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1、 培优点十九 圆锥曲线综合 1直线过定点 例 1：已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为22，过左焦点F且垂直于x轴的直线交椭圆C于P，Q两点，且2 2PQ （1）求C的方程；（2）若直线l是圆228xy上的点2,2处的切线，点M是直线l上任一点，过点M作椭圆C的切线MA，MB，切点分别为A，B，设切线的斜率都存在求证：直线AB过定点，并求出该定点的坐标【答案】（1）22184xy；（2）证明见解析，2,1【解析】（1）由已知，设椭圆C的方程为222210 xyabab，因为2 2PQ，不妨设点,2Pc，代入椭圆方程得22221cab，又因为22cea，所以21212b，bc，所以24
2、b，2228ab，所以C的方程为22184xy（2）依题设，得直线l的方程为22yx，即40 xy，设00,M xy，11,A x y，22,B xy，由切线MA的斜率存在，设其方程为11yyk xx，联立1122184yyk xxxy得，2221111214280kxk ykxxykx，由相切得22221111168 2140kykxkykx，化简得221184ykxk，即22211118240 xkx y ky，因为方程只有一解，所以1111122111822x yx yxkxyy，所以切线MA的方程为11112xyyxxy，即1128x xy y，同理，切线MB的方程为2228x xy
3、y，又因为两切线都经过点00,M xy，所以101020202828x xy yx xy y，所以直线AB的方程为0028x xy y，又004xy，所以直线AB的方程可化为002 48x xxy，即02880 xxyy，令20880 xyy，得21xy，所以直线AB恒过定点2,1 2面积问题 例 2：已知椭圆222210 xyabab的左、右焦点分别为1F、2F，焦距为 4，直线1:blyxc与椭圆相交于A、B两点，2F关于直线1l的对称点E在椭圆上斜率为1的直线2l与线段AB相交于点P，与椭圆相交于C、D两点 （1）求椭圆的标准方程；（2）求四边形ACBD面积的取值范围【答案】（1）221
4、84xy；（2）32 32,93【解析】（1）由椭圆焦距为 4，设12,0F，22,0F，连结1EF，设12EFF，则tanbc，又222abc，得sinba，cosca，12122sin9012|sinsin 90FFcacebcaEFEFbcaaa，解得222abccbc，28a，所以椭圆方程为22184xy （2）设直线2l方程：+yx m，11,C x y、22,D xy，由22184xyyxm ，得2234280 xmxm，所以1221243283xxmmx x，由（1）知直线1l：yx，代入椭圆得226,633A，226,633B，得8 33AB，由直线2l与线段AB相交于点P，得
5、446,633m，22221212124 281642282+12933mmCDxxxxx xm，而21lk 与11lk，知21ll，2116 3+1229ACBDSABCDm，由446,633m，得232,03m，所以216 332 32+12,993m，四边形ACBD面积的取值范围32 32,93 3参数的值与范围 例 3：已知抛物线2:20C ypx p的焦点1,0F，点1,2A在抛物线C上，过焦点F的直线l交抛物线C于M，N两点（1）求抛物线C的方程以及AF的值；（2）记抛物线C的准线与x轴交于点B，若MFFN，2240BMBN，求的值【答案】（1）24yx，2AF；（2）23【解析】
6、（1）抛物线2:20C ypx p的焦点1,0F，12p，则24p，抛物线方程为24yx；点1,2A在抛物线C上，122pAF （2）依题意，1,0F，设:1l xmy，设11,M x y、22,N xy，联立方程241yxxmy，消去x，得2440ymy 所以121244yymy y ，且112211xmyxmy，又MFFN，则11221,1,xyxy，即12yy，代入得222414yym，消去2y得2142m，1,0B，则111,BMxy，221,BNxy，则222222221122|11BMBNBMBNxyxy 222212121222xxxxyy 2222121212(1)(1)222
7、mymymymyyy 2221212148myym yy 22421 168448164016mmmmmm，当4216401640mm，解得212m，故23 4弦长类问题 例 4：已知椭圆22122:10 xyCabab的左右顶点是双曲线222:13xCy的顶点，且椭圆1C的上顶点到双曲线2C的渐近线的距离为32（1）求椭圆1C的方程；（2）若直线l与1C相交于1M，2M两点，与2C相交于1Q，2Q两点，且125OQOQ，求12M M的 取值范围【答案】（1）2213xy；（2）0,10【解析】（1）由题意可知：23a，又椭圆1C的上顶点为0,b，双曲线2C的渐近线为：3303yxxy，由点到
