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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2022 高考数学专题十九：圆锥曲线一考试内容：椭圆及其标准方程 . 椭圆的简洁几何性质 . 椭圆的参数方程 . 双曲线及其标准方程 . 双曲线的简洁几何性质 . 抛物线及其标准方程 . 抛物线的简洁几何性质 . 二考试要求： 1 把握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简洁几何性质,明白椭圆的参数方程 . 2 把握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简洁几何性质 . 3 把握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简洁几何性质 . 4 明白圆锥曲线的初步应用 . 【留意】 圆锥曲线是解析几何的重点,也是高中数学的重点内容,高考中主要显现三种类型
2、的试题： 考查圆锥曲线的概念与性质；求曲线方程和轨迹；关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题 .三基础学问 : 一 椭圆及其标准方程1. 椭圆的定义： 椭圆的定义中, 平面内动点与两定点 F 、F 的距离的和大于 | F 1 F |这个条件不行忽视 . 如这个距离之和小于 | F 1 F | ,就这样的点不存在；如距离之和等于| F 1 F | ,就动点的轨迹是线段 F 1 F . 2 2 2 22. 椭圆的标准方程：x2 y2 1（ a b 0）,y2 x2 1（ a b 0）. a b a b23. 椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：假如 x 项的分母大于2y 项的分母
3、,就椭圆的焦点在 x 轴上,反之,焦点在 y 轴上 . 4. 求椭圆的标准方程的方法： 正确判定焦点的位置； 设出标准方程后, 运用待定系数法求解 . 二 椭圆的简洁几何性质名师归纳总结 1. 椭圆的几何性质：设椭圆方程为x2y21（ a b 0）. . 对第 1 页,共 8 页a2b2x=a和 y=b所围成的矩形里 范畴： -a x a,-b xb,所以椭圆位于直线称性：分别关于x 轴、 y 轴成轴对称,关于原点中心对称. 椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. 顶点：有四个A （ -a ,0）、A （a, 0）B （0,-b ）、B （0,b）. 线段A 1A 、B 1B 分别叫做椭圆的长轴和短轴
4、. 它们的长分别等于2a 和 2b,a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点,称为椭圆的顶点. 离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比 e c叫做椭圆的离心率 . 它的值表示椭圆的扁平a程度 .0 e 1.e 越接近于 1 时,椭圆越扁；反之,e 越接近于 0 时,椭圆就越接近于圆 . 2.椭圆的其次定义 定义：平面内动点M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数eca（e1时,这个动点的轨迹是椭圆. 准线：依据椭圆的对称性,x2y21（ a b 0）的准线有两条,它们的方程a2b2为xa2. 对于椭圆y2x21（ a b 0）的准线方程,只要把x 换
5、成 y 就可以了,ca2b2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载M2 即 y a . c 3. 椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径. 设F （-c ,0）,F （c,0）分别为椭圆x2y21（ a b 0）的左、右两焦点,a2b2（x,y）是椭圆上任一点,就两条焦半径长分别为MF1aex,MF2aex. 椭圆中涉及焦半径时运用焦半径学问解题往往比较简便. 椭圆的四个主要元素a、b、c、e 中有2 a =2 b +2 c 、ec两个关系,因此确定椭圆的标准a方程只需两个独立条件. 4. 椭圆的参数方程椭圆a x
6、 22b y 22 1（ a b 0）的参数方程为 xy ab cossin（ 为参数） . 说明 这里参数 叫做椭圆的离心角 . 椭圆上点 P 的离心角 与直线 OP的倾斜角 不同：tan b tan；a2 2 椭圆的参数方程可以由方程 x2 y2 1 与三角恒等式 cos 2 sin 2 1 相比较a b2 2而得到,所以椭圆的参数方程的实质是三角代换 . 92. 椭圆 x2 y2 1 a b 0 的参数方a bx a cos程是 . y b sin5. 椭圆的的内外部名师归纳总结 （1）点P x0,y 0在椭圆x2y21 ab0的内部x2y21. 第 2 页,共 8 页00a2b2a2b
