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1、学习必备欢迎下载数列（全章）知识要点梳理及题型归纳中江中学校倪谱一、知识梳理数列概念1. 数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. 2. 通项公式：如果数列na的第n项与序号之间可以用一个式子表示, 那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(nfan. 3. 递推公式：如果已知数列na的第一项（或前几项） ，且任何一项na与它的前一项1na（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1nnafa或),(21nnnaafa，那么这个式子叫做数列na的递推公式 . 如数列na中，12, 11nnaaa，其中12nnaa是数列na的递推公式 . 4. 数列的前
2、n项和与通项的公式nnaaaS21；)2()1(11nSSnSannn. 5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法. 6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列 . 递增数列 : 对于任何Nn, 均有nnaa1. 递减数列 : 对于任何Nn, 均有nnaa1. 摆动数列 : 例如 : ., 1, 1 ,1, 1 , 1常数数列 : 例如 :6,6,6,6, . 有界数列 : 存在正数M使NnMan,. 无界数列 : 对于任何正数M, 总有项na使得Man. 等差数列1. 等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差
3、等于同一个常数d， 这个数列叫做等差数列，常数d称为等差数列的公差. 2. 通项公式与前n项和公式通项公式dnaan)1(1，1a为首项，d为公差.前n项和公式2)(1nnaanS或dnnnaSn)1(211. BnAnSn2（注意 d=0 与0d时nS的情况）3. 等差中项如果bAa,成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项. 即：A是a与b的等差中项baA2a，A，b成等差数列 . 4. 等差数列的判定方法定义法：daann 1（Nn，d是常数）na是等差数列；中项法：212nnnaaa(Nn)na是等差数列 . 5. 等差数列的常用性质数列na是等差数列，则数列pan、npa（p是常数）都
4、是等差数列；在等差数列na中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即,32knknknnaaaa为等精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页学习必备欢迎下载差数列，公差为kd. dmnaamn)(；banan(a,b是常数 )；bnanSn2(a,b是常数，0a) 若),(Nqpnmqpnm，则qpnmaaaa；若等差数列na的前n项和nS，则nSn是等差数列；当项数为)(2Nnn，则nnaaSSndSS1,奇偶奇偶；当项数为)( 12Nnn，则nnSSaSSn1,奇偶偶奇. 等比数列1. 等比数列的概念如果一个数列从第二
5、项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数)0(qq，这个数列叫做等比数列，常数q称为等比数列的公比.2. 通项公式与前n项和公式通项公式：11nnqaa，1a为首项，q为公比.前n项和公式：当1q时，1naSn当1q时，qqaaqqaSnnn11)1(11. )0(BABqASnn3. 等比中项如果bGa,成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 即：G是a与b的等差中项a，A，b成等差数列baG2. 4. 等比数列的判定方法定义法：qaann 1（Nn，0q是常数）na是等比数列；中项法：221nnnaaa(Nn) 且0nana是等比数列 . 5. 等比数列的常用性质数列na是等比数列，则数
6、列npa、npa（0q是常数）都是等比数列；在等比数列na中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即,32knknknnaaaa为等比数列，公比为kq. ),(Nmnqaamnmn若),(Nqpnmqpnm，则qpnmaaaa；若等比数列na的前n项和nS，则kS、kkSS2、kkSS23、kkSS34是等比数列 .二、典型例题（一）求值类的计算题 （多关于等差等比数列）1）根据基本量求解（方程的思想）2）根据数列的性质巧求解（整体思想）- 题型，请同学们看资料。（二）求数列通项公式类A. 给出前几项，求通项公式1,0,1,0,21,15,10,6 ,3, 1精选学习资料 - - - - -