8、直线的距离公式有：33122bb，椭圆方程2213xy（2）易知直线 的斜率存在，设直线 的方程为ykxm，代入2213xy，消去y并整理得：222136330kxkmxm，要与2C相交于两点，则应有：22222222130130 364 1333013kkkmkmmk ，设111,Qx y，222,Qxy，则有：122613kmxxk，21223313mxxk 又22121212121212121OQOQx xy yx xkxmkxmkx xkm xxm 又：125OQOQ，所以有：22222221133613513kmk mmkk，2219mk，将ykxm，代入2213xy，消去y并整理得
9、：222136330kxkmxm，要有两交点，则222222364 1333031k mkmkm 由有2109k 设133,Mxy、244,Mxy有342613kmxxk，23423313mxxk，222221222364 33 13113k mmkM Mkk 222224 339113mkkk 将2219mk 代入有222121222212144111313kkM MkM Mkkk 22122211213kkM Mk，令2tk，10,9t，令 23111313tttf tfttt，10,9t 所以 0ft 在10,9t内恒成立，故函数 f t在10,9t内单调递增，故 1250,0,1072
10、f tM M 5存在性问题 例 5：已知椭圆2222:10 xyCabab的左、右焦点分别为11,0F，21,0F，点21,2A在椭圆C上（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在斜率为 2 的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线53y 上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足PMNQ？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由【答案】（1）2212xy；（2）不存在，见解析【解析】（1）设椭圆C的焦距为2c，则1c，21,2A在椭圆C上，22122221 12 222aAFAF，2a，2221bac，故椭圆C的方程为2212xy（2）假设这样的直线存在，设直线l的方程
11、为2yxt，设11,M x y，22,N xy，353,P x，44,Q xy，MN的中点为00,D xy，由22222yxtxy，消去x，得229280ytyt，1229tyy，且2243680tt，故12029yyty且33t ，由PMNQ，知四边形PMQN为平行四边形，而D为线段MN的中点，因此D为线段PQ的中点，405329yty，得42159ty，又33t ，可得4713y，点Q不在椭圆上，故不存在满足题意的直线l 一、解答题 1已知动圆P过点22,0F并且与圆221:24Fxy相外切，动圆圆心P的轨迹为C（1）求曲线C的轨迹方程；（2）过点22,0F的直线1l与轨迹C交于A、B两点
12、，设直线1:2l x，设点1,0D，直线AD交l于M，求证：直线BM经过定点【答案】（1）22103yxx；（2）见解析 对点增分集训 【解析】（1）由已知12|2PFPF，12|2PFPF，P轨迹C为双曲线的右支，22a，1a，12|24F Fc，2c 曲线C标准方程22103yxx（2）由对称性可知，直线BM必过x轴的定点，当直线1l的斜率不存在时，2,3A，2,3B，1 3,2 2M，知直线BM经过点1,0P，当直线1l的斜率存在时，不妨设直线1:2lyk x，11,A x y，22,B xy，直线11:11yAD yxx，当12x 时，11321Myyx，1131,2 21yMx，22
13、233yk xxy得222234430kxk xk，212243kxxk，2122433kx xk，下面证明直线BM经过点1,0P，即证PMPBkk，即1212311yyxx，即12112233y xyx yy，由112ykxk，222ykxk，整理得，12124540 x xxx，即22222243434450333kkkkkk 即证BM经过点1,0P，直线BM过定点1,0 2已知点31,2在椭圆2222:10 xyEabab上，设A，B分别为椭圆的左顶点、下顶点，原点O到直线AB的距离为2 217（1）求椭圆E的方程；（2）设P为椭圆E在第一象限内一点，直线PA，PB分别交y轴、x轴于D，
14、C两点，求四边形ABCD的面积【答案】（1）22143xy；（2）2 3 【解析】（1）因为椭圆2222:10 xyEabab经过点31,2，有229141ab，由等面积法，可得原点O到直线AB的距离为222 217abab，联立两方程解得2a，3b，所以椭圆E的方程为22:143xyE（2）设点00000,0P xyxy，则2200143xy，即22003412xy 直线00:22yPA yxx，令0 x，得0022Dyyx 从而有000002322 3322yxyBDxx，同理，可得000322 33xyACy 所以四边形的面积为000000322 3322 3112223xyxyACBD