7、2（2）点P x0,y 0在椭圆x2y21 ab0的外部x2y21. 00a2b2a2b26. 椭圆的切线方程1 椭圆x2y21 ab0上一点P x0,y0处的切线方程是x xy y1. a2b2a2b2（2）过椭圆x2y21 ab0外一点P x 0,y 0所引两条切线的a2b2切点弦方程是x xy y1. a2b2（3）椭圆x2y21 ab0与直线AxByC0a2b22 相切的条件是 A a 三 双曲线及其标准方程22 B b2c21. 双曲线的定义：平面内与两个定点F 、F 的距离的差的肯定值等于常数2a（小于|F 1F | ）的动点 M 的轨迹叫做双曲线. 在这个定义中,要留意条件2a|
8、F 1F | ,这一条件可以用 “ 三角形的两边之差小于第三边”加以懂得 . 如 2a=|F 1F | ,就动点的轨迹是两条射线；如 2a|F1F | ,就无轨迹 . 如MF 1MF2时,动点 M 的轨迹仅为双曲线的一个分支,又如MF1MF2时,轨迹为双曲线的另一支. 而双曲线是由两个分支组成的,故在定义中应为“ 差的肯定值”. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2 2 2 22. 双曲线的标准方程：x2 y2 1 和 y2 x2 1（a0,b0）. 这里 b 2c 2a 2,a b a b其中 | F 1 F |=2c. 要留意这里
9、的 a、b、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同 . 3. 双曲线的标准方程判别方法是：假如 x 项的系数是正数,就焦点在 2x 轴上；假如 y 2项的系数是正数,就焦点在 y 轴上 . 对于双曲线, a 不肯定大于 b,因此不能像椭圆那样,通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上 . 4. 求双曲线的标准方程,应留意两个问题： 正确判定焦点的位置； 设出标准方程后,运用待定系数法求解 . 四 双曲线的简洁几何性质2 21. 双曲线 x2 y2 1 的实轴长为 2a,虚轴长为 2b,离心率 e c1,离心率 e 越a b a大,双曲线的开口越大 . 2 2 2 22. 双曲线 x2 y2 1
10、 的渐近线方程为 y b x 或表示为 x2 y2 0 . 如已知双a b a a b曲线的渐近线方程是 y m x,即 mx ny 0,那么双曲线的方程具有以下形式：n2 2 2 2m x n y k,其中 k 是一个不为零的常数 . 3. 双曲线的其次定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大名师归纳总结 于 1 的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线. 对于双曲线x2y21,它的焦点坐标是第 3 页,共 8 页a2b2（ -c , 0 ） 和 （ c , 0 ）, 与 它 们 对 应 的 准 线 方 程 分 别 是xa2和xa2. 双 曲 线ccx2y21 a0,b0的焦
11、半径公式a2b22 x 0y21. 2aPF 1 | e x |c4. 双曲线的内外部,PF2| 2 ax |. c1 点P x0,y0在双曲线x2y21 a0,b0的内部0a2b22 a2 x 0b22 点P x0,y0在双曲线221 a0,b0的外部21. xyy022a22abb5. 双曲线的方程与渐近线方程的关系ybx. 1 ）如双曲线方程为x2y21渐近线方程：x2y20222b2abaa2 如渐近线方程为ybxxy0双曲线可设为x2y2. aaba2b22 2 3 如双曲线与 x 2 y 2 a b 0,焦点在 y 轴上） . 1有公共渐近线,可设为x2y2（0 ,焦点在 x 轴上
12、,a2b26. 双曲线的切线方程y 0处 的 切 线 方 程 是1双 曲 线x2y21 a0,b0上 一 点P x0,a22 bx xy y1. 2 ab2y0所引两条切线的切点弦（2）过双曲线2 xy21 a0,b0外一点P x 0,a2b2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载是方程是x xy y1. a2b22（ 3 ）双曲线 x2a2 2 2 2A a B b 五 抛物线的标准方程和几何性质y21 a0,b0与直 线AxByC0相切的条件b22 c . 1抛物线的定义：平面内到肯定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物