7、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页学习必备欢迎下载3，-33, 333， -3333, 33333B. 给出前 n 项和求通项公式(注意验证1a与na) 1、nnSn322；13nnS. 2、设数列na满足2*12333()3nnaaaanNn-1+3，求数列na的通项公式C. 给出递推公式求通项公式1. 递推关系形如kaann1和kaann1（k 为常数）用等差（比）公式计算。2. 递推关系形如)(1nfaann型-累加法，)(1nfaann型-累积法累加法11232211)()()()(aaaaaaaaaannnnnnn累积法1122332211
8、aaaaaaaaaaaannnnnnn已知数列na中，)2(12,211nnaaann，求数列na的通项公式；已知数列na满足：111(2),21nnannaan，求数列na的通项公式；3. 构造新的辅助数列，一般是等差数列（等比数列）。1递推关系形如“qpaann 1” ，利用待定系数法构造等比数列xan求解。如 已知数列na中，32,111nnaaa，求数列na的通项公式 . 2递推关系形如“nnnkppaa1，构造等差数列nnpa求解，即kpapannnn11( 常数 ) 如 已知数列na中，11a，nnnaa2321求数列na的通项公式 . 3递推关系形如“nnnaqapa12” ，利
9、用待定系数法构造等比数列1nnxaa求解，即kxaaxaannnn11（常数）如 已知数列na中，nnnaaaaa23,2, 11221，求数列na的通项公式 . 4递推关系形如11nnnnapaqa a （p,q0), 利用取倒数法，两边同除以1nna a（取倒数法） ，即kaann111（常数）如 数列na中，)(42,211Nnaaaannn，求数列na的通项公式 . 4. 给出关于nS和ma的关系（注意变形方向）。1、设数列na的前n项和为nS，已知)(3,11NnSaaannn，设nnnSb3，求数列nb的通项公式2、设nS是数列na的前n项和，11a，)2(212nSaSnnn.
10、求na的通项；设12nSbnn，求数列nb的前n项和nT. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页学习必备欢迎下载（三）求数列的前n 项和类（从na开始分析入手）基本方法如下：1）公式法，2）拆解求和法.1、求数列n223n的前n项和nS. 2、求数列，)21(813412211nn的前n项和nS3. 求2222121234( 1)nSn（nN）3）裂项相消法，通项分解（裂项）如：（1）等差数列na, 公差为 d ，则)11(1111nnnnaadaa（2）)2)(1(1)1(121)2)(1(1nnnnnnnan(3)
11、(11nknknknan1.求和： S=1+n321132112112. 求和：nn11341231121.3. 已知二次函数xxxf23)(2, 数列na的前n 项和为nS，点( ,)()nn SnN均在函数( )yf x的图像上。（）求数列na的通项公式；（）设11nnnba a，nT是数列nb的前 n 项和，求使得20nmT对所有nN都成立的最小正整数m ；4）倒序相加法，例、设221)(xxxf，求：)4()3()2()()()(213141ffffff；).2010()2009()2()()()()(21312009120101fffffff5）错位相减法，精选学习资料 - - -
12、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页学习必备欢迎下载1. 若数列na的通项nnna3) 12(，求此数列的前n项和nS. 2. 设na是等差数列，nb是各项都为正数的等比数列，且111ab，3521ab，5313ab（）求na，nb的通项公式；（）求数列nnab的前n项和nS(五)数列单调性最值问题类方案： （1）与单调性，最值相关。（2）数形结合解决1、数列na中，492nan，当数列na的前n项和nS取得最小值时，n . 2、已知nS为等差数列na的前n项和，.16,2541aa当n为何值时，nS取得最大值；3、数列na中，12832nna
13、n，求na取最小值时n的值 . 4、数列na中，22nnan，求数列na的最大项和最小项.5、设数列na的前n项和为nS已知1aa，13nnnaS，*nN（）设3nnnbS，求数列nb的通项公式；（）若1nnaa，*nN，求a的取值范围6、已知nS为数列na的前n项和，31a，)2(21naSSnnn. 求数列na的通项公式；数列na中是否存在正整数k，使得不等式1kkaa对任意不小于k的正整数都成立？若存在，求最小的正整数k，若不存在，说明理由.7、非等比数列na中，前 n 项和21(1)4nnSa，（1）求数列 na的通项公式；（2）设1(3)nnbna(*)nN，12nnTbbb，是否存在最大的整数m，使得对任意的 n 均有32nmT总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页