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1、个人收集整理仅供参考学习学科：奥数教学内容：数论函数【内容综述】本讲介绍数论中常见的一些函数的概念、性质及其应用，主要有除数函数自然数n 的正因数的个数函数；自然数n 的全部正因数的和函数；欧拉函数设 n 是大于 1 的自然数， 则欧拉函数是表示与n 互素且不大于n 的自然数的个数；（高斯函数或称方括号函数X 在下讲介绍）为书写清楚，同学们应熟悉连加符号“”与连乘符号“”：；特别是“”表示对称式的和；“”表示对称式的积abc；【要点讲解】1约数个数函数2约数和函数3欧拉函数(n) 1 约数个数函数定义 1 设，则的正约数的个数称为函数。定理 1 设，且是质数，则略证：由乘法原理，约数系由、的不
2、同取法而生成，它们的取法分别有种（含不取该约数的1 种取法），故得证例 1. 求 24 的正约数个数。解：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页个人收集整理仅供参考学习事实上，易求得约数分别是1，2，3，4， 6，8，12，24；个数正是8 个。2 约数和函数定义设，则称的正约数和为函数。定理 2 自然数的正约数和函数（ 其 中为的 素 数 ，） 。略证注意到（），展开后，其项数恰为的约数个数，又每项皆形如，可见每项皆自然数的约数且每个约数只出现一次，由此可见该积即，于是有例 2. 求 780 的正约数和。解：定理 3
3、若、是互质的自然数，即(a，b)=1，则证明：设，故与各不相同（ i=1，2， ，j=1， 2， m）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页个人收集整理仅供参考学习3.欧拉函数定义设互素且不大于的自然数的个数(),称为欧拉函数。如， 易 证是 素 数（每个小于的自然数都与它互素）；反之可见，若是合数，必有。关于欧拉函数，有以下性质定理定理设 P 是素数，且则证明 P 是素数，显然有与互素的充要条件是， 即有：，反之若，且知在1 和之间，有以下个数是 p 的倍数：，而其余的数都与互素，从而可知不超过且与互素的自然数个数。当
4、自然数的素因数分解式中，不只包含一个素因数时，有定理 5 设大于 1 的自然数的素因数分解式为，其中则有证明： 因为素因数的个数，故考虑采用数学归纳法（下设表有 k 个素因数的自然数） 。（i）当；（ii）设；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页个人收集整理仅供参考学习注意到加入第个k+1 素因数后，有，且当于是由归纳假设就有从而时，定理成立；综上，对任意（ 的补证：引理设、cN，则(i)若则, 从而可见故同理可证（ii）若，则存在素因数，由同理，若再证定理若，则（ ）注意到，故中有一个数为1 时，（ ）显然成立，现假
5、设并把从 1 到的自然数排成长方阵：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页个人收集整理仅供参考学习1 2 r m m+1 m+2 m+r 2m 2m+1 2m+2 2m+r 3m (n-1)m+1 (n-1)m+2 (n-1)m+r nm 则为上面这组数中与互素的自然数的个数， 由引理知它等于这组数中同时与都互素的自然数个数。注意到 (km+r ，m)=(r ，m)，所以当时，第列中的每一个数都与互素，从而这列数中共有列数与互素。下面再证这列的每列数中，恰好有个自然数与互素，这样就能证明共有个数，既与互素，也与互素，即定
6、理为真。事实上，从第列看，这列中的个数中，任意两个数被除时，所得余数都不会相同。（若不然，设除同余，则，其中，于是有因题设）可见这第列中的个数被除的余数分别是0，1，2，3， ， （-1） （不计顺序） ， 而这个数中与互素的自然数个数正是， 即第列中存在个与互素的数。这就证明了。例 3 求与 300 互素且不超过300 的自然数的个数。解所求的数即 例 4. 试判断是否存在自然数，使解设）则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页个人收集整理仅供参考学习即这里应估计到中必有一个是奇数（否则若它们全是偶数，则，于是但必是
7、2 的倍数， 但它不等于14， （否则， 只 有， 且，不妨令（ ）而 7 是素数， 式中也是素数，因而不可能成立！） ，于是只能是因此也不是成立的！综上知，不存在。例 5. 试证：证明：（i） 当是奇数时， 注意到， 于是（ii）当是偶数时，不妨设综 i,ii ，原命题成立。例 6. 证明的值或者是 1 或者是偶数，其中。证明：（i）当=1，2 时，（）=1；（ ii）当2 时，若则是偶数；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页个人收集整理仅供参考学习若，于是【能力训练】1证明自然数的所有正约数的欧拉函数值的和为（即）
8、2设.)()()()(,),(ddnmmndnm则。3记不大于自然数而与互素的数（共，求证。参考答案【能力训练】1首先注意，若自然数。这是因为不大于而与有公约数的数只能是，即。现记，并注意到：，于是有不大于而与以为最大公约数的数有个；不大于而与以为最大公约数的数有个；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页个人收集整理仅供参考学习不大于而与以为最大公约数的数有个；而任何一个不大于的数与最大公约数只能是之一 ,于是, 即. 2注意3.由可见， 1 与 15-1；2 与 15-2；4 与 15-4；都是小于15 且互素的数，一般而言，若则有（若不然，设则，于是矛盾）。记为不大于且与互素的所有自然数，则也是不大于且与互素的所有自然数,从而精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页