13、线；这个定点F 叫抛物线的焦点,这条定直线l 叫抛物线的准线；需强调的是,点F 不在直线 l 上,否就轨迹是过点F 且与 l 垂直的直线,而不是抛物线；2抛物线的方程有四种类型：y22px、y22px、x22py、x22py. 对于以上四种方程：应留意把握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴,方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号就曲线的开口方向向 线的开口方向向 x 轴或 y 轴的负方向；x 轴或 y 轴的正方向； 一次项前面是负号就曲3抛物线的几何性质,以标准方程（1）范畴： x0；y2=2px 为例（2）对称轴：对称轴为y=0 ,由方程和图像均可以看出；（3）顶点： O（0,0）,注：抛物
14、线亦叫无心圆锥曲线（由于无中心）；p 打算的；（4）离心率： e=1,由于 e 是常数,所以抛物线的外形变化是由方程中的p（5）准线方程 x；2（6）焦半径公式：抛物线上一点焦半径公式分别为（p0）：P（x1,y1）,F 为抛物线的焦点,对于四种抛物线的2 p 2 py 2 px : PF x 1 ; y 2 px : PF x 12 22 p 2 px 2 py : PF y 1 ; x 2 py : PF y 12 2（7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长,可以用焦半径公式推导出弦长公式；设过抛物线 y2=2px （pO）的焦点 F 的弦为 AB ,A （x1,y1）,B（x2,y2）
15、,AB 的倾斜角为 ,就有 |AB|=x 1+x 2 +p 以上两公式只适合过焦点的弦长的求法,对于其它的弦, 只能用“ 弦长公式” 来求；x（ 8 ）直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：2 +bx+c=0 ,当 a 0 时,两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同,用判别式法即可；但假如 a=0,就直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线,但只有一个公共点；此时,直线和抛物线相交,名师归纳总结 4. 抛物线y22px上的动点可设为Py2,y或P2pt22,pt或 P x,y,其中第 4 页,共 8 页2py22px . bxca xb24acb2a0的图象是抛物线：
16、 （1）顶5. 二次函数yax22 a4 a点坐标为b,4acb24b21；（ 3）准线方程是b,4ac；（ 2）焦点的坐标为2a4 a2aay4 ac4b21. a6. 抛物线的内外部- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1 点P x 0,y 0在抛物线y2学习必备欢迎下载y2y22px p0. 2px p0的内部点P x0,y0在抛物线y22px p0的外部2px p0. 7. 抛物线的切线方程1 抛物线y22px上一点P x0,y0处的切线方程是y yp xx 0. （ 2 ） 过 抛 物 线y22px外 一 点P x0,y 0所 引 两 条 切 线
17、 的 切 点 弦 方 程 是y yp xx 0. （3）抛物线y22px p0与直线AxByC0相切的条件是pB22AC . 六. 两个常见的曲线系方程1 过曲线 f 1 , x y 0 , f 2 , x y 0 的交点的曲线系方程是f x y , f 2 , 0 为参数 . 2 22 共焦点的有心圆锥曲线系方程 2 x2 y1 , 其中 k max a 2, b 2 . 当a k b k2 2 2 2 2 2k min a , b 时, 表示椭圆 ; 当 min a , b k max a , b 时, 表示双曲线 . 七 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB x 1 x 2 2 y 1 y
18、 2 2或2 2 2 2AB 1 k x 2 x 1 | x 1 x 2 | 1 tan | y 1 y 2 | 1 co t（ 弦 端 点A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 ,由方程 y kx b消去 y 得到 ax 2bx c 0,0, 为直线F ,x y 0AB 的倾斜角, k 为直线的斜率）. 八. 圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线 F x y , 0 关于点 P x 0 , y 0 成中心对称的曲线是 F 2 x x- , 2 y 0 y 0 . （2）曲线 F x y 0 关于直线 Ax By C 0 成轴对称的曲线是2 A Ax By C 2 B Ax By C