15、xy 2200000000000000000034124 3128 312124 3128 31122322 3322 3xyx yxyx yxyx yxyx yxy 00000000122 364 32 3322 3x yxyx yxy 所以四边形ABCD的面积为2 3 3 已知点C为圆2218xy的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且有点1,0A和AP上的点M，满足0MQ AP，2APAM（1）当点P在圆上运动时，判断Q点的轨迹是什么？并求出其方程；（2）若斜率为k的直线l与圆221xy相切，与（1）中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，且3445OF OF（其中O是坐标原点），
16、求k的取值范围【答案】（1）是以点C，A为焦点，焦距为 2，长轴长为2 2的椭圆，2212xy；（2）2332,2332【解析】（1）由题意MQ是线段AP的垂直平分线，所以2 22CPQCQPQCQACA，所以点Q的轨迹是以点C，A为焦点，焦距为 2，长轴长为2 2的椭圆，2a，1c，221bac，故点Q的轨迹方程是2212xy（2）设直线l：ykxb，11,F x y，22,H xy，直线l与圆221xy相切，得211bk，即221bk，联立2212xyykxb，消去y得：222124220kxkbxb，2222222164 12218 2180k bkbkbk，得0k，122412kbxx
17、k，21222212bx xk，222221212121222122411212kbkbOF OHx xy ykx xkb xxbkbbkk 222222222124111121212kkkkkkkkk，所以223144125kk，得21132k，3232k，解得2323k 或3232k，故所求范围为2332,2332 4已知椭圆2222:10 xyCabab的焦距为2c，离心率为12，圆222:O xyc，1A，2A是椭圆的左右顶点，AB是圆O的任意一条直径，1A AB面积的最大值为 2（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）若l为圆O的任意一条切线，l与椭圆E交于两点P，Q，求PQ的取值范围【答
18、案】（1）22143xy，221xy；（2）4 63,3【解析】（1）设B点到x轴距离为h，则1111222A ABAOBSSAO ha h，易知当线段AB在y轴时，maxhBOc，12A ABSa c，12cea，2ac，2a，1c，3b，所以椭圆方程为22143xy，圆的方程为221xy（2）当直线L的斜率不存在时，直线L的方程为1x ，此时223bPQa；设直线L方程为：ykxm，直线为圆的切线，211mdk，221mk，直线与椭圆联立，22143ykxmxy，得2224384120kxkmxm，判别式248 320k，由韦达定理得：122212284341243kmxxkmxxk，所以
19、弦长2221224 3132143kkPQkxxk，令2433tk，所以2124 6333,3PQtt ；综上，4 63,3PQ，5 如图，己知1F、2F是椭圆2222:10 xyGabab的左、右焦点，直线:1l yk x经过左焦点1F，且与椭圆G交A，B两点，2ABF的周长为4 3（1）求椭圆G的标准方程；（2）是否存在直线I，使得2ABF为等腰直角三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由 【答案】（1）22132xy；（2）不存在，见解析【解析】（1）设椭圆G的半焦距为c，因为直线l与x轴的交点为1,0，故1c 又2ABF的周长为4 3，即2244 3ABAFBFa，故3a
20、，所以，2223 12bac 因此，椭圆G的标准方程为22132xy（2）不存在理由如下：先用反证法证明AB不可能为底边，即22AFBF 由题意知21,0F，设11,A x y，22,B xy，假设22AFBF，则2222112211xyxy，又2211132xy，2222132xy，代入上式，消去21y，22y得：121260 xxxx 因为直线l斜率存在，所以直线l不垂直于x轴，所以12xx，故126xx(与13x，23x，122 36xx矛盾）联立方程221321xyyk x，得：2222326360kxk xk，所以21226632kxxk 矛盾 故22AFBF 再证明AB不可能为等腰直角三角形的直角腰 假设2ABF为等腰直角三角形，不妨设A为直角顶点 设1AFm，则22 3AFm，在12AFF中，由勾股定理得：222 34mm，此方程无解故不存在这样的等腰直角三角形