y)满足OAOP=4。则点 P 的轨迹方程是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页