19、F x 2 2 , y 2 2 0 .A B A B四基本方法和数学思想2 21.椭圆焦半径公式： 设 P（x 0,y0）为椭圆 x2 y2 1（ab0）上任一点, 焦点为 F1-c,0,F 2c,0,a b就 PF 1 a ex 0 , PF 2 a ex 0（ e 为离心率）；2 22.双曲线焦半径公式：设 P（x 0,y0）为双曲线 x2 y2 1（a0,b0）上任一点,焦点为a bF1-c,0,F 2c,0, 就: （1）当 P点在右支上时,PF 1 a ex 0 , PF 2 a ex 0；（2）当 P点在左支上时,PF 1 a ex 0 , PF 2 a ex 0；（ e 为离心率
20、）；2 2 2 2另：双曲线 x2 y2 1（a0,b0）的渐进线方程为 x2 y2 0；a b a b3.抛物线焦半径公式：设 P（x 0,y0）为抛物线 y 2=2pxp0 上任意一点, F 为焦点,就PF x 0 p；y 2=2pxp 0上任意一点, F 为焦点,PF x 0 p；2 24.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题；5.共渐进线ybx的双曲线标准方程为x2y2为参数, 0）；aa2b26.运算焦点弦长可利用上面的焦半径公式,名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一般地,如斜率为学习必备欢迎下载AB , A、
21、B 两点分别为Ax 1,y1、k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为Bx 2,y2,就弦长AB1k2x 2x 1 1k2x 1x 224x1 x211y2y111y 1y224y 1y 2,这里表达明白析几何“ 设而不求”k2k2的解题思想；7.椭圆、双曲线的通径（最短弦）为 2 b2,焦准距为 p= b 2,抛物线的通径为 2p,焦准距为a c2 2p; 双曲线 x2 y2 1（a0,b0）的焦点到渐进线的距离为 b; a b8.中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为 Ax 2+Bx 21；9.抛物线 y 2=2pxp0 的焦点弦（过焦点的弦）为 AB ,A（x1,y1）、Bx2,y2
22、,就有如下结论：2（1） AB x 1+x 2+p;（2）y 1y 2=p 2,x1x2= p ; 42 210.过椭圆 x2 y2 1（ab0）左焦点的焦点弦为 AB ,就 AB 2 a e x 1 x 2 ,过右焦a b点的弦 AB 2 a e x 1 x 2 ；211.对于 y 2=2pxp 0抛物线上的点的坐标可设为（y 0 ,y0）,以简化运算 ; 2 p12.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法,设Ax 1,y1、Bx 2,y2为椭圆x2y2y21（ab0）上不同的两点,Mx 0,y0是 AB 的中点,就K ABK OM=b2；对于双曲a2b2a2线x21（a0,b0
23、）,类似可得： K AB.K OM =b2；对于 y2=2pxp 0抛物线有 K ABa2b2a2y 12py 213.求轨迹的常用方法：（1）直接法：直接通过建立x、y 之间的关系,构成Fx,y 0,是求轨迹的最基本的方法；（2）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线,圆锥曲线等,可先依据条件列 出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可；（3）代入法（相关点法或转移法）：如动点 Px,y 依靠于另一动点 Qx 1,y1的变化而变化,并且 Qx 1,y1又在某已知曲线上,就可先用 x、y 的代数式表示 x 1、y1,再将 x1、y1带入已 知曲线得要求的轨迹方程；（4）
24、定义法：假如能够确定动点的轨迹满意某已知曲线的定义,就可由曲线的定义直接写 出方程；（5）参数法：当动点 P（x,y）坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可 考虑将 x、y 均用一中间变量（参数）表示,得参数方程,再消去参数得一般方程；五高考题回忆 一、利用圆锥曲线的定义求相关距离：名师归纳总结 1. （全国卷一） 椭圆x22 y1的两个焦点为F 1、F2,过 F1作垂直于 x 轴的直线与椭圆相第 6 页,共 8 页4交,一个交点为P,就|PF2|=（）. A3B3C7 2D4 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2.
25、（辽宁卷）已知点 F 1 2,0、F 2 2,0,动点 P 满意 | PF 2 | | PF 1 | 2 . 当点 P 的纵坐标是1 时,点 P 到坐标原点的距离是（）. 2A6 B3 C3 D 2 2 23.（辽宁卷）已知双曲线的中心在原点,离心率为 3 .如它的一条准线与抛物线 y 2 4 x的 准 线 重 合 , 就 该 双 曲 线 与 抛 物 线 y 2 4 x 的 交 点 到 原 点 的 距 离 是A2 3 + 6 B21 C18 12 2 D 21 二、利用方程思想争论直线与圆锥曲线的公共点：4.（全国卷一）设抛物线 y 2=8x 的准线与 x 轴交于点 Q,如过点 Q 的直线 l
26、 与抛物线有公共点,就直线 l 的斜率的取值范畴是（）. 1 1A , B 2,2 C1,1 D4, 4 2 25. （上海 ）过抛物线 y 2 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A 、B 两点,它们的横坐标之和等于 5,就这样的直线（）A有且仅有一条 B有且仅有两条 C有无穷多条 D不存在26.（山东卷） 设直线 l : 2 x y 2 0 关于原点对称的直线为 l ,如 l 与椭圆 x 2 y1 的4交点为 A、B、,点 P 为椭圆上的动点,就使 PAB的面积为 1 的点 P 的个数为（）2（A ）1 （B）2 （C）3 （D）4 三、娴熟运用圆锥曲线的几何性质解题：2 27.（全国
27、卷二）设中心在原点的椭圆与双曲线 2 x 2 y =1 有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,就该椭圆的方程是 . 2 28.（ 天 津 卷 文 ） 设 P 是 双 曲 线 x2 y 1 上 一 点 , 双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 方 程 为a 93 x 2 y 0, F 、F 2分别是双曲线的左、右焦点,如 | PF 1 | 3,就 | PF 2 |（）A. 1 或 5 B. 6 C. 7 D. 9 9. 全国卷 III 设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,如 F1PF2 为等腰直角三角形,就椭圆的离心率是（）（A ）2（B）2 1（C） 2
28、 2（D）2 12 22 210.（江苏卷） 11点 P-3,1在椭圆 x2 y2 1 a b 0 的左准线上 .过点 P 且方向为a ba=2,-5 的 光 线 , 经 直 线 y =-2 反 射 后 通 过 椭 圆 的 左 焦 点 , 就 这 个 椭 圆 的 离 心 率 为名师归纳总结 A 3 B 12y2 C 2 D 1F,右准第 7 页,共 8 页3322x11.（湖南卷）已知双曲线22 1（a0,b0）的右焦点为ab- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 线与一条渐近线交于点学习必备a2欢迎下载A, OAF 的面积为（O 为原点）,就两条渐近线2的
29、夹角为（）A30oB45oC60oD90o四、利用圆锥曲线的定义解答相关三角形问题：2 212湖北卷 .）已知椭圆 x y 1 的左、右焦点分别为 F F ,点 P 在椭圆上,如 P、F 1、16 9F2是一个直角三角形的三个项点,就点 P 到 x 轴的距离为（）. A. 9B. 3 C. 9 7 D. 95 7 42 213. （山东卷） 设双曲线 x2 y2 1 a 0, b 0 的右焦点为 F ,右准线 l 与两条渐近线交a b于 P、 Q 两点,假如 PQF 是直角三角形,就双曲线的离心率14.（福建卷）已知 F 1、F2是椭圆的两个焦点,过 F 1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A
30、、B 两点,如ABF 2是正三角形,就这个椭圆的离心率是（）. 2 3 2 3A. B. C. D. 3 3 2 2五、利用圆锥曲线中的焦半径公式解题：2 215.（重庆卷）已知双曲线 x2 y2 1, a 0, b 0 的左,右焦点分别为 F F ,点 P 在双曲线a b的右支上,且 | PF 1 | 4 | PF 2 | ,就此双曲线的离心率 e 的最大值为 . 4 5A. B. 3 32x16. （ 湖 南 卷 ） 设 F 是 椭 圆7P 1i ,1 2 , 3 , 使 FP FP 2 FP 3,六.轨迹问题 . 7 C. 2 D. 32 y 1 的 右 焦 点 , 且 椭 圆 上 至
31、少 有 21 个 不 同 的 点 6组成公差为 d 的等差数列 ,就 d 的取值范畴为 . 17.（江西卷）以下四个关于圆锥曲线的命题中：设 A、 B 为两个定点, k 为非零常数,| PA | | PB | k ,就动点 P 的轨迹为双曲线；过定圆 C 上肯定点 A 作圆的动点弦 AB ,O 为坐标原点,如 OP 1 OA OB , 就动点2P 的轨迹为椭圆；18. 重庆卷 已知A1,0,B 是圆 F：x12y24F 为圆心 上一动点,线22段 AB 的垂直平分线交 BF 于 P,就动点 P 的轨迹方程为名师归纳总结 19. （上海 ）直角坐标平面xoy 中,如定点A1,2 与动点 Px,y 满意OPOA=4；就点 P 的第 8 页,共 8 页轨迹方程是- - - - - - -